第8讲等差数列与等比数列.doc

第8讲 等差数列与等比数列考点透析数 列数列的有关概念A等差数列C等比数列C知识整合 1等差（比）数列的定义，从整体上把握形式始终考查是否从“第二项起”，都满足通项公式，否则分段表示2基本运算（1）等差（比）数列，中五个量知三求二公式的选择、数列性质的熟练运用能很大程度上减少运算量（2）已知，的等量关系，根据目标，把该关系统一到通项或和上，求通项或研究的性质 （3）派生数列如，等，可通过待定系数法、累差法、累商法等，化归为等差（比）数列求通项（4）求和先研究数列的通项，根据通项选择方法，如错位相减、裂项相消、倒序相加、通项化归等方法化归为等差（比）数列求和考点自测 1（2010浙江文数）设为等比数列的前n项和，则_2. （2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，那么_3. （2010辽宁文数）设为等差数列的前项和，若，则 。4. （2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，_. 高考热点一：等差、等比数列的定义例1已知数列的前项和为，又有数列满足关系，对，有，(1)求证：是等比数列，并写出它的通项公式；(2)是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【分析】判断或证明等差等比数列，若要证明是等差等比数列要紧扣定义；若要否定是等差等比数列，只需举一组反例即可；对探索性问题，由前三项成等差等比数列确定参数后，别忘记用定义验证高考热点二：数列的递推关系例2. (2009年广东卷文)已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前项和为，问的最小正整数是多少? . 【分析】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，对既有，又有的递推关系，转化为只有通项或只有和得等式，进而通过进一步运算，构造基本数列求通项，不等式的证明通常通过适当的放缩转化为等比数列求和或裂项相消高考热点三：数列通项例3（2009全国卷理）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。【分析】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，通过构造基本数列求通项，对由等差、等比数列得到的“派生数列”，采用累加法，累乘等求通项，裂项相消是常规的求和方法之一第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以高考热点四：数列求和例4定义一种运算*，满足（为非零实常数）（1）对任意给定的，设，求证数列是等差数列，并求时，该数列的前10项和；（2）对任意给定的，设，求证数列是等比数列，并求出此时该数列前10项的和【分析】若要证明是等差等比数列要紧扣定义，从函数的角度理解自变量的变化是解决这两问的关键；对于等差数列求和要灵活选择公式，对于等比数列求和注意对参数讨论高考热点五：数列知识的综合应用例5已知二次函数同时满足：不等式 0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立,设数列的前项和（）求函数的表达式；（）求数列的通项公式；（）设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的变号数，令（）,求数列的变号数【分析】分别由已知条件确定的值；判断数列中相邻项的符号是解决问题的关键误区分析 问题：设数列，且满足，则实数的取值范围是 试分析下面的解法错在哪里？ 解：由二次函数的单调性，得，所以 随堂练习 1（2010辽宁文数）（3）设为等比数列的前项和，已知，则公比_;2(2009北京)已知数列满足：则_；=_3(2009江苏 135791113151719)将正w ww.k s5u.c om奇数排列如下表其中第行第个数表示，例如，若，则 4(2009江苏)设等差数列的公差为，若的方差为1，则=_5（2009全国卷理）在数列中， （I）设，求数列的通项公式 （II）求数列的前项和(2009山东)数列的前项和记为，（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的前项和有最大值，且，又成等比数列，求6在数列中，并且对于任意，且，都有成立，令()求数列的通项公式；（）求数列的前项和，若对于任意的正整数都有成立，试求常数的最大值学力测评 1（2010天津理数）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为_;2. （2010浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，则_;3. （2010福建理数）在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ;4（2009江苏）若数列的前项和，则数列中数值最小的项是第 项5（2009山东）已知数列满足，则=_6（2009浙江）在等比数列的值为_7（2009苏州）已知，则在数列的前50项中最小项和最大项分别是_8（2009广东）若数列的通项公式分别是，对任意恒成立，则常数的取值范围是 9（2009上海）已知等差数列的前项和为（1）求的值；（2）若与的等差中项为18，满足，求数列的前项和.10设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 已知函数在上有意义, ，且对任意的，都有(1)判断的奇偶性；(2)对数列， ，求；(3)求证：11（2009江苏）已知数列中，且点在直线上 （1）求数列的通项公式； （2）若函数求函数的最小值； （3）设表示数列的前项和试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？ 若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由 12函数的最小值为且数列的前项和为 （）求数列的通项公式； （）若数列是等差数列，且，求非零常数； （）若，求数列的最大项第8讲 等差数列与等比数列参考答案考点自测 1、-11； 2、28；3、15 ； 4、典型例题例1解：（1）由，又 ，数列为等比数列，且 （2），依题意，存在，使得数列为等比数列例2【解析】（1）, , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；（2） ； 由得，满足的最小正整数为112.例3解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 例4.解：（1） ，又， 所以，所以数列是公差为的等差数列当时，所以（2） ，又， 故数列是公比为的等比数列当时，；当时，例5解（）不等式0的解集有且只有一个元素，解得或当时，函数在递增，不满足条件；当时，函数在上递减，满足条件综上得，即（）由（）知当时，；当时（）由题设可得，都满足当时，即当时，数列递增，由，可知满足数列的变号数为随堂练习 14； 21，0 ；360 ； 4；5解：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。6解：（I）当时， 当时，数列是首项为3，公差为1的等差数列，数列的通项公式为（II）， 又，故的最小值为，从而所求最大值为学力测评 1 ； 2-11； 3； 43； 5； 63 ； 7； 8；9解(1) ：当时，,当时,.是等差数列, , (2)解：, ，又, ， 又得，,即是等比数列所以数列的前项和10解： 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只