高三第二轮数学不等式性质定理学案3

2006届高三第二轮复习数学不等式性质定理学案一、考试要求：1理解不等式的性质及其证明。2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。二 考点扫描1不等式的几个重要性质(1)可乘性：； (2)可除性：反之不可； (3)3、基本不等式：若，则 当且仅当a=b时取“=”号（1） （2） 几个结论 ：， ；如果，那么（当且仅当时取“=”）（此公式成立的充要条件为）4、求最值方法 ：1、基本不等式法。2、函数单调性法。3、函数图像法。4、求导法5、法，等利用均值不等式求最值，必须同时满足下面三个条件：_；_；_. 5、重要函数的单调性.利用定义可证明，在_上是减函数，在_上是增函数.6. 著名的柯西不等式：对任意的实数其 中等号当且仅当时成立特别地 ，7、不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)变形判断符号(值)三小题训练（1）已知、为正实数，且，求的最小值（2）求函数的最小值 （3）求的值域 （4）已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。（5）设的最大值为 （6）设,则下列不等式中不成立的是( ).A. B. C. D. 四典型例题例1（1）已知实数满足（），求得最大值（2）若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范围（3）（1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 .例2（1）设恒成立,求n的值（2）若.（3）已知.求证: . 五强化训练1（2005福建卷文第5题）下列结论正确的是（）A当BC的最小值为2 D当无最大值2（2005福建卷理第11题）设的最小值是（ ）ABC3D3. (2005重庆卷理第5题) 若x，y是正数，则的最小值是（ ）A3 B C4 D4. 已知实数a、b、x、y满足a2+b2=m，x2+y2=n，则ax+by的最大值是（ ）A B C D 5. (2005重庆卷文第14题)若的最大值是 6. 04重庆卷文14已知,则的最小值是_7（2001京春）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（ ）A.18 B.6 C.2 D.2. 8湖南卷理7设则以下不等式中不恒成立的是（ ）A B C D 9已知，则2a+3b的取值范围是 A B C D 10 04湖北卷理若，则下列不等式； 中，正确的不等式有（ ） A1个 B2个C3个D4个11已知，求证: .江苏省赣马高级中学高三数学不等式作业0091已知，则2a+3b的取值范围是 A B C D 2已知函数f (x)= 在区间1，2 上函数值恒为非正数，那么bc A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值 3（2005湖南卷理第8题）集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分条件，则b的取值范围可以是（ ）A2b0B0b2C3b1D1b24若,则( )(A)abc (B)cba (C)cab (D)bab0，且，则m的取值范围是（ ）A. mR B. m0 C. m0 D. bm1，则y=x+的最小值为_12已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则ax+by+cz的最大值为 13若，且，都是正数，则，从小到大依次为 14设求证：15设且，求得最大值16、已知a,b,c为不等正数，且abc=1，求证：江苏省赣马中学高三数学二轮复习不等式教案一、考试要求：1理解不等式的性质及其证明。2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。二、知识梳理1不等式的几个重要性质(1)可乘性：； (2)可除性：反之不可； 如：已知x3 ,求的范围解得：(3)3、基本不等式：若，则 当且仅当a=b时取“=”号（1） （2） 几个结论 ：， ；如果，那么（当且仅当时取“=”）（此公式成立的充要条件为）4、利用均值不等式求最值，必须同时满足下面三个条件：_；_；_.缺一不可5、重要函数的单调性.利用定义可证明，在_上是减函数，在_上是增函数.6. 著名的柯西不等式：对任意的实数其中等号当且仅当时成立特别地 ，三小题训练（1）已知、为正实数，且，求的最小值（2）求函数的最小值 （3）求的值域 （4）已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。（5）设的最大值为 （6）设,则下列不等式中不成立的是( ).A. B. C. D. （1）（2）（3）（4）错解一、因为对a0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。错解二、，所以z的最小值是。错解分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。正解：z=，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。（5）分析:是常数,的积可能有最大值.可把里面去考虑,注意到的积,应处理成.解:,=.当且仅当.（6）:由于是选择题,可用特值法,如取,代入各选项中的不等式,易判断不成立.分析2:可逐项使用均值不等式判断:A. ,不等式成立.B.:.C. 又成立.D.,不成立,故选(D)四典型例题例1（1）已知实数满足（），求得最大值（2）若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范围（3）（1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 .解： 1、上述解法中使用了不同的方法结果不同，表面上看似乎都有道理，但是解法错误。因为取等号的条件是，取等号的条件是，但是这样一来，取等号的条件是且，从而就有。因此，不是它的最大值。正解1：构造向量，则，因为，所以。当且仅当取最大值。正解2：利用柯西不等式正解3：（三角换元），则令当且仅当时取最大值。 这里，等价于。学习了圆的方程后，会更容易理解。2分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组()变形得()所以f(-2)的取值范围是6，10解法二(数形结合)建立直角坐标系aob，作出不等式组()所表示的区域，如图6中的阴影部分因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范围是：6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得43f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解：2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高3.。答案：ab9解析一：令=t（t0）由ab=a+b+32+3，得t22t+3，解得t3，即3.故ab9.解析二：由已知得abb=a+3，b（a1）=a+3，b=（a1）ab=a=（a1）+1=a+3+=a1+4+=a1+52+5=9.当且仅当a1=时取等号.即a=b=3时ab的最小值为9.所以ab的取值范围是（9，+）.评述：本题考查基本不等式的应用及不等式的解法及运算能力.解法一重在思考a+b与ab的关系联想均值不等式.而解法二是建立在函数的思想上，例2（1）设恒成立,求n的值分析:由于不等式等价于要使原不等式恒成立,就要使的最小值不小于n.【解】:= 的值为1或2或3或4.（2）若.分析: .证法1: =(当且仅当取“=”号).此题若能妙用“1”，证法更简捷.证法2:(当且仅当时等号成立).（3）已知.求证: .已知.求证: .证法1(比较法): =,即(当且仅当时,取等号).证法2(分析法): 因为显然成立,所以原不等式成立.(评述:分析法是基本的数学方法,使用时,要证保”后一步”是”前一步”的充分条件.)证法3(综合法):由上分析法逆推获证(略).证法4(反证法):假设,则.由,这与矛盾.所以.证法5(放缩法):.(评述:根据欲证不等式左边是平方和及这个特点,选用基本不等式)证法6(均值换元): 因为、 =. (当且仅当时,等号成立).评述:形如结构式的条件,一般可以采用均值换元.证法7(利用一元二次方程根的判别式):设.所以.故.五强化训练1（2005福建卷文第5题）下列结论正确的是（）A当BC的最小值为2 D当无最大值2（2005福建卷理第11题）设的最小值是（ C ）ABC3D3. (2005重庆卷理第5题) 若x，y是正数，则的最小值是（ C ）A3 B C4 D4. 已知实数a、b、x、y满足a2+b2=m，x2+y2=n，则ax+by的最大值是（A ）A B C D 5. (2005重庆卷文第14题)若的最大值是 6. 04重庆卷文14已知,则的最小值是_（6）7（2001京春）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（ B ）A.18 B.6 C.2 D.2. 8湖南卷理7设则以下不等式中不恒成立的是（ ）A B C D 9已知，则2a+3b的取值范围是 DA B C D 错解：对条件“”不是等价转化，解出a,b的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出结果为D。10 04湖北卷理若，则下列不等式； 中，正确的不等式有（ ） A1个 B2个C3个D4个11已知，求证: .证明：同理,三式相加得若，则证：江苏省赣马高级中学高三数学不等式作业1已知，则2a+3b的取值范围是 A B C D 错解：对条件“”不是等价转化，解出a,b的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出结果为D。2已知函数f (x)= 在区间1，2 上函数值恒为非正数，那么bc A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值 解析：，两式相加，得。答案：B 3（2005湖南卷理第8题）集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分条件，则b的取值范围可以是（ ）A2b0B0b2C3b1D1b24若,则( ) (C)cab0，且，则m的取值范围是（ ）A. mR B. m0 C. m0 D. bm1，则y=x+的最小值为_答案：点评：误填：4，错因：，当且仅当即x=2时等号成立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。12已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则ax+by+cz的最大值为 答案：3错误原因：忽视使用基本不等式时等号成立的条件，易填成5。应使用如下做法：9a2+x26ax, 9b2+y2 6by，9c2+z26cz，6(ax+by+cz)9（a2+b2+c2）+9(x2+y2+z2) = 18, ax+by+cz313若，且，都是正数，则，从小到大依次为 解：令，则， ，； 同理可得：，（3）取，知选（）14设求证：分析：，。很