2.2直接证明与间接证明PPT幻灯片课件

2 2直接证明与间接证明 2 2 1综合法和分析法2 2 2反证法 综合法和分析法 是直接证明中最基本的两种证明方法 也是解决数学问题时常用的思维方式 1 一般地 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 其特点是 由因导果 1 综合法 顺推证法或由因导果法 则综合法可用框图表示如下 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 2 例 已知a 0 b 0 求证a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 b2 c2 2bc a 0 a b2 c2 2abc 又 c2 a2 2ac b 0 b c2 a2 2abc a b2 c2 b c2 a2 4abc 3 在 ABC中 三个内角A B C对应的边分别为a b c 且A B C成等差数列 a b c成等比数列 求证 ABC为等边三角形 分析 将A B C成等差数列 转化为符号语言就是2B A C A B C为 ABC的内角 这是一个隐含条件 即A B C 180 a b c成等比数列转化为符号语言就是 此时 如果能把角和边统一起来 那么就可以进一步寻找角和边之间的关系 进而判断三角形的形状 余弦定理正好满足要求 于是 可以用余弦定理进行证明 4 证明 由A B C成等差数列 所以 由A B C为 C的内角 所以 180 由余弦定理及 可得 5 2 分析法 逆推证法或执果索因法 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知 定理 定义 公理等 特点 执果索因 我们也可以用框图来表示分析法 6 分析法的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显 直接证明需要用哪些知识不太明确具体时 往往采用从结论出发 结合已知条件 逐步反推 寻求使当前命题成立的充分条件 7 证明 要证只需证 只需证 只需证 因为 成立所以成立 8 证明 只需证 只需证 因为和都是正数 所以要证 因为21 25成立 所以成立 9 注 反证法是最常用的间接证法 一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 3 反证法 归谬法 10 1 反证法的步骤 否定结论 推出矛盾 肯定结论 即分三个步骤 反设 归谬 存真 反设 假设命题的结论不成立 即假定原命题的反面为真 存真 由矛盾结果 断定反设不成立 从而肯定原结论成立 归谬 从假设出发 经过一系列正确的推理 得出矛盾 11 1 直接证明有困难 正难则反 3 唯一性命题 2 否定或肯定性命题 4 至多 至少型命题 2 适宜用反证法证明的题型 12 例1 已知a 0 证明x的方程ax b有且只有一个根 证明 由于a 0 因此方程至少有一个根x b a 如果方程不只一个根 不妨设x1 x2 x1 x2 是方程的两个根 所以a 0 这与已知矛盾 13 例2 设0 a b c 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不可能同时大于1 4 则三式相乘 1 a b 1 b