高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法初步、推理与证明 第三节 合情推理与演绎推理课件 理.ppt

第三节合情推理与演绎推理 总纲目录 教材研读 1 合情推理 考点突破 2 演绎推理 考点二归纳推理 考点一类比推理 考点三演绎推理 教材研读 1 合情推理 2 演绎推理 1 定义 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 i 大前提 已知的一般原理 ii 小前提 所研究的特殊情况 iii 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 1 下面几种推理是合情推理的是 由圆的性质类比出球的有关性质 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形的内角和是180 归纳出所有三角形的内角和都是180 某次考试张军成绩是100分 由此推出全班同学成绩都是100分 三角形的内角和是180 四边形的内角和是360 五边形的内角和是540 由此得出凸多边形的内角和是 n 2 180 a b c d c 答案c 是类比推理 是归纳推理 是非合情推理 2 因为指数函数y ax a 0且a 1 是增函数 大前提 又y 是指数函数 小前提 所以函数y 是增函数 结论 上面推理的错误在于 a 大前提错误导致结论错b 小前提错误导致结论错c 推理形式错误导致结论错d 大前提和小前提错误导致结论错 a 答案a当a 1时 y ax为增函数 当0 a 1时 y ax为减函数 故大前提错误 b 3 2017北京朝阳期末 8 某校高三 1 班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试 跳远和掷实心球两项测试成绩合格的分别为26人和23人 这两项成绩都不合格的有3人 则这两项成绩都合格的人数是 a 23b 20c 21d 19 b 答案b设跳远和掷实心球测试都合格的为x人 则26 23 x 3 32 解得x 20 所以选b b 4 2017北京东城二模 8 据统计 某超市两种蔬菜a和b连续n天的价格分别为a1 a2 a3 an和b1 b2 b3 bn 令m m am bm m 1 2 n 若m中的元素个数大于n 则称蔬菜a在这n天的价格低于蔬菜b的价格 记作a b 现有三种蔬菜a b c 下列说法正确的是 a 若a b b c 则a cb 若a b b c同时不成立 则a c不成立c a b b a可同时不成立d a b b a可同时成立 c 答案c若m中的元素个数大于n且小于n 则a b b a可同时不成立 故选c b 5 观察下列不等式 1 1 1 照此规律 第五个不等式为1 答案1 解析先观察左边 第一个不等式为2项相加 第二个不等式为3项相加 第三个不等式为4项相加 则第五个不等式应为6项相加 右边分子为分母的2倍减1 分母即为所对应项数 故应填1 考点一类比推理 考点突破 典例1 1 给出下面类比推理命题 其中q为有理数集 r为实数集 c为复数集 由 若a b r 则a b 0 a b 类比推出 若a b c 则a b 0 a b 由 若a b c d r 则复数a bi c di a c b d 类比推出 若a b c d q 则a b c d a c b d 由 若a b r 则a b 0 a b 类比推出 若a b c 则a b 0 a b 由 若x r 则 x 1 1 x 1 类比推出 若z c 则 z 1 1 z 1 其中类比结论正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 2 在平面几何中 abc的 c的平分线ce分ab所成的线段的比为 如图1 把这个结论类比到空间 在三棱锥a bcd中 如图2 面dec平分二面角a cd b且与ab相交于e 则类比得到的结论是 答案 1 b 2 解析 1 类比结论正确的只有 2 由平面中线段的比类比空间中面积的比可得 易错警示在进行类比推理时 不仅要注意形式的类比 还要注意方法的类比 且要注意以下两点 1 找两类对象的对应元素 如 三角形对应三棱锥 圆对应球 面积对应体积 2 找对应元素的对应关系 如 两条边 直线 垂直对应线面垂直或面面垂直 边相等对应面积相等 1 1把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形 则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径 以此可求得外接圆半径r 其中a b为直角三角形两直角边长 类比此方法可得三条侧棱长分别为a b c且两两垂直的三棱锥的外接球半径r 答案 解析由平面类比到空间 把矩形类比为长方体 从而可得出外接球半径 考点二归纳推理命题方向一与数字有关的推理 典例2观察下列等式 1 12 3 4 93 4 5 6 7 254 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第n个等式为 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 答案n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 解析由前4个等式可知 第n个等式的左边第一个数为n 且连续2n 1个整数相加 右边为 2n 1 2 故第n个等式为n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 命题方向二与式子有关的推理 典例3观察下列等式 1 2 2 3 3 4 4 5 照此规律 n n 1 答案n n 1 解析通过观察已给出等式的特点 可知等式右边的是个固定数 后面第一个数是等式左边最后一个括号内分数的分子中 的系数的一半 后面第二个数是第一个数的下一个自然数 所以所求结果为 n n 1 即n n 1 命题方向三与图形变化有关的推理 典例4蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师 单个蜂巢可以近似地看作一个正六边形 如图为一组蜂巢的截面图 其中第一个图有1个蜂巢 第二个图有7个蜂巢 第三个图有19个蜂巢 按此规律 以f n 表示第n个图蜂巢总数 则f 4 37 f n 3n2 3n 1 答案37 3n2 3n 1 解析因为f 1 1 f 2 7 1 6 f 3 19 1 6 12 所以f 4 1 6 12 18 37 所以f n 1 6 12 18 6 n 1 3n2 3n 1 规律总结 1 归纳推理的一般步骤 通过对某些个体的观察 分析和比较 发现它们的相同性质或变化规律 由发现的相同性质或变化规律推出一个明确表达的一般性命题 2 归纳是依据特殊现象推出一般现象 因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围 3 归纳推理所得结论未必正确 有待进一步证明 但对数学结论和科学的发现很有用 2 1有一个奇数组成的数阵排列如下 1371321 591523 111725 1927 29 则第30行从左到右第3个数是1051 答案1051 解析观察每一行的第一个数 由归纳推理可得第30行的第1个数是1 4 6 8 10 60 1 929 又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n 第3个数比第2个数大2n 2 所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60 第3个数比第2个数大62 故第30行从左到右第3个数是929 60 62 1051 2 2已知x 0 观察下列各式 x 2 x 3 x 4 归纳得x n 1 n n 则a 答案nn 解析第一个式子是n 1的情况 此时a 11 1 第二个式子是n 2的情况 此时a 22 4 第三个式子是n 3的情况 此时a 33 27 归纳可知a nn nn b 考点三演绎推理 典例5数列 an 的前n项和记为sn 已知a1 1 an 1 sn n 1 2 3 求证 1 数列是等比数列 2 sn 1 4an 证明 1 因为an 1 sn 1 sn an 1 sn 所以 n 2 sn n sn 1 sn 整理得nsn 1 2 n 1 sn 所以 2 又 0 0 2 小前提 故是以2为公比的等比数列 结论 2 由 1 知 4 n 2 于是sn 1 4 n 1 4 sn 1 4an n 2 又a2 3s1 3 故s2 a1 a2 4 4a1 因此对于任意正整数n 1 都有sn 1 4an 方法技巧 1 演绎推理是从一般到特殊的推理 其一般形式是三段论 应用三段论解决问题时 应当首先明确什么是大前提和小前提 如果大前提是显然的 则可以省略 本题中 等比数列的定义在解题中是大前提 由于它是显然的 因此省略不写 2 在推理论证过程中 一些稍复杂一点的证明题常常要利用几个三段论才能完成 3 1已知函数f