2011届高考数学冲刺讲座.doc

2011届高考数学知识梳理第一部分集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.举例已知集，求.分析：集合P、Q分别表示函数与在定义域R上的值域，所以，.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.举例若且，求的取值范围.分析：集合A有可能是空集.当时，此时成立；当时，若，则，有.综上知，.注意：在集合运算时要注意学会转化等.3、若函数的图像关于直线对称，则有或等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数的图像关于直线的对称曲线是函数的图像，函数的图像关于点的对称曲线是函数的图像.举例1若函数是偶函数，则的图像关于 对称.分析：由是偶函数，则有，即，所以函数的图像关于直线对称.或函数的图像是由函数的图像向右平移一个单位而得到的，的图像关于轴对称，故函数的图像关于直线对称.举例2若函数满足对于任意的有，且当时，则当时 .分析：由知，函数的图像关于直线对称，因而有成立.，则，所以.即时.4、若函数满足：则是以为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数满足：则是以为周期的函数.（注意：若函数满足，则也是周期函数）举例已知函数满足：对于任意的有成立，且当时，则.分析：由知：，所以函数是以2为周期的周期函数.，故意原式值为0.5、奇函数对定义域内的任意满足；偶函数对定义域内的任意满足.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若是奇函数且存在，则；反之不然.举例1若函数是奇函数，则实数；分析：注意到有意义，必有，代入得.这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍.举例2若函数是定义在区间上的偶函数，则此函数的值域是.分析：函数是偶函数，必有，得；又由是偶函数，因而.即，所以此函数的值域为.6、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数的图像关于直线对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.举例若函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足：，求的取值范围.分析：因为是偶函数，等价于不等式，又此函数在上递增，则在递减.所以，解得.7、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数的图像，作出函数的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注的图像.举例函数的单调递增区间为.分析：函数的图像是由函数的图像经过下列变换得到的：先将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的（或将函数的图像向上平移1个单位）得到函数的图像，再将函数的图像作关于轴对称得到函数的图像，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像向下平移1个单位得到函数，最后将函数的图像在轴下方部分翻折到轴上方得到函数的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是与.需要注意的是：函数图像变化过程：与变化过程：不同.前者是先作关于轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线对称.8、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.举例1已知函数，若不等式的解集不为空集，则实数的取值范围是.O1分析：不等式的解集不为空集，亦即函数的图像上有点在函数的图像的上方.函数的图像是轴上方的半支抛物线，函数的图像是过点斜率为的直线.当时直线与抛物线相切，由图像知：.（注意图中的虚线也满足题义）举例2若曲线与直线没有公共点，则应当满足的条件是 .1-1O分析：曲线是由与组成，它们与轴的交点为和，图像如图（实线部分）.可以看出若直线曲线的图像没有公共点，此直线必与轴平行，所以，.9、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数的单调性. 举例已知函数在上是单调增函数，求实数的取值范围.分析：函数称为“耐克”函数，由基本不等式知：当时，函数的最小值是，当时等号成立.时，函数递减；时，函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较方便.函数在上递增，则，得.但若是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证.任设且.，由函数是单调增函数，则，而，则.所以对于且恒成立，因，故.需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，因为“大题”需要严格的论证过程.10、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.举例求函数在区间的最值.分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.，.11、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.举例1已知关于的不等式的解集是，则实数的值为 .分析：若是从解不等式入手，还应考虑常数的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案：解集端点值是方程的根.则得，知.举例2解关于的不等式：.分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当时，此不等式是恒成立的，则其解集为.当时，才是二次不等式.与其对应的方程为，根判别式.当，即或时，方程两根为；当，即时，方程有等根；当，即时，方程无实根.结合二次函数的图像知：时不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.第二部分不等式12、基本不等式要记住等号成立的条件与的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.举例已知正数满足，则的最小值为.分析：此类问题是典型的“双变量问题”，即是已知两变量的一个关系式，求此两变量的另一代数式的最值（或取值范围）问题.其解决方法一是“减元”，即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中，转化为一元函数的最值问题；另一方法是构造基本不等式.由，当且仅当等号成立，此时.13、学会运用绝对值不等式：.举例1若关于的不等式的解集是R，则实数的取值范围是；分析：由不等式的解集为，则大于的最大值.由绝对值不等式的性质知：，所以.举例2若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是.分析：，知.14、求最值的常用方法：用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；二次函数；单调性；逆求法（包括判别式法）；换元法；数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.举例1已知函数的最大值不大于，又当时，求实数的值.分析：，则，又此二次函数开口向下，则有.知.注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值；同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值.举例2求函数在区间上的最大值与最小值.分析：因为函数的定义域不是一切实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设，则，.当时，取最小值4；当时，取最大值.所以函数在区间上的最大值为，最小值为.注意：此类函数的值域（最值）问题在解几的最值中经常涉及，要能熟练地掌握其解法.15、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.举例（1）已知不等式对于）恒成立，求实数的取值范围.（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.分析：（1）由得：对于）恒成立，因，所以，当时等号成立.所以有.（2）注意到对于恒成立是关于的一次不等式.不妨设，则在上单调递减，则问题等价于，所以或，则取值范围为.第三部分三角函数16、若，则；角的终边越“靠近”轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近”轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.举例1已知，若，则的取值范围是.分析：由且，即知其角的终边应“靠近”轴，所以.举例2方程的解的个数为个.分析：在平面直角坐标系中作出函数与的图像，由函数都是奇函数，而当时恒成立.在时，所以两函数图像只有一个交点（坐标原点），即方程只有一个解.同样：当时，方程只有唯一解.17、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由tantan未必有；由同样未必有tantan；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如；则；或；若，则；若，则.举例1已知都是第一象限的角，则“”是“”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：都是第一象限的角，不能说明此两角在同一单调区间内.如都是第一象限的角，但.选D.举例2已知，则“”是“”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：注意到由，则可以看作是一三角形的两内角.选C.18、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由tan的值求的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.举例1已知是第二象限的角，且，利用表示tan；分析：由是第二象限的角，知，.举例2已知，求的值.分析：由得：，则或.又，所以.由万能公式得，.知.19、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：；引入辅助角（特别注意，经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为的形式.函数的周期是函数周期的一半.举例函数的最小正周期为；最大值为；单调递增区间为；在区间上，方程的解集为.分析：由.所以函数的最小正周期为；最大值为2；单调递增区间满足，即；由，则，或得或，又由得解集为. 注意：辅助角的应用：.其中，且角所在的象限与点所在象限一致.20、当自变量的取值受限制时，求函数的值域，应先确定的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定的取值范围，并注意A的正负；千万不能把取值范围的两端点代入表达式求得.举例已知函数，求的最大值与最小值.分析：函数.由，则，所以函数的最大 、最小值分别为与.21、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道ABC三边平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为（其中R是ABC外接圆半径.举例在ABC中，分别是对边的长.已知成等比数列，且，求的大小及的值.分析：由成等比数列得，则化成，由余弦定理得，.由得，所以=.22、在ABC中：；，等常用的结论须记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当且仅当.举例1（1）已知ABC三边成等差数列，求B的范围；（2）已知ABC三边成等比数列，求角B的取值范围.分析：（1）由ABC的三边成等差数列，则，消去化得.所以.（2）同样可以求得.举例2在ABC中，若，则ABC的形状一定是（）A、等腰直角三角形；B、直角三角形；C、等腰三角形；D、等边三角形.分析：在三角形ABC中：，则.所以ABC是等腰三角形.23、这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.举例1已知关于的方程有实数根，求实数的取值范围.分析：由，令，则，其中.则关于的方程在上有解.注意到方程两根之积为1，若有实根必有一根在内，只要即可，得或.举例2已知且，则.分析：此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.由平方得，又由知.则有.，得.有，所以.24、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.函数的图像没有对称轴，它们的对称中心为.两相邻对称轴之间的距离也是半个周期.举例1已知函数，且是偶函数，则满足条件的最小正数；分析：是偶函数，则是它图像的一条对称轴.时，函数取最大（小）值.，.所以满足条件的最小正数.举例2若函数的图像关于点成中心对称，则.分析：由的图像关于点成中心对称知，.第四部分复数25、复数问题实数化时，设复数，不要忘记条件.两复数，的条件是.这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作实数化处理.举例若复数满足：，则.分析：设，原式化为，得，求得.26、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.举例若方程的两根满足，求实数的值.分析：在复数范围内不一定成立，但一定成立.对于二次方程，韦达定理在复数范围内是成立的.，则或，所以或.27、对于复数，有下列常见性质：（1）为实数的充要条件是；（2）为纯虚数的充要条件是且；（3）；（4）.举例设复数满足：（1）（2），求复数.分析：由则或.当时，则，由得或（舍去）；当时，可求得.综上知：.第五部分数列与极限28、等差数列中，通项，前项和（为公差，）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：是常数(=常数，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数有：（）.举例数列满足：.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.分析：注意是到证明数列是等差数列，则要证明是常数.而，所以.即数列是等差数列.又，则，所以.29、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等比数列.举例1已知数列是等差数列，是其前项的和，则；分析：注意到是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列.可以得到，所以.举例2已知数列是等比数列，是其前项的积，则.分析：由成等比，则，所以.30、在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质.举例数列是等比数列，且公比为整数，则的值为.分析：由得或，又此数列的公比为整数，所以公比，则.31、等差数列当首项且公差，前n项和存在最大值.当首项且公差，前n项和存在最小值.求等差数列前项和的最值可以利用不等式组来确定的值；也可以利用等差数列的前项的和是的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.举例1若是等差数列，首项，则（1）使前项和最大的自然数是；（2）使前项和的最大自然数 ；分析：由条件可以看出，可知最大，则使最大的自然数为2006；由知，所以，则使的最大自然数为4012.举例2在等差数列中，满足且是数列前项的和.若取得最大值，则.分析：首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最基本出发点.等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由知，则.当时，当时，所以.32、数列是等比数列，其前项的和是关于的分段函数，在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论.举例数列是等比数列，前项和为，且，求的取值范围.分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前项和存在的前提条件是，且，知，则，有，则.33、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若是等差数列，则对于任意自然数有；若是等比数列，则对于任意的自然数，有.在这两关系式中若取，这就是等差（比）数列的通项公式.举例1已知数列是等差数列，首项，且.若此数列的前项和为，问是否存在最值？若存在，为何值？若不存在，说明理由.分析：对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决.设此数列的公差为，则，即，由知，所以数列是递减数列，故有最大值而无最小值.由等差数列的通项公式知：，当时，当时，.所以最大.综上知，当时，最大，不存在最小值.举例2已知正项等比数列中，首项，且.若此数列的前项积为，问是否存在最值？说明理由.分析：与举例1联系起来，这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方法是一样的.对于单调正项数列，前项积最大（小），则应满足.设此数列公比为，则，则.由知：时，时，.所以当时，最大，没有最小值.特别注意等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道：若数列是正项等比数列，记，则数列是等差数列.反之若数列是等差数列，记，则数列是等比数列.34、已知数列的前项和，求数列的通项公式时，要注意分段.当满足时，才能用一个公式表示.举例已知数列的前项和.若是等差数列，求的通项公式.分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由.由知，时，当时，.当时，而.若数列是等差数列，则，所以.则.35、形如：+的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：的递推数列，求通项用连乘（约项）法.举例数列满足，求数列的通项公式.分析：解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系：，等比数列的递推关系：.由题知：相加得：，又，所以，而满足此式，则.36、一次线性递推关系：数列满足：是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当时，此数列是等差数列，当（时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令化成等比数列求解.举例已知数列满足：，求此数列的通项公式.分析：由得：知数列是等比数列，首项为2，公比为2，所以，知.第六部分排列、组合与概率37、解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么，其次要分清完成该事件是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简单地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题，更要注意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时，“特殊元素特殊照顾，特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.特别提醒：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏.举例对于问题：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项活动，求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是这样解的：先从5位女同学中选出2名有种选法，再在剩下的6位同学中任选一位有种选法，所以共有种不同的选法.请分析这位同学的错误原因，并给出正确的解法.分析：这位同学的解法中犯了计数重复的错误.不妨设女同学的编号为A、B、C、D、E，如先选的为A、B，再选的为C，和先选的为A、C，再选的为B是同一种选法.本解法中作为两种不同的结果计数，所以重复. 正确解法有两种：方法一：（分类讨论）选出的3人中至少有2名女同学，则为2女1男有种不同选法，3位都为女同学有种不同选法.两种结果都能完成这件事，所以有种不同的选法.方法二：（去杂法）8位同学中选出3人不满足条件和选法为3男与2男1女.所有选法为，则满足题义的选法为：.38、简单地说：事件A的概率是含有事件A的“个体数”与满足条件的事件的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题实际上是排列、组合问题的简单应用.举例定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，集合的真子集可以作为A的“孙集”的概率是.分析：本例是“即时性”学习问题.要正确理解“孙集”的定义“真子集的真子集”.元素为个的集合的真子集有个，其真子集的元素最多有个.有个元素的集合的真子集最多有个元素.所以有个元素的集合的“孙集”实际上是原集合中的小于等于个元素的真子集.故其概率.第七部分向量39、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，表示ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、（或）.举例已知非零向量满足：，则向量的关系是（）A、平行；B、垂直；C、同向；D、反向.分析：注意到向量运算的几何意义：与表示以和为一组邻边的平行四边形的两对角线的长.我们知道：对角线相等的平行四边形是矩形，从而有.选B.另一方面，本例也可以利用向量的运算来进行求解.，化简得：，有.40、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量同向的单位向量，反向的单位向量.举例已知ABC，点P满足则点P的轨迹是（）A、BC边上的高所在直线；B、BC边上的中线所在直线；C、平分线所在直线；D、BC边上中垂线所在直线.分析：这是一道很“漂亮”的与向量相关的问题.，它涵盖了单位向量、向量加法的意义、数与向量乘积的概念等.注意到分别是上的单位向量，则是以上的单位向量为邻边的菱形的对角线上的向量，所以所在直线是平分线所在直线，则P点的轨迹是平分线所在直线.选C.41、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积；其中可视为向量在向量上的射影.举例1已知ABC是等腰直角三角形，90，ACBC2，则；ABC分析：特别注意的是，向量与的夹角不是ABC的内角B， 与的夹角是的外角.（如图）由，则，则.ABCDP举例2P是ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点，AD4，则的取值范围是.分析：由D是BC的中点知，与反向，它们所成角为.设，则.那么.所以其取值范围为.42、向量运算中特别注意的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.举例已知，且的夹角为，又，求.分析：，则，由题知，所以.注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解.请同学们自己完成.43、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知则.若，则，其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.请注意：向量的坐标形式实质上是其分解形式的“简记”.其中分别表示与轴、轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量是非零向量则有：；.举例设O是直角坐标原点，在轴上求一点P，使最小，并求此时的大小.分析：设，则则=，所以当时，的最小值为此时，所夹角等于，所以.所以.44、利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是.特别注意不能等同于所成角是锐角.当同向时也满足.举例1已知ABC，则“”是“ABC为钝角三角形”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充分必要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：对于ABC，由可知是钝角，但ABC为钝角三角形，不一定A是钝角.选A.举例2是过抛物线焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则ABO是（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与P值有关.分析：由直线过焦点，设其方程为，联立得：，即：，设，则，又=.则，则一定是钝角.选C.45、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型.举例已知向量.设.（1）若且，求的值；（2）若函数的图像按向量平移后得到函数的图像，求实数的值.分析：（1）由题知：，由题：，又，所以.（2）函数是由函数向左平移，再向上平移1个单位而得，所以.第八部分空间图形46、平面的基本性质是高考中立体几何的重点内容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形.举例1已知线段AB长为3，A、B两点到平面的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面所成角的大小为；分析：要注意到点A、B是平面同侧还是在平面的两侧的情况.当A、B在平面的同侧时，AB所在直线与平面所成角大小为；当A、B在平面的两侧时，AB所在直线与平面所成角为.举例2判断命题：“平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则平面与平面是平行平面”的真假.分析：这是一个假命题.只有当这三点在平面的同侧时，两平面才平行.47、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.举例已知平面，直线.有下列命题：（1）；（2）（3）；（4）.其中正确的命题序号是.分析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线可能在平面内.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面内两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）.48、直线与平面所成角的范围是；两异面直线所成角的范围是.一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可.举例设A、B、C、D分别表示下列角的取值范围：（1）A是直线倾斜角的取值范围；（2）B是锐角；（3）C是直线与平面所成角的取值范围；（4）D是两异面直线所成角的取值范围.用“”把集合A、B、C、D连接起来得到.分析：直线倾斜角的范围是，锐角的范围是.由此：.61、直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化.ABCA1B1C1E举例正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC1A1所成角为30.试求：（1）三棱柱ABCA1B1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的距离.分析：（1）求三棱柱的体积，只要求出其高即可.由BC1与平面ACC1A1所成角为30，则要作出BC1在平面ACC1A1上的射影.取AC中点E，则BE，所以平面ACC1A1，则EC1是BC1在平面ACC1A1上的射影.有=30.由，知，所以.则三棱柱的体积V=.（2）若直接求点C到平面BAC1的距离，则需要作垂线、定垂足，比较麻烦.利用体积转化则比较简单.注意到三棱锥CABC1即为三棱锥C1ABC，其体积为，设C到平面BAC1的距离为，则.容易求得，所以点C到平面BAC1的距离为.62、长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为，对角线长为，则.利用这一关系可以得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为，则；（2）若长方体的对角线与三面所成角分别为，则.举例长方体ABCDA1B1C1D1的对角线AC1与过A点的三条棱所成的角分别为，若，则（）A、；B、；C、D、不确定.分析：根据得，则，.选C.63、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形.举例1如图是一正方体的平面展开图，在这个正方体中：（1）AF与CN所在的直线平行；（2）CN与DE所在的直线异面；（3）CN与BM成60角；（4）DE与BM所在的直线垂直.以上四个命题中正确的命题序号是；分析：将此展开图还原成正方体（如图）.可以看出：（2）、（3）、（4）是正确命题.BMFADECNABCDEFMN举例2ABCDA1B1C1D1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点A出发以相同速度沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是，黑蚂蚁爬行的路线是，在爬行过程中它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线（其中）.设黑、白两只蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两个蚂蚁的距离是（）A、1；B、；C、；D、0.分析：注意到它们的运动规律，都是呈周期运动，运动周期为6.经过2007次运动，由知，它们运动后所停位置就是第3次运动后所停位置.则它们都到达C1点，所以这两蚂蚁之间的距离为0，选D.64、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚.外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）；内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.举例三棱锥的“三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：三侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，又底面是正三角形，则外心就是中心，知此三棱锥是正三棱锥.反之也成立，选C.65、关注正棱锥中的几个直角三角形.（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.举例若一正三棱锥的底面边长是，体积为，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为；侧面与底面所成二面角的大小为；此三棱锥的侧面积为.ABCDEO分析：如图，设正三棱锥ABCD的高为.由题知：，则.设BC中点为E，顶点A在底面上的射影为O.注意三角形ADO中含有侧棱与底面所成角即与侧面底面所成二面角的平面角即.由底面是正三角形且边长为知，则.所以侧棱与底面所成角大小为，侧面与底面所成二面角大小为.由知，可求得侧面积为.求侧面积也可以利用面积射影定理，由侧面与底面所成二面角正切值为，则此二面角的余弦值为，正三棱锥各侧面与底面所成的二面角都相等，则，所以.ABCDA1B1C1D1EF66、直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角在计算过程中都有射影定理.两直线所成角余弦值的大小是一直线上的线段在另一直线上的射影长（过此线段两端点向另一直线作垂线，两垂足之间的线段长，若两直线垂直，则两垂足重合，射影长为0）与原线段长的比；二面角的平面角（或其补角）的余弦值等于，其中是一个半平面上的图形面积，是此图形在另一平面上的射影图形面积.举例如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线BE与CD1所成角的大小为.分析：B点在直线CD1上的射影是C点，过E作EFCD1于F，则F是E在直线CD1上的射影.设正方体棱长为2，则，.设BE与CD1所成角为，则.所以BE与CD1所成角大小为.说明：利用这种方法在解选择、填空等问题时比较方便，但要注意的此法解大题时慎用.67、特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.举例1如图三棱锥SABC中，SA平面ABC，90，则此三棱锥的四个面中的直角三角形的个数有个.SABC分析：此三棱锥的四个面都是直角三角形.此图中有三垂线定理（）；线面角（是SC与平面ABC所成的角，是SB与平面ABC所成的角）；二面角的平面角（是二面角SBCA的平面角）等.举例2如图在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD.（1）求四棱锥SABCD的体积； （2）求SC与AB所成角的大小.分析：（1）底面积S=，.SABCD（2）建立如图坐标系，则，设向量与所成角为，则，即SC与AB所成角的大小为.68、对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面内的两点、点线及两线的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间的距离一般会发生变化.要认清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据问题画出空间图形.举例如图在正三角形ABC中，D、E、F分别是各边的中点，G、H、I分别是DE、FC、EF的中点.将三角形ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，BG与IH所成角的大小为（）BDEFHICGAA、； B、； C、； D、.ADFEGIHBC分析：平面图形翻折成三棱锥后，A、B、C重合于一点，BG是BED的中线，HI/BE.所以BG与HI所成角为.选A.69、图形的分解、组合是立几命题的新思路，学会平面到空间、空间到平面的转化.举例下面的一组图形为一四棱锥SABCD的侧面与底面.ABCD（1）请画出四棱锥SABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.（2）求出此四棱锥的体积；SABCDEF（3）设E是最长侧棱的中点，F是底面正方形ABCD的边中与最长侧棱异面的边的中点，求EF与最短侧棱所成角的大小.分析：这是一道比较新颖的立体几何题.要能根据侧面与底面的形状先把它拼起来后，再解题.问题是从立几中解决，因此对于作图能力有一定的要求，作不出图则无法解决.（1）如图知，侧棱SA底面ABCD.因为侧面SAB、SAD都是等腰直角三角形.（2）该四棱锥的体积；（3）最长侧棱是SC，E是SC中点，取底面边AB的中点为F，最短侧棱为SA.即求EF与SA所成角的大小.不难求出此角为.第九部分直线与圆锥曲线70、直线的倾斜角是直线向上方向与轴正方向所成的角，当直线是轴或与轴平行时，直线的倾斜角是0，直线倾斜角的范围是.当直线与轴不垂直时，倾斜角的正切值称为直线的斜率.举例已知直线的斜率是，直线过坐标原点且倾斜角是倾斜角的两倍，则直线的方程为.分析：由的斜率是，知直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，则的斜率为，所以直线的议程为.71、若直线的倾斜角为，直线的斜率为，则与的关系是：；.举例已知直线的方程为且不经过第二象限，则直线的倾斜角大小为（）A、；B、；C、；D、.分析：注意到直线的斜率，又直线不过第二象限，则，所以此直线的倾斜角为，选B.72、常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式，过定点与轴不垂直；（2）斜截式，在轴上的截距为与轴不垂直；（3）截距式，在轴轴上的截距分别为与坐标轴不平行且不过坐标原点.特别注意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为1，或此直线过原点.举例与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A、2条；B、3条；C、4条；D、5条.分析：注意到截距与距离之间的区别，截距指的是曲线（直线）与坐标轴交点的一个坐标，它有正负（也可以是0）之分.选B.73、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”.举例过点与坐标原点距离为2的直线方程是.分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线满足题义，故所求直线有两条，其方程为：与.74、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率，要注意斜率不存在时的情况.掌握点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判断两直线之间的关系：直线：不全为0）、：，（不全为0）.则的充要条件是且与至少有一个不为零；的充要条件是；与相交的充要条件是.举例1直线斜率相等是的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：直线斜率相等，两直线可能重合，不一定有；又两直线，考虑到特殊情况，若都与轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜率相等了.选D.举例2直线过点与以为端点的线段AB有公共点，则直线倾斜角的取值范围是.分析：直线与线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决，先确定出“极限”位置时直线的倾斜角（斜率），再从旋转的角度进行变化研究.若直线与线段AB有公共点，则其斜率存在时的取值范围是：或，或其斜率不存在.因此直线倾斜角的取值范围是.利用数形结合解决这类问题时，困惑的是要求的直线斜率的取值范围问题.可以这样来确定：过定点P的直线（倾斜角为）与线段AB有公共点（PA、PB与轴不垂直），PA、PB的倾斜角分别为，则.若直线的斜率为（存在的话），PA、PB的斜率分别为，当时，则有；当时，则有或. 在解这类问题时也可以利用线性规划的有关知识来求解.设直线的方程为，若与线段AB有公共点（A、B两点在直线的两侧或有一点在直线上），则；若与AB没有公共点（A、B两点在直线的同侧），则.这样可很方便地求出直线的斜率.75、点A、B关于直线对称即是线段AB的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明AB的中点在上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为1或1时，对称点的坐标可用代入