高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明知识导航学案苏教版选修.docx

2.2.1 直接证明知识梳理1.直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明称为_（direct proof).2.从已知条件出发，以已知的_ 为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为综合法.3.从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件吻合为止.这种证明方法称为_.知识导学 综合法的基本思路是“由因导果”即从已知看可知，再逐步推向未知的方法.若用P表示已知条件，已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 分析法的基本思路是：从未知看需知，再逐步靠近已知，若用P表示已知条件，Q表示所要证明的结论，则分析法的框图可以表示为疑难突破1.综合法与分析法的异同点： 综合法与分析法是两种不同的证明方法，但它们都是直接证法，都属于演绎推理，几何学中的定理和数学问题中的证明，大部分都采用综合法和分析法. 综合法与分析法的不同之处是：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”.分析法便于我们去找思路，而综合法便于过程的叙述.2.证明与推理之间的联系和区别.（1）联系：证明过程其实就是推理的过程. 就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程.一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只是用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理.（2）区别：（）从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论，是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的，论据相当于推论的前提.（）从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是管不了的.而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的.典题精讲【例1】 已知a、b、cR+,且a+b+c=1,求证：（-1)(-1)(-1)8.思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和条件a+b+c=1的合理应用.可用综合法和分析法两种方法证明.证明：(方法1 综合法）（-1)（-1)（-1)=（)（-1)（-1)=8当且仅当a=b=c时取等号，所以不等式成立.（方法2 分析法）：要证（-1)（-1)（-1)8成立只需证8成立因为a+b+c=1,所以只需证8成立即：8只需证8成立而8显然成立.（-1)(-1)(-1）8成立.绿色通道：综合法是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到特征的结论；而在分析法中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实.黑色陷阱：在证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式的性质，要注意基本不等式应用的条件及等号成立的条件.【变式训练】 已知a、b、cR+,求证：（ab+a+b+1)(ab+bc+bc+c2)16abc.证明：综合法：方法1ab+a+b+1=(a+1)(b+1).ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)又a0,b0,c0,a+10,b+10,a+c0,b+c.(a+c)(b+c),(a+1)(b+1)0.因此当a,b,cR+时，有(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc,结论得证方法2分析法：要证(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc成立，只需证：(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)16ab成立.由于a0,b0,c0.a+1,b+1.a+c b+c(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)=16abc.即：(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc成立.【例2】 在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形.思路分析：将A、B、C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；a、b、c成等比数列，转化为符号语言就是b2=ac.A、B、C为ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=,此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状.余弦定理正好满足要求，于是可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由A、B、C成等差数列，所以有2B=A+C，因为A、B、C为ABC的内角，所以A+B+C=,所以B=.由a、b、c成等比数列，有b2=ac.由余弦定理及b2=ac,可得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac.a2+c2-ac=ac 即(a-c)2=0,因此a=c,从而有A=C.A=B=C=,所以ABC为正三角形.【变式训练】 如图2-2-1所示，设在四面体P-ABC中，ABC=90,PA=PB=PC,D是AC的中点，求证：PD垂直于ABC所在的平面.图2-2-1证明：因为BD是RtABC斜边上的中线，所以DA=DC=DB,又因为PA=PB=PC,而PD是PAD,PBD,PCD的公共边，所以PADPBDPCD.于是，PAD=PBD=PCD,而PDA=PDC=90,因此，PDB=90.可见PDAC和PDBD.由此可知PD垂直于ABC所在平面.【例3】 设a、b、c为一个三角形的三边，s=（a+b+c)且s2=2ab,试证：s2a.思路分析：题目中条件与结论之间的关系不明显，因此可以先结合条件把结论适当的转化.结合条件s=（a+b+c),可把结论s2a转化为（a+b+c)2a,即证b+c3a,我们结合条件s2=2ab，把结论s2a转化为s,即bs.再结合条件s=（a+b+c),把结论进一步转化为2ba+b+c,即ba+c从而得到证明.证明：要证s2a，由于s2=2ab,所以只需证s,即bs,因为s=（a+b+c),所以只需证2ba+b+c,即ba+c.由于a、b、c为一个三角形的三边，所以上式显然成立.于是原命题成立.绿色通道：利用分析法证明本题要注意挖掘其中的隐含条件，由结论适当转化.在分析法证明中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实.【变式训练】 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大.证明：设圆和正方形的周长即为L，依题意，圆的面积为,正方形的面积为因此只需证明.两边同乘以得：,因此只需有4,因为4显然成立.所以，,即问题得证.【例4】(2006年全国高考卷,20)如图2-2-2所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1，AC1的中点.（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（2）设AA1=AC=AB，图2-2-2求：二面角A1-AD-C1的大小.思路分析：本题以直三棱柱为载体，考查异面直线的公垂线的定义及二面角的求法.充分考查了证明的几种方法，在问题中的综合运用能力，会用综合法和分析法来解决问题.解法1：（1）设O为AC中点，连结EO，BO，则EOC1C，又C1CB1BEODB.EOBD为平行四边形，EDOB.AB=BC,BOAC,又平面ABC平面ACC1A1，BO面ABC，故BO面ACC1A1ED平面ACC1A1，EDAC1，EDCC1.EDBB1ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.（2）连结A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，A1EAC1，又由ED面A1ACC1和ED平面ADC1知，平面ADC1平面A1ACC1，A1E平面ADC1.作EFAD，垂足为F，连结A1F，则A1FAD，A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角.则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，tanA1FE=.A1FE=60.所以二面角A1-AD-C1为60.解法2：（1）如图，建立直角坐标系O-xyz，其中O为AC的中点.设A（a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c),则C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c).=(0,b,0), =(0,0,2c), =0,EDBB1,同理可证EDAC1所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.（2）不妨设A（1，0，0），则B（0，1，0），C（-1，0，0），A1（1，0，2），=（-1，-1，0），=（-1，1，0）=（0，0，2），=0, =0,即BCAB，BCAA1，又ABAA1=A，BC面A1AD.E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,0), =(-1,0,-1), =(-1,0,1), =(0,1,0),=0, =0即ECAE，ECED，又AEED=E，EC面C1AD.cos=即得和的夹角为60.所以二面角A1-AD-C1为60.绿色通道：本题主要考查直线与直线的垂直，直线与平面垂直的判定及二面角平面角的求法.方法一为传统解法，方法2为向量解法.两种方法各有千秋，充分体现了思维的灵活性.黑色陷阱:在解决此类问题时，要注意计算方法的灵活性，特别是向量解法，应注意各点的坐标.【变式训练】(2005年北京高考卷，20)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，如图2-2-3所示.（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面CDB1；（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.图2-2-3解：解法1直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5.ACBC.BC1在平面ABC内的射影为BC,ACBC1,(2)设CB1与C1B的交点为E，连结DE.D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1,DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.（3）DEAC1,CED为AC1与B1C所成的角.在CED中，ED=AC1=，CD=AB=,CE=CB1=.cosCED=异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.解法2：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC、BC，C1C两两垂直.如图所示，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)(1)=(-3,0,0), =(0,-4,4),=0，ACBC1.(2)设CB1与C1B的交点为E，连结DE，则E（0，2，2）=(-,0,2),=(-3,0,4),=,DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.(3)=(-3,0,4),=(0,4,4).cos,=.异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.问题探究问题1：设有比例式.由比例性质可得：=,.由此可得=-1.试指出这个推理的错误所在.导思：=是正确的.而得到结论=-1的错误原因是什么呢？探究：由题意令=t，且x、y、z0.x=t(y+z) y=t(z+x),z=t(x+y)x+y+z=t(y+z)+t(z+x)+t(x+y)=t(2x+2y+2z)=2t(x+y+z).x+y+z0 t=.由比例式的性质=是正确的.而x-y=t(y+z)-t(z+x)=t(y+z)-(z+x)=t(y-x)若x-y0,t=-1.此题错误的关键在于没有考虑x=y的情况.所以这个推理错误的关键是题目中没有告诉x、y、z是否完全相等，若x=y=z，则第二个关系式是错误的. 由此题可以看出，在证明问题的过程中，证明要严谨，思考要缜密，做到无懈可击，无可置疑.问题2：在ABC中，BC、AC边上的中线所在的直线AD与BE相交于点H.求证：AB边上的中线所在的直线也通过点H.证明：因为任何三角形的三条中线所在的直线相交于一点，所以AB边上的中线所在的直线一定通过点H.上述命题的证明正确吗？如果不正确，请说出