高中数学期末总复习(公式全集)(高中三年).doc

高中数学期末总复习(公式全集)(高中三年)1 元素与集合的关系:, 2德摩根公式 :3包含关系4元素个数关系： 5集合的子集个数共有 个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个6二次函数的解析式的三种形式(1)一般式;(2)顶点式;（当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式）(3)零点式；（当已知抛物线与轴的交点坐标为时,设为此式）（4）切线式：（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时,设为此式）7解连不等式常有以下转化形式8方程在内有且只有一个实根,等价于或9闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下：(1)当a0时,若,则；,(2)当a0)（1）,则的周期T=a；（2）,或,则的周期T=2a；(3),则的周期T=3a；(4)且,则的周期T=4a；30分数指数幂 (1)（,且）(2)（,且）31根式的性质（1）（2）当为奇数时,；当为偶数时,32有理指数幂的运算性质(1) (2) (3)注： 若a0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用33指数式与对数式的互化式: 34对数的换底公式 : (,且,且, ) 对数恒等式：(,且, )推论 (,且, )35对数的四则运算法则:若a0,a1,M0,N0,则(1); (2) ;(3); (4) 36设函数,记若的定义域为,则且;若的值域为,则,且37 对数换底不等式及其推广：设,且,则（1）（2）38 平均增长率的问题（负增长时）如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有39数列的通项公式与前n项的和的关系：( 数列的前n项的和为)40等差数列的通项公式：；其前n项和公式为：41等比数列的通项公式：；其前n项的和公式为或42等比差数列:的通项公式为；其前n项和公式为：43分期付款(按揭贷款) ：每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为)44常见三角不等式（1）若,则(2) 若,则(3) 45同角三角函数的基本关系式 ：,=,46正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变,符号看象限）,47和角与差角公式 ;(平方正弦公式);=(辅助角所在象限由点的象限决定, )48二倍角公式及降幂公式 49 三倍角公式 50三角函数的周期公式 函数,xR及函数,xR(A,为常数,且A0)的周期；函数,(A,为常数,且A0)的周期51正弦定理：（R为外接圆的半径）52余弦定理;53面积定理（1）（分别表示a、b、c边上的高）（2）(3)54三角形内角和定理 在ABC中,有55 简单的三角方程的通解 特别地,有 56最简单的三角不等式及其解集 57实数与向量的积的运算律:设、为实数,那么(1) 结合律：()=() ;(2)第一分配律：(+) =+;(3)第二分配律：(+)=+58向量的数量积的运算律：(1) = （交换律）;(2)（）= （）=（）;(3)（+）= +59平面向量基本定理 如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1、2,使得=1+2不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底60向量平行的坐标表示 设=,=,且,则 ()53 与的数量积(或内积)：=|61 的几何意义：数量积等于的长度|与在的方向上的投影|的乘积62平面向量的坐标运算(1)设=,=,则+=(2)设=,=,则-= (3)设A,B,则(4)设=,则=(5)设=,=,则=63两向量的夹角公式(=,=)64平面两点间的距离公式 =(A,B)65向量的平行与垂直 ：设=,=,且,则|= () =066线段的定比分公式 ：设,是线段的分点,是实数,且,则（）67三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为、,则ABC的重心的坐标是68点的平移公式 注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形上的对应点为,且的坐标为69“按向量平移”的几个结论（1）点按向量=平移后得到点(2) 函数的图象按向量=平移后得到图象,则的函数解析式为(3) 图象按向量=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为(4)曲线:按向量=平移后得到图象,则的方程为(5) 向量=按向量=平移后得到的向量仍然为=70 三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则（1）为的外心（2）为的重心（3）为的垂心（4）为的内心（5）为的的旁心71常用不等式：（1）(当且仅当ab时取“=”号)（2）(当且仅当ab时取“=”号)（3）（4）柯西不等式：（5）（6）(当且仅当ab时取“=”号)72极值定理:已知都是正数,则有（1）若积是定值,则当时和有最小值；（2）若和是定值,则当时积有最大值（3）已知,若则有（4）已知,若则有73一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外；如果与异号,则其解集在两根之间简言之：同号两根之外,异号两根之间；74含有绝对值的不等式 ：当a 0时,有或75无理不等式（1） （2）（3）76指数不等式与对数不等式 (1)当时,; (2)当时,;77斜率公式 （、）78直线的五种方程 （1）点斜式 (直线过点,且斜率为)（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距)（3）两点式 ()(、 ()两点式的推广：（无任何限制条件！）(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距,)（5）一般式 (其中A、B不同时为0)79两条直线的平行和垂直 (1)若,;(2)若,且A1、A2、B1、B2都不为零,；80夹角公式 (1)(,)(2)(,)直线时,直线l1与l2的夹角是81 到的角公式 (1)(,)(2)(,)直线时,直线l1到l2的角是82四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交： (1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除),其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程与直线平行的直线系方程是(),是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 (A0,B0)垂直的直线系方程是,是参变量(5)直线系与线段相交83点到直线的距离 ：(点,直线：)84 或所表示的平面区域设直线,则或所表示的平面区域是：若,当与同号时,表示直线的上方的区域；当与异号时,表示直线的下方的区域简言之,同号在上,异号在下若,当与同号时,表示直线的右方的区域；当与异号时,表示直线的左方的区域 简言之,同号在右,异号在左85 或所表示的平面区域或所表示的平面区域是两直线和所成的对顶角区域（上下或左右两部分） 86 圆的四种方程（1）圆的标准方程 （2）圆的一般方程 (0)（3）圆的参数方程 （4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、)87 圆系方程(1)过点,的圆系方程是,其中是直线的方程,是待定的系数(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,是待定的系数(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,是待定的系数特别地,当时,就是表示两圆的公共弦所在的直线方程88点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种若,则点在圆外;点在圆上;点在圆内89直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种():;90两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,;91圆的切线方程及切线长公式(1)已知圆若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程求切点弦方程,还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线斜率为k的切线方程可设为,再利用相切条件求b,必有两条切线(2)已知圆过圆上的点的切线方程为;斜率为的圆的切线方程为(3) 过圆外一点的切线长为92椭圆的参数方程是离心率,准线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离（焦准距） 通径的一半(焦参数)：93椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 ,；94椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部（2）点在椭圆的外部95 椭圆的切线方程 (1)椭圆上一点处的切线方程是 （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 （3）椭圆与直线相切的条件是96双曲线的离心率,准线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离（焦准距） 通径的一半(焦参数)：焦半径公式,两焦半径与焦距构成三角形的面积97双曲线的内外部(1)点在双曲线的内部(2)点在双曲线的外部98双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程： (2)若渐近线方程为双曲线可设为(3)若双曲线与有公共渐近线,可设为（,焦点在x轴上,焦点在y轴上）(4) 焦点到渐近线的距离总是99 双曲线的切线方程 (1)双曲线上一点处的切线方程是 （2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 （3）双曲线与直线相切的条件是100 抛物线的焦半径公式抛物线焦半径过焦点弦长101抛物线上的动点可设为P或 P,其中 102二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是103以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆,必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切104 抛物线的切线方程(1)抛物线上一点处的切线方程是 （2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是 （3）抛物线与直线相切的条件是105两个常见的曲线系方程(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数)(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线106直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或（弦端点A,由方程 消去y得到,为直线的倾斜角,为直线的斜率,） 107圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是特别地,曲线关于原点成中心对称的曲线是 曲线关于直线轴对称的曲线是 曲线关于直线轴对称的曲线是 曲线关于直线轴对称的曲线是 曲线关于直线轴对称的曲线是108圆锥曲线的第二定义：动点M到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数,若,M的轨迹为椭圆；若,M的轨迹为抛物线；若,M的轨迹为双曲线109证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行110证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直112证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面114证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行115空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：=(2)加法结合律：()=()(3)数乘分配律：()=116平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量117共线向量定理对空间任意两个向量、 ( ),存在实数使=三点共线、共线且不共线且不共线118共面向量定理 向量与两个不共线的向量、共面的存在实数对,使推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使,或对空间任一定点O,有序实数对,使119对空间任一点和不共线的三点A、B、C,满足（）,则当时,对于空间任一点,总有P、A、B、C四点共面；当时,若平面ABC,则P、A、B、C四点共面；若平面ABC,则P、A、B、C四点不共面四点共面与、共面（平面ABC）120空间向量基本定理 如果三个向量、不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使xyz推论 设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使121射影公式已知向量=和轴,是上与同方向的单位向量作A点在上的射影,作B点在上的射影,则122向量的直角坐标运算设,则(1) ；(2) ；(3) (R)；(4) ；123设A,B,则= 124空间的线线平行或垂直设,则；125夹角公式 设,则推论 ,此即三维柯西不等式126 正棱锥的侧面与底面所成的角为,则特别地,对于正四面体每两个面所成的角为,有127异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量）128直线与平面所成角(为平面的法向量)129若所在平面与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角,则特别地,当时,有130若所在平面与过的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角,则特别地,当时,有131二面角的平面角（根据具体图形确定是锐角或是钝角）或（,为平面,的法向量）132三余弦定理设AC是内的任一条直线,AD是的一条斜线AB在内的射影,且BDAD,垂足为D,设AB与(AD)所成的角为, AD与AC所成的角为, AB与AC所成的角为则133 三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,与二面角的棱所成的角是,则有 ;(当且仅当时等号成立)134空间两点间的距离公式 若A,B,则=135 点到直线距离(点在直线上,为直线的方向向量, =)136异面直线间的距离 (是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,