二次函数的存在性问题(面积问题).doc

二次函数的存在性问题二次函数的存在性问题 面积问题面积问题 08 湖北荆州湖北荆州 已知 如图 Rt AOB 的两直角边 OA OB 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的负 半轴上 C 为 OA 上一点且 OC OB 抛物线 y x 2 x m p 2 p m m p 为 常数且 m 2 2p 0 经过 A C 两点 1 用 m p 分别表示 OA OC 的长 2 当 m p 满足什么关系时 AOB 的面积最大 12 2 20 1 02 2 0 2 0 2 22020 2 1 2 2 11 2 22 11 2 22 1 2 1 2 2 1 2 2 2 AOB AOB AO yxxmppm xp xmp xp xmp mpmpp OAmp OCP OCOB SOA OB SOA OBP mp PmP m pmS A A A A AA A 令得 整理得 当时 B最大 08 湖北荆州湖北荆州 如图 等腰直角三角形纸片 ABC 中 AC BC 4 ACB 90 直角边 AC 在 x 轴上 B 点在第二象限 A 1 0 AB 交 y 轴于 E 将纸片过 E 点折叠使 BE 与 EA 所在直线重合 得到折痕 EF F 在 x 轴上 再展开还原沿 EF 剪开得到四边形 BCFE 然后把四边形 BCFE 从 E 点开始沿射线 EA 平移 至 B 点到达 A 点停止 设平移 时间为 t s 移动速度为每秒 1 个单位长度 平移中四边形 BCFE 与 AEF 重叠的面 积为 S 1 求折痕 EF 的长 2 是否存在某一时刻 t 使平移中直角顶点 C 经过抛物线的顶点 若存在 2 43yxx 求出 t 值 若不存在 请说明理由 3 直接写出 S 与 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围 25 1 45 10 12 2 ABC BEEA FEEA RtACBC CAB EFEA A OAOEAE EF A 折叠后与所在直线重合 又中 折痕 BA 交 Y 轴于 P O B C A x y O Cx A C1F1 E1 B1 B F E y 2 存在 设C P 413 3 003 POCCCP ACOAOCOP CP A 则为等腰直角三角形 直角顶点在射线上移动 可求得PC 所在直线解析式为 y x 3 2 43 2 1 21 231 21 45 2 1 cos45 2 xx xyxy CP C BCFEEABAC BCFE 2 抛物线 y x 抛物线的顶点为 代入得 点 在直线上 即直角顶点在移动中经过此抛物线的顶点 四边形沿射线移动速度为每秒一个单位长度 直角顶点向水平方向移动速度为长度单位秒 3 021 231 1 2 2 2 C Cts 直角顶点从 位置移动到 时 水平移动距离为 长度单位 直角顶点从开始到经过此抛物线顶点移动的时间 2 2 2 1 2 02 2 1 22 2 3 1 21 2 23 2 4 1 2 28 3 24 2 4 ttt t s ttt ttt P 08 湖北襄樊湖北襄樊 如图 四边形 OABC 是矩形 OA 4 OC 8 将 矩形 OABC 沿直线 AC 折叠 使点 B 落在 D 处 AD 交 OC 于 E 1 求 OE 的长 2 求过 O D C 三点抛物线的解析式 3 若 F 为过 O D C 三点抛物线的顶点 一动点 P 从 A 点 出发 沿射线 AB 以每秒一个单位长度的速度匀速运动 当运动时间 t 秒 为何值时 直线 PF 把 FAC 分成面积 之比为 1 3 的两部分 解 1 四边形 OABC 为矩形 CDE AOE 90 OA BC CD 又 CED OEA CDE AOE OE DE 222 3 3 OEOAADDE OE 解得分 2 EC 8 3 5 如图 4 过点 D 作 DG EC 于 G DGE CDE 129 55 DEDG DEEG DGEG ECCD ECDE 24 12 55 D O 点为坐标原点 故设过 O C D 三点抛物线的解析式为 2 yaxbx 解得 2 55 7 324 yxx 分 3 因为抛物线的对称轴为 x 4 5 4 2 其顶点坐标为 设直线 AC 的解析式为 y kx b 则 解得 1 4 9 2 yx 分 设直线 EP 交直线 AC 于 H过 H 作 HM OA 于 M 1 4 2 mm AMH AOC HM OC AH AC 1331 143 4 FAHFHC SS HMOCAHAC 或 AH H C 1 3或3 1 或 HM 2 或 6 即 m 2 或 6 1 2 1117 4 42 719 4 42 FHyxy FHyxy 18 直线解析式为当时 x 11 54 直线的解析式为当时 x 7 1854 117 t 当秒或秒时 直线FP把FAC 分成 面积比为1 3的两部分 12分 2 6480 242412 555 ab ab 32 5 4 b 5 a 80 4 kb b 1 2 4 k b 08 年湖北省武汉年湖北省武汉 如图 1 抛物线经过 A 1 0 C 3 2 两点 与轴交于点 2 3yaxaxb y D 与轴交于另一点 B x 求此抛物线的解析式 若直线将四边形 ABCD 面积二等分 求的值 1 0 ykxk k 如图 2 过点 E 1 1 作 EF 轴于点 F 将 AEF 绕平面内某点旋转 180 后得 MNQ 点x M N Q 分别与点 A E F 对应 使点 M N 在抛物线上 求点 M N 的坐标 2 13 2 22 yxx 4 3 k M 3 2 N 1 3 O x y E B D AF 图 2 A C O x y B D 图 1 08 湖南湘西湖南湘西 已知抛物线与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 其中点 B 在 x 轴的kxy 2 2 3 2 正半轴上 C 点在 y 轴的正半轴上 线段 OB OC 的长 是方程的两个根 OCOB 01610 2 xx 1 求 A B C 三点的坐标 2 在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标 3 连 AC BC 若点 E 是线段 AB 上的一个动点 与 A B 不重合 过 E 作 EF AC 交 BC 于 F 连 CE 设 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关系式 并写出自变量 m 的取值范围 mAE CEF 4 在 3 的基础上说明 S 是否存在最大值 并求出此时点 E 的坐标 判断此时 的形状 若不BCE 存在 请说明理由 1 方程2801610 21 2 xxxx 的两根为 OB 2 OC 8 B 2 0 C 0 8 函数2 2 3 2 2 xkxy的对称轴为 A 0 6 即 A 0 B 2 0 C 0 8 6 2 B 点在上kxy 2 2 3 2 k 2 22 3 2 0 3 32 k 函数解析式为 3 32 2 3 2 2 xy 顶点坐标为 大致图象及顶点坐标如右 3 32 2 3 AE m AB 8 mBE 8 OC 8 OA 6 据勾股定理得10 AC AC EF 即 BE AB EF AC mEF 8 810 4 8 5m EF 过 F 作 FG AB 于 G 5 4 sinsin FEBCAB 而 EF FG FEB sinmFG 8 S S CEB S FEB mmFGBEOCBE4 2 1 2 1 2 1 2 S 与 m 的函数关系式为 m 的取值为mmS4 2 1 2 80 m 4 中 S 有最大值mmS4 2 1 2 0 2 1 当 m 4 时 S 有最大值为 88 4 2 1 2 mS E 点坐标为 E 0 2 B 2 0 E 0 2 CE CB BCE 为等腰三角形 08 江苏淮安江苏淮安 如图所示 在平面直角坐标系中 二次函数图像的顶点为 P 与 x 轴交点1 2 2 xay 为 A B 与 y 轴交点为 C 连结 BP 并延长交 y 轴于点 D 1 写出点 P 的坐标 2 连结 AP 如果 APB 为等腰直角三角形 求 a 的值及点 C D 的坐标 3 在 2 的条件下 连结 BC AC AD 点 E 0 b 在线段 CD 端点 C D 除外 上 将 BCD 绕点 E 逆时针方向旋转 900 得到一个新三角形 设该三角形与 ACD 重叠部分的面积为 S 根据不同情 况 分别用含 b 的代数式表示 S 选择其中一种情况给出解答过程 其它情况直接写出结果 判断当 b 为 何值时 重叠部分的面积最大 写出最大值 08 辽宁沈阳辽宁沈阳 如图所示 在平面直角坐标系中 矩形的边在轴的负半轴上 边在轴ABOCBOxOCy 的正半轴上 且 矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形 点1AB 3OB ABOCO60 EFOD 的对应点为点 点的对应点为点 点的对应点为点 AEBFCD 抛物线过点 2 yaxbxc AED 1 判断点是否在轴上 并说明理由 Ey 2 求抛物线的函数表达式 3 在轴的上方是否存在点 点 使以点为顶点的xPQOBPQ 平行四边形的面积是矩形面积的 2 倍 且点在抛物线上 若存在 ABOCP 请求出点 点的坐标 若不存在 请说明理由 PQ 解 1 点在轴上 理由如下 Ey 连接 如图所示 在中 AORtABO 1AB 3BO 2AO 1 sin 2 AOB 30AOB 由题意可知 60AOE 306090BOEAOBAOE 点在轴上 点在轴上 Bx Ey 2 过点作轴于点DDMx M 在中 1OD 30DOM RtDOM 1 2 DM 3 2 OM 点在第一象限 点的坐标为 D D 3 1 22 由 1 知 点在轴的正半轴上2EOAO Ey 点的坐标为 点的坐标为 E 0 2 A 31 抛物线经过点 2 yaxbxc E2c 由题意 将 代入中得 31 A 3 1 22 D 2 2yaxbx 解得所求抛物线表达式为 3321 331 2 422 ab ab 8 9 5 3 9 a b 2 85 3 2 99 yxx 3 存在符合条件的点 点 理由如下 PQ 矩形的面积 以为顶点的平行四边形面积为 ABOC3AB BO A OBPQ 2 3 由题意可知为此平行四边形一边 又 边上的高为 2OB3OB OB 依题意设点的坐标为点在抛物线上 P 2 m P 2 85 3 2 99 yxx 2 85 3 22 99 mm 解得 1 0m 2 5 3 8 m 1 0 2 P 2 5 3 2 8 P 以为顶点的四边形是平行四边形 OBPQ 当点的坐标为时 PQOB 3PQOB 1 P 0 2 点的坐标分别为 Q 1 3 2 Q 2 3 2 Q 当点的坐标为时 点的坐标分别为 2 P 5 3 2 8 Q 3 13 3 2 8 Q 4 3 3 2 8 Q y x O D E C F A B y x O D E C F A BM 08 内蒙包头内蒙包头 已知直线经过点和点 交 y 轴于点 H 交 x 轴于点 F 1 kxy 2 dM 21 N 1 求 d 的值 2 将直线 MN 绕点 M 顺时针旋转 45 得到直线 ME 点在直线 ME 上 证明 ME x 轴 3 eQ 试求过 M N Q 三点的抛物线的解析式 3 在 2 的条件下 连接 NQ 作 的高 NB 点 A 为 MN 上的一个动点 若 BA 将 的NMQNMQ 面积分为 1 2 两部分 且射线 BA 交过 M N Q 三点的抛物线于点 C 试求点 C 的坐标 x O y 08 四川成都四川成都 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 OAB 的顶点 的坐标为 10 0 顶点 B 在第一象限 内 且 3 sin OAB AB5 5 5 1 若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点 求经过 O C A 三点的抛物线的函数表达式 2 在 1 中 抛物线上是否存在一点 P 使以 P O C A 为顶点的四边形为梯形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 若将点 O 点 A 分别变换为点 Q 2k 0 点 R 5k 0 k 1 的常数 设过 Q R 两点 且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y 轴的交点为 N 其顶点为 M 记 QNM 的面积为 QMN S QNR 的面积 求 的值 QNR S QMN S QNR S 解 1 如图 过点 B 作 BD OA 于点 D 在 Rt ABD 中 AB sin OAB 3 5 5 5 BD AB sin OAB 3 3 5 5 5 又由勾股定理 得 22 ADABBD 22 3 5 36 OD OA AD 10 6 4 点 B 在第一象限 点 B 的坐标为 4 3 设经过 O 0 0 C 4 3 A 10 0 三点的抛物线的函数表达式为 y ax2 bx a 0 由 经过 O C A 三点的抛物线的函数表达式为 1 1643 8 1001005 4 a ab ab b 2 15 84 yxx 2 假设在 1 中的抛物线上存在点 P 使以 P O C A 为顶点的四边形为梯形 点 C 4 3 不是抛物线的顶点 2 15 84 yxx 过点 C 做直线 OA 的平行线与抛物线交于点 P1 则直线 CP1的函数表达式为 y 3 对于 令 y 3x 4 或 x 6 而点 C 4 3 P1 6 3 2 15 84 yxx 12 12 4 6 3 3 xx yy 在四边形 P1AOC 中 CP1 OA 显然 CP1 OA 点 P1 6 3 是符合要求的点 若 AP2 CO 设直线 CO 的函数表达式为 1 yk x 将点 C 4 3 代入 得 11 3 43 4 kk 直线 CO 的函数表达式为 于是可设直线 AP2的函数表达式为 3 4 yx 1 3 4 yxb 将点 A 10 0 代入 得 直线 AP2的函数表达式为 315 42 x 315 42 yx 由 即 x 10 x 6 0 2 2 315 42 4600 15 84 yx xx yxx 12 12 10 6 0 12 xx yy 而点 A 10 0 P2 6 12 过点 P2作 P2E x 轴于点 E 则 P2E 12 在 Rt AP2E 中 由勾股定理 得 22 22 22 121620 APP EAE 而 CO OB 5 在四边形 P2OCA 中 AP2 CO 但 AP2 CO 点 P2 6 12 是符合要求的点 若 OP3 CA 设直线 CA 的函数表达式为 y k2x b2 将点 A 10 0 C 4 3 代入 得 直线 CA 的函数表达式为 直线 OP3的函数表达式为 222 22 2 1 100 2 43 5 kbk kb b 1 5 2 yx 1 2 yx 由即 x x 14 0 而点 O 0 0 P3 14 7 2 2 1 2 140 15 84 yx xx yxx 12 12 0 14 0 7 xx yy 过点 P3作 P3E x 轴于点 E 则 P3E 7 在 Rt OP3E 中 由勾股定理 得 而 CA AB 22 22 33 7147 5 OPPFOF 3 5 在四边形 P3OCA 中 OP3 CA 但 OP3 CA 点 P3 14 7 是符合要求的点 综上可知 在 1 中的抛物线上存在点 P1 6 3 P2 6 12 P3 14 7 使以 P O C A 为顶点的四边形为梯形 3 由题知 抛物线的开口可能向上 也可能向下 当抛物线开口向上时 则此抛物线与 y 轴的副半轴交与点 N 可设抛物线的函数表达式为 a 0 2 5 ya xkxk 即 22 310yaxakxak 22 349 24 a xkak 如图 过点 M 作 MG x 轴于点 G Q 2k 0 R 5k 0 G N 0 10ak2 M 3 0 2 k 2 349 24 kak 3 2 7 2 QOk QRk OGk 22 749 10 24 QGk ONakMGak 23 11 71035 22 QNR SQR ONkakak A AA 111 222 QO ONONGMOGQG GM AAAAA 2222 114931749 210 10 2242224 kakakakkkak 3 14949 29 1537 288 ak 33 21 35 3 20 4 QNMQNR SSakak AA 当抛物线开口向下时 则此抛物线与 y 轴的正半轴交于点 N 同理 可得 3 20 QNMQNR SS AA 综上所知 的值为 3 20 QNMQNR SS AA 08 四川泸州四川泸州 如图 已知二次函数的图像经过三点 A B C 它的 2 yaxbxc 1 0 3 0 0 3 顶点为 M 又正比例函数的图像于二次函数相交于两点 D E 且 P 是线段 DE 的中点 ykx 求该二次函数的解析式 并求函数顶点 M 的坐标 已知点 E 且二次函数的函数值大于正比例函数时 试根据函数图像求出符合条件的自变量的 2 3x 取值范围 当时 求四边形 PCMB 的面积的最小值 02k s 参考公式 已知两点 则线段 DE 的中点坐标为 11 D x y 22 E xy 1212 22 xxyy 1 由 则得 2 yaxbxc 解得 0 930 3 abc abc c 1 2 3 a b c 故函数解析式是 2 23yxx 由知 2 2 2314yxxx 点 M 1 4 2 由点 E在正比例函数的图像上得 2 3ykx 故 3 32 2 kk 得 3 2 yx 由解得 D 点坐标为 2 3 2 23 yx yxx 39 24 由图象可知 当二次函数的函数值大于正比例函数时 自变量的取值范围是 x 3 2 2 x 3 2 23 ykx yxx 解得 点 D E 坐标为 D 22 2416 2416 22 kkkkkk k A E 22 2416 2416 22 kkkkkk k A 则点 P 坐标为 P 由 知点 P 在第一象限 22 22 kk k A02k 由点 B C M 1 4 得 3 0 0 3 则 134115 2 4 222 COBM S 四边形 15151212 33 222222 OPCOPBPCMB kk SSSk AA A 四边形 整理 配方得 2 3193 4216 PCMB Sk 四边形 故当时 四边形 PCMB 的面积值最小 最小值是 1 2 k 93 16 y x D M E P C BA O 08 云南双柏云南双柏 已知 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 其中点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 线段 OB OC 的长 OB OC 是方程 x2 10 x 16 0 的两个根 且抛物线的对称轴是直线 x 2 1 求 A B C 三点的坐标 2 求此抛物线的表达式 3 求 ABC 的面积 4 若点 E 是线段 AB 上的一个动点 与点 A 点 B 不重合 过点 E 作 EF AC 交 BC 于点 F 连接 CE 设 AE 的长为 m CEF 的面积为 S 求 S 与 m 之间 的函数关系式 并写出自变量 m 的取值范围 5 在 4 的基础上试说明 S 是否存在最大值 若存在 请求出 S 的最大值 并求出此时点 E 的坐标 判断此时 BCE 的形状 若不存在 请说明理由 解 1 解方程 x2 10 x 16 0 得 x1 2 x2 8 点 B 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的正半轴上 且 OB OC 点 B 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 8 又 抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为 6 0 A B C 三点的坐标分别是 A 6 0 B 2 0 C 0 8 2 点 C 0 8 在抛物线 y ax2 bx c 的图象上 c 8 将 A 6 0 B 2 0 代入表达式 y ax2 bx 8 得 Error 解得Error 所求抛物线的表达式为 y x2 x 8 2 3 8 3 3 AB 8 OC 8 S ABC 8 8 32 1 2 4 依题意 AE m 则 BE 8 m OA 6 OC 8 AC 10 EF AC BEF BAC 即 EF EF AC BE AB EF 10 8 m 8 40 5m 4 过点 F 作 FG AB 垂足为 G 则 sin FEG sin CAB 4 5 FG 8 m FG EF 4 5 4 5 40 5m 4 S S BCE S BFE 8 m 8 8 m 8 m 1 2 1 2 8 m 8 8 m 8 m m m2 4m 1 2 1 2 1 2 自变量 m 的取值范围是 0 m 8 5 存在 理由 S m2 4m m 4 2 8 且 0 1 2 1 2 1 2 当 m 4 时 S 有最大值 S最大值 最大值 8 m 4 点 E 的坐标为 2 0 BCE 为等腰三角形 08 浙江丽水浙江丽水 如图 在平面直角坐标系中 已知点坐标为 2 4 直线与轴相交于点 A2 xxB 连结 抛物线从点沿方向平移 与直线交于点 顶点到点时停止移动 OA 2 xy OOA2 xPMA 1 求线段所在直线的函数解析式 OA 2 设抛物线顶点的横坐标为 Mm 用的代数式表示点的坐标 mP 当为何值时 线段最短 mPB 3 当线段最短时 相应的抛物线上是否存在点 使 PBQQMA 的面积与 的面积相等 若存在 请求出点的坐标 若PMAQ 不存在 请说明理由 解 1 设所在直线的函数解析式为 OAkxy 2 4 A42 k2 k 所在直线的函数解析式为 OA2yx 2 顶点 M 的横坐标为 且在线段上移动 mOA 0 2 顶点的坐标为 2ym mMm2m 抛物线函数解析式为 2 2yxmm 当时 0 2 2 x 2 2 2ymm 2 24mm m 点的坐标是 2 P 2 24mm 又 0 2 当时 PB 最短 PB 2 24mm 2 1 3m m1m 3 当线段最短时 此时抛物线的解析式为 PB 21 2 xy 假设在抛物线上存在点 使 设点的坐标为 Q QMAPMA SS AA Qx 2 23xx 当点落在直线的下方时 过作直线 交轴于点 QOAPPCAOyC 3PB 4AB 点的坐标是 0 1AP 1OC C1 点的坐标是 2 3 直线的函数解析式为 PPC12 xy 点落在直线上 QMAPMA SS AA Q12 xy 2 23xx 21x 解得 即点 2 3 12 2 2xx Q 点与点重合 QP 此时抛物线上不存在点 使 与 的面积相等 QQMAAPM 当点落在直线的上方时 QOA 作点关于点的对称称点 过作直线 交轴于点 PADDDEAOyE 的坐标分别是 0 1 2 5 1AP 1EODA ED 直线函数解析式为 DE12 xy 点落在直线上 QMAPMA SS AA Q12 xy 2 23xx 21x 解得 1 22x 2 22x 代入 得 12 xy 1 52 2y 2 52 2y 此时抛物线上存在点 1 22 52 2Q 225 22 2 Q 使 与 的面积相等 2 分 QMAPMA 综上所述 抛物线上存在点 1 22 52 2Q 225 22 2 Q 使 与 的面积相等 QMAPMA y B O A P M x 2x D y O A B P M x 2 x C E 09 湖北黄石湖北黄石 正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中 A在x轴正半轴上 D在y轴的负半轴上 AB交y轴正半轴于EBC 交x轴负半轴于F 1OE 抛物线 2 4yaxbx 过ADF 三点 1 求抛物线的解析式 3 分 2 Q是抛物线上DF 间的一点 过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M 交BC所在直线于N 若 3 2 FQNAFQM SS 四边形 则判断四边形AFQM的形状 3 分 3 在射线DB上是否存在动点P 在射线CB上是否存在动点H 使得APPH 且APPH 若存在 请给予严格证明 若不存在 请说明理由 4 分 解 1 依条件有 04 D 01 E 由OEAADO 知 2 4OAOE OD A 2 0 A 由RtRtADEABF 得DEAF 3 0 F 将AF 的坐标代入抛物线方程 得 4240 9340 ab ab 2 3 ab 抛物线的解析式为 2 22 4 33 yxx 3 分 2 设QMm 1 5 2 QAFQM Smy A 四边形 1 5 2 FQNQ Smy A 3 5 5 1 2 QQ mymym AA 设 Q ab 则 1 M ab 2 22 4 3 2 1 4 baa a ba 2 230aa 1a 舍去3a 此时点M与点D重合 QFAM AFQM AFQM 则AFQM为等腰梯形 3 分 3 在射线DB上存在一点P 在射线CB上存在一点H 使得APPH 且APPH 成立 证明如下 当点P如图 所示位置时 不妨设PAPH 过点P作PQBC PMCD PNAD 垂足 分别为QMN 若PAPH 由PMPN 得 ANPQ RtRtPQHAPN HPQPAN 又90PANAPN 90APNHPQ B A N D M C Q H P H N A D C B M P O y x B E A D C F N M Q B A D M C Q H P N O y x B E A D C F 图 12 2 x C O y A B D 1 1 APPH 2 分 当点P在如图 所示位置时 过点P作PMBC PNAB 垂足分别为MN 同理可证RtRtPMHPAN MHPNAP 又MHPHPN 90HPANPAHPNMHPHPM PHPA 1 分 当P在如图 所示位置时 过点P作PNBH 垂足为N PMAB 延长线 垂足为M 同理可证RtRtPHMPMA PHPA 1 分 注意 分三种情况讨论 作图正确并给出一种情况证明正确的 同理可证出其他两种情况的给予 4 分 若只给出一种正确证明 其他两种情况未作出说明 可给 2 分 若用四点共圆知识证明且证明过程正确 的也没有讨论三种情况的 只给 2 分 09 09 湖南益阳湖南益阳 阅读材料 如图 12 1 过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线 外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的 水平宽 a 中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫 ABC 的 铅垂高 h 我们可得出一种 计算三角形面积的新方法 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 ahS ABC 2 1 解答下列问题 如图 12 2 抛物线顶点坐标为点 C 1 4 交 x 轴于点 A 3 0 交 y 轴于点 B 1 求抛物线和直线 AB 的解析式 2 点 P 是抛物线 在第一象限内 上的一个动点 连结 PA PB 当 P 点运动到顶点 C 时 求 CAB 的铅 垂高 CD 及 CAB S 3 是否存在一点 P 使 S PAB S CAB 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 请说明理由 8 9 解 1 设抛物线的解析式为 4 1 2 1 xay 把 A 3 0 代入解析式求得1 a 所以324 1 22 1 xxxy 设直线 AB 的解析式为 bkxy 2 由求得 B 点的坐标为32 2 1 xxy 3 0 把 代入中 0 3 A 3 0 Bbkxy 2 解得 3 1 bk 所以3 2 xy 2 因为 C 点坐标为 4 所以当 x 时 y1 4 y2 2 所以 CD 4 2 2 平方单位 323 2 1 CAB S 3 假设存在符合条件的点 P 设 P 点的横坐标为 x PAB 的铅垂高为 h 则xxxxxyyh3 3 32 22 21 由 S PAB S CAB 得 8 9 3 8 9 3 3 2 1 2 xx 化简得 解得 09124 2 xx 2 3 x 将代入中 2 3 x32 2 1 xxy 解得 P 点坐标为 4 15 2 3 09 吉林长春吉林长春 如图 在直角坐标系中 矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上 点 A C 的坐标分别为 0 1 2 4 点 P 从点 A 出发 沿 A B C 以每秒 1 个单位的速度运动 到 点 C 停止 点 Q 在 x 轴上 横坐标为点 P 的横 纵坐标之和 抛物线cbxxy 2 4 1 经过 A C 两点 过点 P 作 x 轴的垂线 垂足为 M 交抛物线于点 R 设点 P 的运动时间为 t 秒 PQR 的面积为 S 平方单位 1 求抛物线对应的函数关系式 2 分 2 分别求 t 1 和 t 4 时 点 Q 的坐标 3 分 3 当 0 5 时 求 S 与 t 之间的函数关系式 并直接写出 S 的最大值 5 分 t 参考公式 抛物线的顶点坐标为 2 yaxbxc 2 b a 2 4 4 acb a 1 由抛物线经过点 A 0 1 C 2 4 得解得 2 1 1