最新版北师大九年级上数学教案(讲义)重要.doc

第第 1 1 章章 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 1 1 1 1 菱形的性质与判定菱形的性质与判定 一 教学目标 一 教学目标 1 菱形的性质定理的运用 2 菱形的判定定理的运用 二 教学重点难点 二 教学重点难点 掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导 运用综合法解决 菱形的相关题型 三 概念 三 概念 菱形性质 1 两条对角线互相垂直平分 2 四条边都相等 3 每条对角线平分一组对角 4 菱形是一个中心对称图形 也是一个轴对称图形 菱形的判定定理 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 定义 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 根据对角线 3 四条边都相等的四边形是菱形 根据四条边 4 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 对角线和角的关系 四 讲课过程 四 讲课过程 1 1 例题 例题 例 1 2006 大连 已知 如图 四边形 ABCD 是菱形 E 是 BD 延长线上一点 F 是 DB 延长线上一点 且 DE BF 请你以 F 为一个端点 和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段 猜想并证明它和图中已有的某一条 线段相等 只须证明一组线段相等即可 1 连接 AF 2 猜想 AF AE 3 证明 说明 写出证明过程的重要依据 考点 菱形的性质 全等三角形的判定与性质 专题 几何综合题 分析 观察图形应该是连接 AF 可通过证 AFB 和 ADE 全等来实现 AF AE 解答 解 1 如图 连接 AF 2 AF AE 3 证明 四边形 ABCD 是菱形 AB AD ABD ADB ABF ADE 在 ABF 和 ADE 中 ABF ADE AF AE 点评 此题考查简单的线段相等 可以通过全等三角形来证明 例 2 2009 贵阳 如图 在菱形 ABCD 中 P 是 AB 上的一个动点 不与 A B 重合 连接 DP 交对角线 AC 于 E 连接 BE 1 证明 APD CBE 2 若 DAB 60 试问 P 点运动到什么位置时 ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 为什么 考点 菱形的性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 专题 证明题 动点型 分析 1 可先证 BCE DCE 得到 EBC EDC 再根据AB DC 即可得到结 论 2 当 P 点运动到 AB 边的中点时 S ADP S菱形 ABCD 证明 S ADP AB DP S菱形 ABCD即可 解答 1 证明 四边形 ABCD 是菱形 BC CD AC 平分 BCD 2 分 CE CE BCE DCE 4 分 EBC EDC 又 AB DC APD CDP 5 分 EBC APD 6 分 2 解 当 P 点运动到 AB 边的中点时 S ADP S菱形 ABCD 8 分 理由 连接 DB DAB 60 AD AB ABD 等边三角形 9 分 P 是 AB 边的中点 DP AB 10 分 S ADP AP DP S菱形 ABCD AB DP 11 分 AP AB S ADP AB DP S菱形 ABCD 即 ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 12 分 点评 此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定 判断当 P 点运动到 AB 边的中点时 S ADP S菱形 ABCD是 难点 例 3 2010 宁洱县 如图 四边形 ABCD 是菱形 BE AD BF CD 垂足分别为 E F 1 求证 BE BF 2 当菱形 ABCD 的对角线 AC 8 BD 6 时 求 BE 的长 考点 菱形的性质 全等三角形的判定与性质 分析 1 根据菱形的邻边相等 对角相等 证明 ABE 与 CBF 全等 再根据全等三角形对应边相等即可证明 2 先根据菱形的对角线互相垂直平分 求出菱形的边长 再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以 高两种求法即可求出 解答 1 证明 四边形 ABCD 是菱形 AB CB A C BE AD BF CD AEB CFB 90 在 ABE 和 CBF 中 ABE CBF AAS BE BF 2 解 如图 对角线 AC 8 BD 6 对角线的一半分别为 4 3 菱形的边长为 5 菱形的面积 5BE 8 6 解得 BE 点评 本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明 同时还考查了菱形面积的两 种求法 例 3 2011 广安 如图所示 在菱形 ABCD 中 ABC 60 DE AC 交BC 的 延长线于点 E 求证 DE BE 考点 菱形的性质 专题 证明题 分析 由四边形 ABCD 是菱形 ABC 60 易得 BD AC DBC 30 又由 DE AC 即可证得 DE BD 由直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半 即可证得 DE BE 解答 证明 法一 如右图 连接 BD 四边形 ABCD 是菱形 ABC 60 BD AC DBC 30 DE AC DE BD 即 BDE 90 DE BE 法二 四边形 ABCD 是菱形 ABC 60 AD BC AC AD AC DE 四边形 ACED 是菱形 DE CE AC AD 又四边形 ABCD 是菱形 AD AB BC CD BC EC DE 即 C 为 BE 中点 DE BC BE 点评 此题考查了菱形的性质 直角三角形的性质等知识 此题难度不大 注意数 形结合思想的应用 例 4 2010 益阳 如图 在菱形 ABCD 中 A 60 AB 4 O 为对角线 BD 的中点 过 O 点作 OE AB 垂足为 E 1 求 ABD 的度数 2 求线段 BE 的长 考点 菱形的性质 分析 1 根据菱形的四条边都相等 又 A 60 得到 ABD 是等边三角形 ABD 是 60 2 先求出 OB 的长和 BOE 的度数 再根据 30 角所对的直角边等于斜边的一半即可求出 解答 解 1 在菱形 ABCD 中 AB AD A 60 ABD 为等边三角形 ABD 60 4 分 2 由 1 可知 BD AB 4 又 O 为 BD 的中点 OB 2 6 分 又 OE AB 及 ABD 60 BOE 30 BE 1 8 分 点评 本题利用等边三角形的判定和直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半求解 需要熟练掌握 2 2 巩固练习巩固练习 1 有一组邻边相等的平行四边形是 2 菱形的两条对角线长分别是 8 cm 和 10 cm 则菱形的面积是 3 菱形的两邻角之比为 1 2 边长为 2 则菱形的面积为 4 菱形的面积等于 20 分 A 对角线乘积B 一边的平方 C 对角线乘积的一半 D 边长平 方的一半 5 下列条件中 可以判定一个四边形是菱形的是 20 分 A 两条对角线相等B 两条对角线互相垂直 C 两条对角线相等且垂直D 两条对角线互相垂直平分 6 菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是 20 分 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7 如图 四边形 ABCD 是菱形 ABC 120 AB 6cm 则 ABD DAC 的度数 为 对角线 BD AC 菱形 ABCD 的面积为 20 分 8 在矩形ABCD中 O是对角线AC的中点 EF是线段AC的中垂线 交AD BC于E F 求 证 四边形AECF是菱形 20 分 9 如图 在菱形 ABCD 中 AB BD 5 求 1 BAC 的度数 2 求 AC 的长 10 四边形ABCD是矩形 四边形AECF是菱形 若AB 2cm BC 4cm 求 四边形AECF的面积 A B C D O O A B C D M N O D C B A 11 在菱形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 上的点 且 CE CF 过点 C 做 CG EA 交 FA 于 H 交 AD 于 G 若 BAE 25 BCD 130 求 AHC 的度数 3 3 作业 作业 一 选择题 1 已知菱形两个邻角的比是 1 5 高是 8cm 则菱形的周长是 A 16cm B 32cm C 64cm D 128cm 2 已知菱形的周长为 40 cm 两对角线长的比是 3 4 则两对角线的长分别是 A 6cm 8cm B 3cm 4cm C 12cm 16cm D 24cm 32cm 3 如图 在菱形ABCD中 AE BC AF CD 且E F分别为BC CD的中点 那么 EAF等于 A 75 B 60 C 45 D 30 4 棱形的周长为 8 4cm 相邻两角之比为 5 1 那么菱形一组对边之间的距离为 A 1 05cm B 0 525cm C 4 2cm D 2 1cm 5 菱形具有而矩形不具有的性质是 A 对角相等 B 四边相等 C 对角线互相平分 D 四角相等 6 ABCD的对角线AC BD相交于点O 下列条件中 不能判定ABCD是菱形的是 A AB AD B AC BD C A D D CA平分 BCD 7 下列命题中 真命题是 A 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 C 对角线互相垂直的矩形是菱形 D 菱形的对角线相等 8 菱形是轴对称图形 对称轴有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 9 已知菱形的两条对角线长为 10cm 和 24cm 那么这个菱形的周长为 面积为 10 将两张长 10cm 宽 3cm 的长方形纸条叠放在一起 使之成 60 度 角 那么重叠部分的面积的最大值为 11 一个菱形面积为 80 周长为 40 那么两条对角线长度之和为 12 已知菱形 ABCD 中 E F 分别在 BC 和 CD 上 且 B EAF 60 BAE 15 求 CEF 的度数 13 已知 如图 在菱形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 上的点 且 CE CF 过点 C 作 CG EA 交 AF 于 H 交 AD 于 G 若 BAE 25 BCD 130 求 AHC 的度数 14 如图所示 已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上 且 AB AE BAE EAD AE 交 BD 于 M 试说明 BE AM 2 1 H H G G F F E E D D C C B B A A 15 如图 在 ABC 中 AB BC D E F 分别是 BC AC AB 上的中点 1 求证四边形 BDEF 是菱 形 2 若 AB 12cm 求菱形 BDEF 的周长 16 已知 如图 ABC 中 BAC 的平分线交 BC 于点 D E 是 AB 上一点 且 AE AC EF BC 交 AD 于点 F 求证 四边形 CDEF 是菱形 17 如图 平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD BC AC 分别交于点 E F O 求证 四边形 AFCE 是菱形 18 已知 如图 C 是线段 BD 上一点 ABC 和 ECD 都是等边三角形 R F G H 分别是四边形 ABDE 各边的中点 求证 四边形 RFGH 是菱形 19 如图 已知在 ABC 中 AB AC B C 的平分线 BD CE 相 交于点 M DF CE EG BD DF 与 EG 交于 N 求证 四边形 MDNE 是菱形 R R H H G G F F E E D DC C B B A A 1 2 1 2 矩形的性质与判定矩形的性质与判定 1 1 教学目标 教学目标 1 能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论 2 能运用矩形的性质进行简单的证明与计算 2 2 教学重难点 教学重难点 矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系 三 概念 三 概念 1 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形是特殊的平行四边形 2 矩形的性质 矩形具有平行四边形的所有性质 1 角 四个角都是直角 2 对角线 互相平分且相等 3 矩形的判定 1 有一个角是直角的平行四边形 2 对角线相等的平行四边形 3 有三个角是直角的四边形 4 矩形的对称性 矩形是中心对称图形 对角线的交点是它的对称中心 矩形是轴对称图形 对称轴有 2 条 是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线 5 矩形的周长和面积 矩形的周长 矩形的面积 长宽 为矩形的长与宽 2ba ab ba 注意 1 矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等 2 矩形是轴对称图形 两组对边的中垂线是它的对称轴 四 讲课过程 四 讲课过程 经典例题 例例 1 1 已知 O 是矩形 ABCD 对角线的交点 E F G H 分别是 OA OB OC OD 上的点 AE BF CG DH 求证 四边形 EFGH 为矩形 分析分析 利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明 证明 ABCD 为矩形 AC BD AC BD 互相平分于 O AO BO CO DO AE BF CG DH 四 边形四 边形四 边形 平 行 四 边 形平 行 四 边 形 矩 形矩 形 菱 形菱 形 梯 形梯 形 一角为90 一角为90 一组邻边相等一组邻边相等 正方形正方形 两组对边平行两组对边平行 只有一组对边平行只有一组对边平行 一角为直角且一组邻边相等一角为直角且一组邻边相等 邻边相等邻边相等 一角为90 一角为90 等等腰腰梯梯形形 两两腰腰相相等等 EO FO GO HO 又 HF EG EFGH 为矩形 例例 2 判断 1 两条对角线相等四边形是矩形 2 两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形 3 有一个角是直角的四边形是矩形 4 在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点 分析及解答分析及解答 1 如图 四边形 ABCD 中 AC BD 但 ABCD 不为矩形 2 对角线互相平分的四边形即平行四边形 对角线相等的平行四边形为矩形 3 如图 四边形 ABCD 中 B 90 但 ABCD 不为矩形 4 矩形对角线的交点 O 到四个顶点距离相等 如图 课堂练习题 1 判断一个四边形是矩形 下列条件正确的是 A 对角线相等 B 对角线垂直 C 对角线互相平分且相等 D 对角线互相垂直且相等 2 矩形的两边长分别为 10cm 和 15cm 其中一个内角平分线分长边为两部分 这两部分分别为 A 6cm 和 9cm B 5cm 和 10cm C 4cm 和 11cm D 7cm 和 8cm 3 在下列图形性质中 矩形不一定具有的是 A 对角线互相平分且相等 B 四个角相等 C 是轴对称图形 D 对角线互相垂直平分 4 在矩形 ABCD 中 对角线交于 O 点 AB 0 6 BC 0 8 那么 AOB 的面积为 周长为 5 一个矩形周长是 12cm 对角线长是 5cm 那么它的面积为 6 若一个直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12 则斜边上的中线等于 7 矩形的两条对角线的夹角是 60 一条对角线与矩形短边的和为 15 那么矩形对角线的长为 短边 长为 8 矩形的两邻边分别为 4 和 3 则其对角线为 矩形面积为 cm2 9 若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40 则两条对角线相交所成的锐角是 10 矩形的对角线相交所成的钝角为 120 矩形的短边长为 5 cm 则对角线之长为 cm 11 矩形 ABCD 的两对角线 AC 与 BD 相交于 O 点 AOB 2 BOC 若对角线 AC 的长为 18 cm 则 AD cm P H D C BA 12 已知 如图所示 矩形 ABCD 中 E 是 BC 上的一点 且 AE BC 15EDC 求证 AD 2AB 课后练习题 1 矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是 A 对角相等 B 对边相等 C 对角线相等 D 对角线互相平分 2 如图 在矩形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O AB 5 AC 13 则矩形 ABCD 的面积 题 2 题 4 3 已知 矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直 且该矩形的周长为 24 cm 则矩形的面积为 cm2 4 如图所示 在矩形 ABCD 中 AB 2BC 在 CD 上取一点 E 使 AE AB 则 EBC 5 如图 已知 ABC 中 AB AC D 为 BC 上一点 DE AB DF AC BM 为高 求证 DE DF BM 6 如图 ABCD 是矩形纸片 翻折 B D 使BC AD恰好落在AC上 设F H分别是B D落在AC上的两点 E G分别是折痕CE AG与AB CD的交点 1 求证 四边形AECG是平行四边形 2 若AB 4cm BC 3cm 求线段EF的长 7 已知 如图 在 ABC 中 AB AC AD BC 垂足为点 D AN 是 ABC 的外角 CAM 的平分线 CE AN 垂足为点 E 求证 四边形 ADCE 为矩形 8 如图 在矩形 ABCD 中 AP DC PH PC 求证 PB 平分 CBH 9 如图 矩形 ABCD 中 E 为 AD 上一点 EF CE 交 AB 于 F 若 DE 2 矩形 ABCD 的周长为 16 且 CE EF 求 AE 的长 B CD E A A BC D E M F A B E C D 10 已知 如图 平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E F G H 求证 四边形 EFGH 是矩形 11 已知 如图 四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的 M N 分别为 BC AD 的中点 求证 四边形 BMDN 是矩形 12 如图 已知在四边形中 交于 分别是四边的中点 ABCDACDB OEFGH 求证 四边形是矩形 EFGH 1 3 1 3 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 一 教学目标 一 教学目标 了解正方形的有关概念 理解并掌握正方形的性质和判定方法 二 教学重难点 二 教学重难点 探索正方形的性质与判定 掌握正方形的性质和判定的应用方法 三 概念 三 概念 正方形的性质 1 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 2 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 正方形的判定 1 有一个角是直角的菱形是正方形 2 有一组邻边相等的矩形是正方形 3 两组对边平行的菱形是正方形 4 对角线相等的菱形是正方形 5 对角线互相垂直的矩形是正方形 6 两组对边平行的矩形是正方形 7 四边相等 有一个角是直角的四边形是正方形 8 一组邻边相等 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 9 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 10 每个角都是 90 度的平行四边形是正方形 11 一组邻边相等 对角线平分的四边形是正方形 12 四个均为直角 每条对角线 平分一组对角的四边形是正方形 B A CD N M H G O F E D C B A 四 讲课过程四 讲课过程 1 例题 例例 1 如图 ABC 中 ACB 90 CD 平分 ACB DE BC DF AC 垂足分别为 E F 求证 四边形 CFDE 是正方形 分析 要证明四边形 CFDE 是正方形 可以先证四边形 CFDE 是矩形 然后再证明有一组邻 边 相等 也可以先证四边形 CFDE 是菱形 然后再证有一个角是直角 解 CD 平分 ACB DE BC DF AC DE DF 角平分线上的点到角的两边的距离相等 DEC ECF CFD 90 四边形 CFDE 是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 又 DE DF 已证 四边形 CFDE 是正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形 例例 2 已知 如图点 A B C D 分别是正方形 ABCD 四条边上的点 并且 AA BB CC DD 求证 四边形 A B C D 是正方形 分析 法一 先证明四边形 A B C D 是 菱形 再证明四边形 A B C D 有一个角是直角 法二 先证明四边形 A B C D 是 矩形 再证明四边形 A B C D 有一组邻边相等 证明 四边形 ABCD 是正方形 AB BC CD DA 又 A A B B C C D D D A A B B C C D A B C D 90 AA D BB A CC B DD C AD AB BC CD 四边形 A B C D 是菱形 又 AD A BA B AA D AD A 90 AA D BA B 90 D A B 180 AA D BA B 90 四边形 A B C D 是正方形 例例 3 如图 EG FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O EG FH 求证四边形 EFGH 为正方形 解答 正方形 ABCD EG FH OAH OBE 45 DB AC OA OB AOH 90 AOE BOE AOH BOE ASA OH OE 同理 OE OF OG OH 四边形 EFGH 是平行四边形 FH EG EG FH 四边形 EFGH 为正方形 2 巩固练习 如图 分别延长等腰直角 OAB 的两条直角边 AO 和 BO 使 AO OC BO OD 求证 四边形 ABCD 是正方形 矩形 ABCD 中 四个内角的平分线组成四边形 EMFN 判断四边形 EMFN 的形 状 并说明原因 3 判断下列命题哪些是真命题 哪些是假命题 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 四条边都相等的四边形是正方形 四个角都相等的四边形是正方形 四边相等 有一个角是直角的四边形是正方形 正方形一定是矩形 正方形一定是菱形 菱形一定是正方形 矩形一定是正方形 4 已知 如图 正方形ABCD中 CM CD MN AC 连结CN 则 DCN B MND B 5 在正方形ABCD中 AB 12 cm 对角线AC BD相交于O 则 ABO的周长是 A 12 12 B 12 6 C 12 D 24 62222 3 3 作业作业 1 在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E 使 CE CA 连接 AE 交 CD 于 F 求的度数 AFD 变式 1 已知如下图 正方形ABCD中 E是CD边上的一点 F为BC延 长线上一点 CE CF 1 求证 BEC DFC 2 若 BEC 60 求 EFD的度数 2 如图 E为正方形ABCD的BC边上的一点 CG平分 DCF 连结AE 并在 CG上取一点G 使EG AE 求证 AE EG 3 P为正方形ABCD内一点 PA 1 PB 2 PC 3 求 APB的度数 4 4 海南省 海南省 如图 P是边长为 1 的正方形ABCD对角线AC上一动点 P与A C不重合 点E在射线BC上 且PE PB 1 求证 PE PD PE PD 2 设AP x PBE的面积为y 求出y关于x的函数关系式 并写出x的取值范围 5 如图 四边形 ABCD 为正方形 以 AB 为边向正方形外作等边三角形 ABE CE 与 DB 相交于点 F 则 AFD 6 哈尔滨 若正方形 ABCD 的边长为 4 E 为 BC 边上一点 BE 3 M 为线段 AE 上一点 射线 BM 交正方形的一边于点 F 且 BF AE 则 BM 的长为 A BC P D E 7 正方形的面积是 则其对角线长是 3 1 8 E为正方形ABCD内一点 且 EBC是等边三角形 求 EAD的度数 9 如图 正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10 点 O 是正方形 ABCD 的中心 正方形 OMNP 绕 O 点旋转 证明 无论正方形 OMNP 旋转到何种位置 这两个正方形重叠 部分的面积总是一个定值 并求这个定值 10 E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点 垂足分别为 F G 求证 EFCD EGAD BE FG 11 已知中 CD 平分 交 AB 于 D DF BC DE AC 求证 Rt ABCA90C ACB 四边形 DECF 为正方形 第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 2 1 2 1 认识一元二次方程认识一元二次方程 一 教学目标 一 教学目标 1 经历方程解的探索过程 增进对方程解的认识 发展估算意识和能力 2 渗透 夹逼 思想 二 教学重点难点 二 教学重点难点 用 夹逼 方法估算方程的解 求一元二次方程的近似解 三 概念 一 三 概念 一 一元二次方程定义 含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 二 二 一元二次方程的一般形式 它的特征是 等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式 等式右边是零 其中 0 0 2 acbxax 叫做二次项 a 叫做二次项系数 bx 叫做一次项 b 叫做一次项系数 c 叫做常数项 2 ax 4 4 讲课过程讲课过程 一 复习 1 什么叫一元二次方程 它的一般形式是什么 一般形式 ax2 bx c 0 a 0 2 指出下列方程的二次项系数 一次项系数及常数项 1 2x2 x 1 0 2 x2 1 0 3 x2 x 0 4 x2 0 3 二 新授 1 估算地毯花边的宽 地毯花边的宽 x m 满足方程 8 2x 5 2x 18 也就是 2x2 13x 11 0 你能求出 x 吗 1 x 可能小于 0 吗 说说你的理由 x 不可能小于 0 因为 x 表示地毯的宽度 2 x 可能大于 4 吗 可能大于 2 5 吗 为什么 x 不可能大于 4 也不可能大于 2 5 x 4 时 5 2x2 5 时 5 2x 0 3 完成下表 x00 511 522 5 2x2 13x 11 从左至右分别 11 4 75 0 4 7 9 4 你知道地毯花边的宽 x m 是多少吗 还有其他求解方法吗 与同伴交流 地毯花边 1 米 另 因 8 2x 比 5 2x 多 3 将 18 分解为 6 3 8 2x 6 x 1 2 例题讲析 例 梯子底端滑动的距离 x m 满足 x 6 2 72 102 也就是 x2 12x 15 0 1 你能猜出滑动距离 x m 的大致范围吗 2 x 的整数部分是几 十分位是几 x00 511 52 x2 12x 15 15 8 75 25 2513 所以 1 x 1 5 进一步计算 x1 11 21 31 4 x2 12x 15 0 590 842 293 76 所以 1 1 x 1 2 因此 x 的整数部分是 1 十分位是 1 注意 1 估算的精度不适过高 2 计算时提倡使用计算器 3 巩固练习 1 判断下列方程是否为一元二次方程 如果是说明二次项及二次项系数 一次项及一次项系数和常数项 1 2x2 3x 5 2 x 5 x 2 x2 3x 1 3 2x 1 3x 5 5 4 3x 1 x 2 5x 2 把方程 3x 2 2 4 x 3 2化成一元二次方程的一般形式 并写出它的二次项系数 一次项系数和常数项 3 关于 x 的方程 k 3 x2 2x 1 0 当 k 时 是一元二次方程 4 试找出五个连续整数 使前三个数的平方和等于后两个数的平方和 如果设五个连续整数中的第一个数为 x 那么后面四个数依次可表示为 根据题意可得方程 5 判断下列方程哪些是一元二次方程 1 4x2 5x 1 x 2 9x4 5 0 3 x 5 3 x 1 4 ax2 b 1 x c 0 a 0 5 5 x 1 2 5x2 6 01 12 x 6 判断关于 x 的方程 x2 nx x n 1 5x 是不是一元二次方程 如果是 指出其二次 项系数 一次项系数及常数项 7 如果关于 x 的一元二次方程 x2 2 a 1 x a2 0 有两个整数根 a 为整数 且 12 a 60 求这个方程的两个根 四 小结 估计方程的近似解可用列表法求 估算的精度不要求很高 五 作业 1 五个连续整数 前三个数的平方和等于后两个数的平方和 你能求出这五个连续整数吗 2 一个面积为 120 平方米的矩形苗圃 它的长比宽多 2 米 求苗圃的周长 3 一名跳水运动员进行 10m 跳台跳水训练 在正常情况下 运动员必须在距水面 5m 以前完成规定的动作 并且调 整好入水姿势 否则就容易出现失误 假设运动员起跳后的运动时间 t s 和运动员距水面的高度 h m 满足关系 h 10 2 5t 5t2 那么他最多有多长时间完成规定的动作 4 已知两个数的和为 10 积为 9 求这两个数 5 把方程 2x x 3 x 1 x 2 3 化成 ax2 bx c 0 的形式后 a b c 的值分别是 A 3 7 1 B 2 5 1 C 1 5 1 D 3 7 1 6 方程 x2 1 x 2x2 y 1 0 3x2 1 0 中 其中是一元二次方程的是 x 1 1 5 2 x A B C D 7 方程 x2 x 的解是 A 1 B 1 或 1 C 0 D 1 或 0 8 在一幅长 80cm 宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边 制成一幅矩形图 如果要使整个挂图的面积是 5400cm2 设金色纸边的宽为 xcm 那么满足的方程是 A x2 130 x 1400 0 B x2 65x 350 0 C x2 130 x 1400 0 D x2 65x 350 0 9 一元二次方程的一般形式是 二次项是 一次项系数是 10 方程 3 x2 1 x 的二次项系数是 一次项是 常数项是 11 根据题意 列出方程 1 有一面积为 54 平方米的长方形 将它的一边剪短 5 米 另一边剪短 2 米 恰好变成一个正方形 这个正 方形的边长是多少 2 三个连续的整数两两相乘 再求和 结果为 242 这三个数分别是多少 12 把下列方程化成一元二次方程的一般形式 并写出它的二次项系数 一次项系数和常数项 13 关于 x 的方程 k2 1 x2 2 k 1 x 2k 2 0 当 k 时是一元二次方程 当 k 时是一元一次方程 14 关于 x 的方程 k x2 m 3 x 1 0 是一元二次方程 则 k 和 m 的取值范围分别为什么 2 3 15 把下列方程化成一般形式 并写出它的二次项 一次项 常数项 1 9x2 4x 5 2 x 7 4x 3 x 1 2 方程一般形式二次项系数一次项系数常数项 3x2 5x 1 x 2 x 1 6 4 7x2 0 2 2 用配方法求解方程用配方法求解方程 一 教学目标 一 教学目标 1 会用开平方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 2 理解配方法 会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程 3 体会转化的数学思想 用配方法解一元二次方程的过程 二 教学重难点 二 教学重难点 理解并掌握配方法 能够灵活运用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 如何利用等式的性 质进行配方 三 概念 三 概念 1 配方法 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根 这种解一元二闪方程的方法称为配方法 2 配方法一般步骤 1 方程两边同时除以 a 将二次项系数化为 1 0 0 2 acbxax 2 将所得方程的常数项移到方程的右边 3 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方 4 配方 化成bax 2 5 开方 当时 当 b0 则 k 16 9 即当 k 0 的前提下 用公式 x b 2a 求出 x 的值 5 具体写出 x1 b 2a x2 b 2a 3 利用配方法推导一元二次方程的求根公式 若给出一个一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 你觉得应如何利用配方法求解 1 ax2 bx c 0 a 0 方程的两边同时除以 a 可得到 2 把上式中的常数项移项可得 3 如果对上式进行配方 方程两边应加上什么式子 这个式子是怎样得到的 4 配方后可得 5 思考 对于上式能不能直接利用直接开平方 为什么 结论 结论 对于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 当 时 它的根是 x 式子 称为求根公式 用 解一元二次方程的方法称为公式法公式法 三 作业 1 用公式法解下列方程 1 2x2 4x 1 0 2 5x 2 3x2 3 x 2 3x 5 1 4 x2 2x 4 0 5 5x2 4 2x 6 x 2 3x 5 1 7 x2 8 0 8 x2 2x 35 0 9 5x2 15x 10 0 x25 10 9x2 6x 1 0 11 16x2 8x 3 2 一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数 求这个三角形的三条边长 3 方程 m 1 x m 1 m 3 x 1 0 1 m 取何值时 方程是一元一次方程 2 m 取何值时 方程是一元二次方程 并求出此方程的解 4 x 2 是方程 2x2 mx 4 0 的一个根 则 m 的值是 5 两个连续奇数的积是 483 则这两个奇数分别是 6 若一个等腰三角形三边长均满足方程 x2 6x 8 0 则此三角形的周长为 7 已知一元二次方程有一个根是 2 那么这个方程可以是 填上你认为正确的一个方程即 可 8 填空 1 方程 x2 2x 1 0 的根为 x1 x2 则 x1 x2 x1 x2 2 方程 x2 3x 1 0 的根为 x1 x2 则 x1 x2 x1 x2 3 方程 3x2 4x 7 0 的根为 x1 x2 则 x1 x2 x1 x2 2 2 用分解因式法求解一元二次方程用分解因式法求解一元二次方程 一 教学目标 一 教学目标 1 了解分解因式法的概念 2 会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程 3 体验解决问题的方法的多样性 灵活选择方程的解法 4 在学习活动中获得成功的体验 建立学好数学的信心 二 教学重点 难点二 教学重点 难点 会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程 会用因式分解法解某些简单的数字 系数的一元二次方程 三 概念 三 概念 因式分解法 一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法 四 教学程序 四 教学程序 一 复习 1 有两个数 a b 如果它们之间满足 a b 0 则 a b 的值会是怎样的情况 2 对下列各式分解因式 1 5x2 4x 2 x 2 x2 2x 二 新授 1 例题 例 1 如图所示 1 设花园四周小路的宽度均为 x m 可列怎样的一元二次方程 16 2x 12 2x 16 12 1 2 2 一元二次方程的解是什么 x1 2 x2 12 3 这两个解都合要求吗 为什么 x1 2 合要求 x2 12 不合要求 因荒地的宽为 12m 小路的宽不可能为 12m 它必须小于荒地宽的一半 例 2 设花园四角的扇形半径均为 x m 可列怎样的一元 二次方程 x2 12 16 1 2 2 一元二次方程的解是什么 X1 5 5 96 X2 5 5 3 合符条件的解是多少 X1 5 5 3 你还有其他设计方案吗 请设计出来与同伴交流 1 花园为菱形 2 花园为圆形 3 花园为三角形 4 花园为梯形 3 巩固练习 1 利用分解因式法解方程 1 5x2 4x 2 x 2 x x 2 2 你能用分解因式法解方程 x2 4 0 x 1 2 25 0 吗 与同学交流一下 四 小结 1 本节内容的设计方案不只一种 只要合符条件即可 2 设计方案时 关键是列一元二次方程 3 一元二次方程的解一般有两个 要根据实际情况舍去不合题意的解 五 作业 1 用分解因式法解方程 1 x2 6x 0 2 3 x 5 2 2 5 x 3 2 x 3 2 x2 9 4 4x2 4x 1 0 5 4 x 2 2 9 x 3 2 6 4x 2x 1 3 2x 1 7 2x 3 2 4 2x 3 8 3x x 1 2 2x 9 x 2 2 2x 3 2 10 x 2 x 3 12 11 x2 5x 8 0 12 2 x 3 2 x2 9 2 13 5 x2 x 3 x2 x 2 解方程 2x x 1 x 1 时 有的同学在方程的两边同时除以 x 1 得 2x 1 解方程得 x 0 5 这种做法对吗 如 果不对 请你写出正确的答案并与同学交流 3 方程 y2 4 2y 配方 得 A y 2 2 6 B y 1 2 5 C y 1 2 3 D y 1 2 3 4 已知 m2 13m 12 0 则 m 的取值为 A 1 B 12 C 1 和 12 D 1 和 12 5 如果关于 x 的一元二次方程 x2 2 a 1 x a2 0 有两个整数根 a 为整数 且 12 a 60 求这个方程的两个根 2 5 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 一 教学目标 一 教学目标 提高逻辑思维能力和分析问题 解决问题的能力 二 教学重难点 二 教学重难点 寻找等量关系 建立方程模型 三 概念 三 概念 一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是 那么 0 0 2 acbxax 21 xx a b xx 21 a c xx 21 4 教学程序 教学程序 1 例题精讲 例例1 1 已知关于的方程 1 有两个不相等的实数根 且关于的方程 2 没有实数根 问取什么整数时 方程 1 有整数解 分析分析 在同时满足方程 1 2 条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值 解解 方程 1 有两个不相等的实数根 解得 方程 2 没有实数根 解得 于是 同时满足方程 1 2 条件 的的取值范围是 其中 的整数值有或 当时 方程 1 为 无整数根 当时 方程 1 为 有整数根 解 得 所以 使方程 1 有整数根的的整数值是 例例2 2 不解方程 判别方程两根的符号 分析 分析 对于来说 往往二次项系数 一次项系数 常数项皆为已知 可据此求出根 的判别式 但 只能用于判定根的存在与否 若判定根的正负 则需要确定 或的正负情况 因此解 答此题的关键是 既要求出判别式的值 又要确定 或的正负情况 解 4 2 7 65 0 方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根为 0 原方程有两个异号的实数根 说明 说明 判别根的符号 需要把 根的判别式 和 根与系数的关系 结合起来进行确定 另外由于本题中 0 所以可判定方程的根为一正一负 倘若 0 仍需考虑的正负 方可判别方程是两个正根还 是两个负根 2 2 作业作业 填空题 填空题 1 如果关于的方程的两根之差为2 那么 2 已知关于的一元二次方程两根互为倒数 则 3 已知关于的方程的两根为 且 则 4 已知是方程的两个根 那么 5 已知关于的一元二次方程的两根为和 且 则 6 如果关于的一元二次方程的一个根是 那么另一个根是 的值 为 7 已知是的一根 则另一根为 的值为 8 一个一元二次方程的两个根是和 那么这个一元二次方程为 求值题 求值题 1 已知是方程的两个根 利用根与系数的关系 求的值 2 已知是方程的两个根 利用根与系数的关系 求的值 3 已知是方程的两个根 利用根与系数的关系 求的值 4 已知两数的和等于6 这两数的积是4 求这两数 5 已知关于 x 的方程的两根满足关系式 求的值及方程的两个根 6 已知方程和有一个相同的根 求的值及这个相同的根 能力提升题 能力提升题 1 实数在什么范围取值时 方程有正的实数根 2 已知关于的一元二次方程 1 求证 无论取什么实数值 这个方程总有两个不相等的实数根 2 若这个方程的两个实数根 满足 求的值 3 若 关于的方程有两个相等的正的实数根 求的值 4 是否存在实数 使关于的方程的两个实根 满足 如果存在 试求出所有满足条件的的值 如果不存在 请说明理由 5 已知关于的一元二次方程 的两实数根为 若 求 的值 6 实数 分别满足方程和 求代数式 的值 答案与提示 答案与提示 填空题 填空题 1 提示 解得 2 提示 由韦达定理得 解得 代入检验 有意义 3 提示 由于韦达定理得 解得 4 提示 由韦达定理得 由 可判定方程的两根异号 有两 种情况 设 0 0 则 设 0 0 则 5 提示 由韦达定理得 6 提示 设 由韦达定理得 解得 即 7 提示 设 由韦达定理得 8 提示 设所求的一元二次方程为 那么 即 设所求的一元二次方程为 求值题 求值题 1 提示 由韦达定理得 2 提示 由韦达定理得 3 提示 由韦达定理得 4 提示 设这两个数为 于是有 因此可看作方程 的两根 即 所以可得方程 解得 所以所求的两个数分别是 5 提示 由韦达定理得 化简得 解得 以下分两种情况 当时 组成方程组 解这个方程组得 当时 组成方程组 解这个方程组得 6 提示 设和相同的根为 于是可得方程组 得 解这个方程得 以下分两种情况 1 当时 代入 得 2 当时 代入 得 所以和相同的根为 的值分别为 能力提升题 能力提升题 1 提示 方程有正的实数根的条件必须同时具备 判别式 0 0 0 于是可得不等式组 解这个不等式组得 1 2 提示 1 的判别式 0 所以无论取什么实数值 这个方程总有两个不相等的实数根 2 利用韦 达定理 并根据已知条件可得 解这个关于的方程组 可得到 由于 所以可得 解这个方程 可得 3 提示 可利用韦达定理得出 0 0 于是得到不等式组 求得不等式组的解 且兼顾 即可得到 再由可得 接下去即可根据 得到 即 4 4 答案 存在 提示 因为 所以可设 由韦达定理得 于是可得方程组 解这个方程组得 当时 当时 所以的值有两个 5 提示 由韦达定理得 则 即 解得 6 提示 利用求根公式可分别表示出方程和的根 又 变形得 2 6 应用一元二次方程应用一元二次方程 1 教学目标 教学目标 1 能分析具体问题中的数量关系 建立方程模型并能解决现实情景中的实际问题 2 提高逻辑思维能力和分析问题 解决问题的能力 3 认识方程是刻画现实世界的有效数学模型 增强数学应用意识 二 教学重点难点 二 教学重点难点 列一元一次方程解应用题 依题意列一元二次方程 三 概念 三 概念 黄金分割中的黄金比是多少 准确数为 近似数为 0 618 5 1 2 四 教学程序 四 教学程序 一 复习 1 解方程 1 x2 2x 1 0 2 x2 x 1 0 2 哪些一元二次方程可用分解因式法来求解 方程一边为零 另一边可分解为两个一次因式 二 新授 1 黄金比的来历 如图 如果 那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC AB CB AC 由 得 AC2 AB CB AC AB CB AC 设 AB 1 AC x 则 CB 1 x x2 1 1 x 即 x2 x 1 0 解这个方程 得 x1 x2 不合题意 舍去 1 5 2 1 5 2 所以 黄金比 0 618 AC AB 1 5 2 注意 黄金比的准确数为 近似数为 0 618 5 1 2 上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题 其实 很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决 2 例题讲析 例 1 如图 某海军基地位于 A 处 在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B 在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C 小岛 D 位于 AC 的中点 岛上有一补给 码头 小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向上 一首军舰从 A 出发 经 B 到 C 匀速巡航 一首补给船同 时从 D 出发 沿南偏西方向匀速直线航行 欲将一批物品送达军舰 1 小岛 D 和小岛 F 相距多少海里 2 已知军舰的速度是补给船的 2 倍 军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处 那么相遇时补给船航行 了多少海里 结果精确到 0 1 海里 分析 1 提示 利用相似三角形的性质 2 勾股定理 一元二次方程 解 1 连接 DF 则 DF BC AB BC AB BC 200 海里 AC AB 200海里 C 45 22 CD AC 100海里DF CF DF CD 1 222 DF CF CD 100 100 海里 2 2 2 22 所以 小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里 2 设相遇时补给船航行了 x 海里 那么 DE x 海里 AB BE 2x 海里 EF A