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学院 系别 姓名 学号 密封线以内答题无效电子科技大学二零零 五 至二零零 六 学年第 一 学期期 末 数学物理方法 课程考试题（ 分钟） 考试形式： B卷 考试日期 2006年 月 日一二三四五六七八九十总分评卷教师一、 填空（5*4= 20分） 1、定解问题的解为2、确定下列本征值问题的本征值，本征函数 3、4、已知 则；而函数按的展开式为。二、 一根杆由截面相同的两段连接而成，两段的材料不同，杨氏模量分别为，写出衔接条件。（10分）解：设两段杆的接点为，在连接处位移是连续的，所以有，在连接处两方的作用力为：三、 在圆域上求解泊松方程的边值问题（20分）提示：先设法找到特解，再利用，把问题转化为的定解问题。【解】 先设法找到泊松方程的一个特解显然有，为对称起见，取又因为，这样，找到一个特解 令就把问题转化为的定解问题 在极坐标中用分离变量法求解拉普拉斯方程的一般结果为并且在圆域内应当是有界的但上式的和 当趋于零（圆心）时为无限大，所以应当排除，故于是 把上式代入边界条件比较两边系数得这样，所求解为四、用特征线法解（15分）解：特征方程为令，作特征变换，最后原来方程变为：所以利用初始条件得到 对（*）积分得到 所以所以：五、在上半平面内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 （20分） 提示：拉普拉斯第一边值问题解的公式；拉普拉斯方程的第一边值问题的解为 【解】 根据第一边值问题，构建的格林函数满足 分别在处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源），则可构建格林函数为 注意到边界外法线方向为负轴，故有 代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，并注意到拉普拉斯方程的自由项,则由得 或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式得到 六、已知勒让德多项式，将函数展开为勒让德多项式的形式。（10分）解：令，则 （1分） 设，（偶函数） （1分） （1分） ， （1分） （1分）七、利用特殊函数的有关性质，计算下列积分： (5分)解：方法一： （2分） （1分） （
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