2021版高考数学苏教版：圆锥曲线中的定点、定值问题含答案.doc

教学资料范本2021版高考数学苏教版：8.8圆锥曲线中的定点、定值问题含答案编 辑：_时 间：_第八节圆锥曲线中的定点、定值问题最新考纲会证明与曲线上动点有关的定值问题、会处理动曲线(含直线)过定点的问题考点1定点问题直线过定点1.动直线l过定点问题的基本思路设动直线方程(斜率存在)为ykxt、由题设条件将t用k表示为tmk、得yk(xm)、故动直线过定点(m,0)2动直线l过定点问题的解题步骤第一步：设AB直线ykxm、联立曲线方程得根与系数关系、求出参数范围；第二步：由AP与BP关系(如kAPkBP1)、得一次函数kf(m)或者mf(k)；第三步：将kf(m)或者mf(k)代入ykxm、得yk(xx定)y定 (20xx全国卷)已知椭圆C：1(ab0)、四点P1(1,1)、P2(0,1)、P3、P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1、证明：l过定点解(1)由于P3、P4两点关于y轴对称、故由题设知椭圆C经过P3、P4两点又由知、椭圆C不经过点P1、所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2.如果l与x轴垂直、设l：xt、由题设知t0、且|t|2、可得A、B的坐标分别为、则k1k21、得t2、不符合题设从而可设l：ykxm(m1)将ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知16(4k2m21)0.设A(x1、y1)、B(x2、y2)、则x1x2、x1x2.而k1k2.由题设k1k21、故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0、解得k.当且仅当m1时、0、于是l：yxm、即y1(x2)、所以l过定点(2、1)本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB、则AB必过定点.本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件(如kAPkBP定值、kAPkBP定值)、直线AB依然会过定点教师备选例题过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A、B两点、且|AB|8.(1)求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D、求证：直线BD过定点、并求出该点的坐标解(1)易知点F的坐标为(1,0)、则直线l的方程为yk(x1)、代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20、由题意知k0、且(2k24)24k2k216(k21)0、设A(x1、y1)、B(x2、y2)、x1x2、x1x21、由抛物线的定义知|AB|x1x228、6、k21、即k1、直线l的方程为y(x1)(2)由抛物线的对称性知、D点的坐标为(x1、y1)、直线BD的斜率kBD、直线BD的方程为yy1(xx1)、即(y2y1)yy2y1y4x4x1、y4x1、y4x2、x1x21、(y1y2)216x1x216、即y1y24(y1、y2异号)、直线BD的方程为4(x1)(y1y2)y0、恒过点(1,0)1.已知抛物线C的顶点在原点、焦点在坐标轴上、点A(1,2)为抛物线C上一点(1)求抛物线C的方程；(2)若点B(1、2)在抛物线C上、过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ、如kBPkBQ2、求证：直线PQ过定点解(1)若抛物线的焦点在x轴上、设抛物线方程为y2ax、代入点A(1,2)、可得a4、所以抛物线方程为y24x.若抛物线的焦点在y轴上、设抛物线方程为x2my、代入点A(1,2)、可得m、所以抛物线方程为x2y.综上所述、抛物线C的方程是y24x或x2y.(2)证明：因为点B(1、2)在抛物线C上、所以由(1)可得抛物线C的方程是y24x.易知直线BP、BQ的斜率均存在、设直线BP的方程为y2k(x1)、将直线BP的方程代入y24x、消去y、得k2x2(2k24k4)x(k2)20.设P(x1、y1)、则x1、所以P.用替换点P坐标中的k、可得Q(k1)2,22k)、从而直线PQ的斜率为、故直线PQ的方程是y22kx(k1)2在上述方程中、令x3、解得y2、所以直线PQ恒过定点(3,2)2已知圆x2y24经过椭圆C：1(ab0)的两个焦点和两个顶点、点A(0,4)、M、N是椭圆C上的两点、它们在y轴两侧、且MAN的平分线在y轴上、|AM|AN|.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线MN过定点解(1)圆x2y24与x轴交于点(2,0)、即为椭圆的焦点、圆x2y24与y轴交于点(0、2)、即为椭圆的上下两顶点、所以c2、b2.从而a2、因此椭圆C的方程为1.(2)证明：设直线MN的方程为ykxm.由消去y得(2k21)x24kmx2m280.设M(x1、y1)、N(x2、y2)、则x1x2、x1x2.直线AM的斜率k1k；直线AN的斜率k2k.k1k22k2k.由MAN的平分线在y轴上、得k1k20.又因为|AM|AN|、所以k0、所以m1.因此、直线MN过定点(0,1)动圆过定点动圆过定点问题求解时可以先取特殊值或者极值、找出这个定点、再用向量法证明用直径所对圆周角为直角 (20xx北京高考)已知抛物线C：x22py经过点(2、1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点、过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N、直线y1分别交直线OM、ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解(1)由抛物线C：x22py经过点(2、1)、得p2.所以抛物线C的方程为x24y、其准线方程为y1.(2)抛物线C的焦点为F(0、1)、设直线l的方程为ykx1(k0)由 得x24kx40.设M、N、则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1、得点A的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0、n)、则、(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0、即4(n1)20、则n1或n3.综上、以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0、3)动圆过定点问题本质上是向量垂直的问题. (20xx苏州二模)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为、焦点到相应准线的距离为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)如图、已知P(t,0)为椭圆E外一动点、过点P分别作直线l1和l2、直线l1和l2分别交椭圆E于点A、B和点C、D、且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2、求证：为定值解(1)设椭圆的半焦距为c、由已知得、c、c2a2b2、解得a2、c、b1、椭圆E的标准方程是y21.(2)由题意、得直线l1的方程为yk1(xt)、代入椭圆E的方程中、并化简得、(14k)x28ktx4kt240、设A(x1、y1)、B(x2、y2)、则x1,2.x1x2、x1x2.因为PA|x1t|、PB|x2t|、所以PAPB(1k)|x1t|x2t|(1k)|t2(x1x2)tx1x2|(1k)、同理、PCPD.因为k1、k2为定值、所以为定值考点2定值问题圆锥曲线中定值问题的2大解法(1)从特殊入手、求出定值、再证明这个值与变量无关；(2)引起变量法：其解题流程为 在平面直角坐标系xOy中、已知椭圆C：y21、点P(x1、y1)、Q(x2、y2)是椭圆C上两个动点、直线OP、OQ的斜率分别为k1、k2、若m、n、mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求OPQ的面积S是否为定值、并说明理由解(1)证明：k1、k2均存在、x1x20.又mn0、y1y20、即y1y2、k1k2.(2)当直线PQ的斜率不存在、即x1x2、y1y2时、由、得y0.又点P(x1、y1)在椭圆上、y1、|x1|、|y1|.SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时、设直线PQ的方程为ykxb.联立得方程组 消去y并整理得(4k21)x28kbx4b240、其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0、即b20)SPOQ|PQ|b|2|b|1.综合知POQ的面积S为定值1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件、得出与代数式参数有关的等式、代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式、再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式、再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得教师备选例题已知动圆P经过点N(1,0)、并且与圆M：(x1)2y216相切(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设G(m,0) 为轨迹C内的一个动点、过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A、B两点、当k为何值时、|GA|2|GB|2是与m无关的定值？并求出该定值解(1)由题意、设动圆P的半径为r、则|PM|4r、|PN|r、可得|PM|PN|4rr4、点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆、2a4,2c2、b、椭圆的方程为1.即点P的轨迹C的方程为1.(2)设A(x1、y1)、B(x2、y2)、由题意知2m2、直线l：yk(xm)、由得(34k2)x28k2mx4k2m2120、x1x2、x1x2、y1y2k(x1m)k(x2m)k(x1x2)2km、y1y2k2(x1m)(x2m)k2x1x2k2m(x1x2)k2m2、|GA|2|GB|2(x1m)2y(x2m)2y(x1x2)22x1x22m(x1x2)2m2(y1y2)22y1y2(k21).要使|GA|2|GB|2的值与m无关、需使4k230、解得k、此时|GA|2|GB|27.1.已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)、过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A、B、且直线PA交y轴于M、直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点、求证：为定值解(1)因为抛物线y22px过点(1,2)、所以2p4、即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知、直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210、解得k0或0k1.又PA、PB与y轴相交、故直线l不过点(1、2)从而k3.所以直线l斜率的取值范围是(、3)(3,0)(0,1)(2)证明：设A(x1、y1)、B(x2、y2)由(1)知x1x2、x1x2.直线PA的方程为y2(x1)令x0、得点M的纵坐标为yM22.同理得点N的纵坐标为yN2.由、得1yM、1yN.所以2.所以为定值2(20xx全国卷)在直角坐标系xOy中、曲线yx2mx2与x轴交于A、B两点、点C的坐标为(0,1)当m变化时、解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解(1)不能出