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定积分的概念 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的方法 2 取近似求和 任取xi xi 1 xi 第i个小曲边梯形的面积用高为f xi 而宽为dx的小矩形面积f xi dx近似之 3 取极限 所求曲边梯形的面积s为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积s的近似值 xi xi 1 xi 1 分割 在区间 0 1 上等间隔地插入n 1个点 将它等分成n个小区间 每个小区间宽度 x 一 定积分的定义 如果当n 时 s无限接近某个常数 这个常数为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 从求曲边梯形面积s的过程中可以看出 通过 四步曲 分割 近似代替 求和 取极限得到解决 定积分的定义 定积分的相关名称 叫做积分号 f x 叫做被积函数 f x dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 按定积分的定义 有 1 由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 2 设物体运动的速度v v t 则此物体在时间区间 a b 内运动的距离s为 定积分的定义 1 3 定积分的值与积分变量用什么字母表示无关 即有 4 规定 注 2 定积分的几何意义 x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f x 0时 由y f x x a x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 s 上述曲边梯形面积的负值 定积分的几何意义 s 例1 利用定积分的定义 计算的值 例2 用定积分表示图中四个阴影部分面积 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x f x x2 f x x2 1 2 f x 1 a b 1 2 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 三 定积分的基本性质 性质1 性质2 三 定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性 性质3 性质3不论a b c的相对位置如何都有 利用定义计算定积分 解 取分点为 i 1 2 n 1 则 i 1 2 n 在第i个小区间上取右端点 i 1 2 n 于是 利用几何意义求定积分 解函数y 1 x在区间 0 1 上的定积分是以y 1 x为曲边 以区间 0 1 为底的曲边梯形的面积 因为以y 1 x为曲边 以区间 0 1 为底的曲边梯形是一个直角三角形 其底边长及高均为1 所以 例2 练习 0 y x y x2 1 2 0 x y f x y g x a b y 试用定积分表示下列各图
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