第一册已知三角函数值求角.doc

第一册已知三角函数值求角 【教学课题】:已知三角函数值求角 【教学目标】:了解反三角函数的定义，掌握用反三角函数值表示给定区间上的角 【教学重点】:掌握用反三角函数值表示给定区间上的角 【教学难点】:反三角函数的定义 【教学过程】: 一问题的提出： 在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我们如何表示呢？相当于中如何用来表示，这是一个反解的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足： （1）包含锐角；（2）具有单调性；（3）能取得三角函数值域上的所有值。 显然对，这样的区间是；对，这样的区间是；对，这样的区间是； 二新课的引入： 1反正弦定义： 反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：. 对于注意： （1）（相当于原来函数的值域）； （2）（相当于原来函数的定义域）； （3）； 即：相当于内的一个角，这个角的正弦值为。 反正弦：符合条件（）的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。 例如：， 由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。 反余弦定义： 反余弦函数：函数，的反函数叫做反余弦函数，记作：. 对于注意： （1）（相当于原来函数的值域）； （2）（相当于原来函数的定义域）； （3）； 即：相当于内的一个角，这个角的余弦值为。 反余弦：符合条件（）的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。 例如：，由于，故为负值时，表示的是钝角。 反正切定义： 反正切函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：. 对于注意： （1）（相当于原来函数的值域）； （2）（相当于原来函数的定义域）； （3）； 即：相当于内的一个角，这个角的正切值为。 反正切：符合条件（）的角，叫做实数的反正切，记作：。其中，。 例如：， 对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。 练习： 三课堂练习： 例1请说明下列各式的含义： (1)；(2)；(3）；(4)。 解：（1）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角是； （2）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角不存在，即的写法没有意义，与，矛盾； （3）表示之间的一个角，这个角的余弦值为，这个角是； （4）表示之间的一个角，这个角的正切值为。这个角是一个锐角。 例2.比较大小：（1）与；（2）与。 解：（1）设：，；， 则， 在上是增函数， ，即。 （2）中小于零，表示负锐角， 中虽然小于零，但表示钝角。 即：。 例3已知：，求：的值。 解：正弦值为的角只有一个，即：， 在中正弦值为的角还有一个，为钝角，即：， 所求的集合为：。 注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。 例4已知：，求：的值。 解：余弦值为的角只有一个，即：， 在中余弦值为的角还有一个，为第三象限角，即：， 所求的集合为：。 例5求证：（）。 证明：，设， 则，即：，即：， ， ，即：。 例6求证：（）。 证明：，设，