双曲线的标准方程及其几何性质.doc

双曲线的标准方程及其几何性质主讲教师：刘杨【知识概述】一、双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a0，b0) 1(a0，b0)图形 性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0,a),A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【学前诊断】1难度 易 双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m_.2难度 中 双曲线方程：1，那么k的取值范围是 3难度 中 若双曲线1的一条渐近线方程为y0，则此双曲线的离心率为_【经典例题】例1在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点和，若顶点B在双曲线的左支上，则 =_.例2已知F是双曲线的左焦点，A（1,4），P是双曲线右支上的动点，则 的最小值为_.例3根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线有共同的渐近线，且过点； (2)与双曲线有公共焦点，且过点 例4 中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37. (1)求这两曲线方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值 例 5已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P. （1）求双曲线方程； （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：； （3）求的面积.【本课总结】解题技巧1双曲线中a，b，c的关系双曲线中有一个重要的RtOAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、c.易见c2a2b2，若记AOB，则e. 2双曲线的定义用代数式表示为|MF1|MF2|2a，其中2a|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值；(2)2a|F1F2|时，动点轨迹不存在3渐近线与离心率1 (a0，b0)的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小4. 求双曲线的方程求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程为axby0，可设双曲线方程为a2x2b2y2 (0)5焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.6共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线所以与双曲线1共用渐近线的双曲线的方程可设为t (t0)7已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程0就是双曲线1的两条渐近线方程易错防范1区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.2双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1)3双曲线1 (a0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx.4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点 【活学活用】1难度 易 双曲线中心在原点，且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是 ()A.y21 Bx21 C.1 D.12. 难度 中某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A(2,2)，B，则 ()A曲线C可为椭圆也可为双曲线 B曲线C一定是