成贤教材-高数B下§8.7多元函数微分学的几何应用.docVIP

8.7多元函数微分学的几何应用8.7.1空间曲线的切线与法平面定义1：设是空间曲线L上的一点，是L上的另一点。当点沿曲线L趋近于点时，割线的极限位置，称为曲线L在点处的切线。过点且与切线垂直的平面，称为曲线L在点处的法平面。 下面建立曲线的切线与法平面方程。 设空间曲线为L：，且、可微。 当及时，L上对应的两点为及，则割线的方程为，上式分母除以，得，当点时，有，对上式取极限，得 即为曲线。切线的方向向。 易知，曲线为 。 例1求螺旋线上对应于的点M处的切线与法平面方程。解：当时，点M的坐标为。 ， ，螺旋线在点M处的切线方程为， 即； 螺旋线在点M处的法平面方程为 ，即。注：（1）只要与成比例的向量均可作为切线的方向向量。 （2）若曲线方程为，则以参数，曲线处的切线方程 。 例2求曲线L：在对应于的点的切线方程与法平面方程。解：以参数，得曲线L的参数方程：，当时，点M的坐标为。，切线方程为； 法平面方程为，即。例3求抛物柱面及圆柱面相交所成的空间曲线在处的切线方程和法平面方程。解：曲线的参数方程为， 则，点对应于 ，故， 故切线方程为，即。 法平面方程为， 即。8.7.2曲面的切平面与法线定义2 若上过点的任意一条光滑曲线切线都在同一个平面上，则称该平面为曲面切平面，且垂直于切平面的直线称为曲面法线。设曲面的方程为，并设函数的偏导数在该点连续且不同时为零。过点，设其方程为，对应于点。由于L在曲面上，故。由全导数公式得， 即有， 令， ，则上式可写为，故。 由于处的切线的方向向量，而L是曲面上任何一条的曲线，因此上式表明，上的任何曲线的切线都与同一个向量垂直，因而都在法向量的同一平面内，该平面即为的切平面，且其方程为， 曲面在的法线方程为 。 若曲面方程由显函数给出，令，于是 ， ， 曲面在点处的切平面方程为 ， 曲面在点处的法线方程为 。 式右端恰好是函数在点的全微分，在几何上表示曲面在点处的切平面上点的竖坐标的增量。例4求圆锥面在点（3，4，5）处的切平面及法线方程。 解：设， ， ， ， ， 圆锥面在点（3，4，5）处的切平面方程为，即。 法线方程为，即。 例5问球面上哪一点的切平面与平面平行？并求此切平面方程。 解：令，则， 设切点为，则该点处切平面的法向量为， 切平面与平面平行，它们的法向量平行， ，解得， 点在球面上， ， 即，解得， 切点为和，相应的切平面方程为 和。即和。例6设可微，试证曲面上各点的法向量总垂直于常向量。证明：设，则曲面在任一点处的法向量为 ， ，故曲面上各点的法向量总垂直于常向量。例7求曲线 在点处的切线方程与法平面方程。解：曲面在点处的法向量为，平面的法向量为。所求切线的方向向量，切线方程为， 法平面方程为，即。8.8多元函数的极值8.8.1 极值定义 设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于点的点，若满足不等式，则称函数在点有极大值；若满足不等式，则称函数在点有极小值。极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点。称为极值点例如，函数在点处有极小值。 函数在点处有极大值。 二元函数的极值的概念可推广到元函数。定理1（极值存在的必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则必有 ，。 证明：不妨设在点处取得极大值。则对于点的 某邻域内异于点的点，都有。 特殊地，取， 的点，则应有。 这表明一元函数在点处取得极大值，故必有。 类似地可证。 定理1可推广到元函数。 同时满足，的点称为函数的驻点。 注意： 可导函数的极值点驻点例如，点为函数的驻点，但不是函数的极值点。定理2（极值存在的充分条件）设函数在点的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又， 记， ，则在点处是否取得极值的条件如下： （1）当时有极值，且当，当； （2）当时没有极值； （3）当时可能有极值，也可能没有极值。求函数的极值的步骤（1）求偏导数，；（2）解方程组，求出一切驻点；（3）对于每一驻点，求出， ；（4）定出的符号，按定理2的结论判定出是否是极值、是极大值还是极小值。例1求函数的极值。解：，驻点为（0，0），（1，1）。 。ABCD结论（0，0）0-30-不是极值点（1，1）6-36+极小值点函数在点（1，1）有极小值f（1，1）-1。8.8.2 最大值及最小值 有界闭区域上连续的函数一定有最大值和最小值。若使函数取得最大值或最小值的点在区域的内部，则这个点必然是函数的驻点，或者是一阶偏导数中至少有一个不存在的点，然而最大值和最小值也可能在该区域的边界上取得。因此，求有界闭区域上二元函数的最大值和最小值时，首先要求出函数在内的驻点、一阶偏导数不存在的点处的函数值及该函数在的边界上的最大值和最小值，比较这些值，其中最大者就是该函数在上的最大值，最小者就是该函数在上的最小值。在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数在区域内一定有最大（小）值，而函数在内只有一个驻点，那么可以断定该驻点处的函数值就是函数在上的最大（小）值。例2.求函数在圆域的最大值和最小值。解： ，得圆域内的驻点（1，0），在圆域的边界上有，在圆域上，。例3某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？解：设水箱的长为，宽为，则高，水箱所用材料的面积，即。 令，解之得， 函数在定义域内只有唯一的驻点, 又由问题的实际意义可知,函数A在定义域D内一定有最小值， 当水箱的长和宽均为，高为时，水箱所用的材料最省。例4有一宽为24厘米的长方形铁板，把它两边折起来做成一个断面为等腰梯形 的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：设折起来的边长为，倾角为， 则梯形断面的下底边长为， 上底边长为，高为，断面面积为 ，即 ，定义域， 令， ，有 由(1)得 (3) (3)代入(2)得： ， ，（舍去），。， 由题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在内取得。通过计算可知时的函数值比，时的函数值为小，又函数在只有唯一驻点，故可以断定当，时，能使断面面积的最大。8.8.3 条件极值 对自变量仅仅限制在函数的定义域内，此外无其他约束条件的极值问题，称为无条件极值。但在实际问题中，常会遇到另一类的极值问题，即对函数的自变量还有附加条件。例如求表面积为而体积为最大的长方体。设长方体的长、宽、高为，则体积，又因表面积为，故自变量还必须满足条件，这就是对自变量的附加条件。像这类对自变量有附加条件的极值问题称为条件极值。条件极值 在条件的限制下，求函数的极值，叫做条件极值问题，方程叫做约束方程。拉格朗日乘数法 设和在所考虑的区域内具有连续的一阶偏导数，且。由方程所确定的隐函数为，则 ， 将代入得， ， ， 由极值存在的必要条件得 解此方程组，得可能极值点。 令，方程组可改写为 从这个方程组解出，其中()即为可能极值点。这种方法叫做拉格朗日乘数法。 方程组表示了函数的四个一阶偏导数等于0： 称为拉格朗日函数，是由要求极值的函数加上条件方程的函数乘以数而得到。称为拉格朗日乘数。用拉格朗日乘数法求条件极值的步骤（1）构造函数， （2）解方程组， 即，得可能极值点。注：（1）若由问题的实际意义知必存在条件极值，且只有唯一的驻点，则该驻点即为所求的极值点。 （2）拉格朗日乘数法可推广到自变量多于三个而约束条件多于一个的情形。例如：求函数在约束条件，下的极值，可构造辅助函数：。例4求表面积为而体积为最大的长方体的体积。解：设长方体的三棱长为，则得条件极值问题：构造函数， 令 由（1）、（2）、（3）得，将此代入（4）得 。在定义域内函数只有唯一的驻点(,)，而函数内必有最大值，函数在驻点处取得最大值，即当长宽高均 为时，长方体有最大体积：。例5在旋转椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设为旋转椭球面上的任意一点，则该点到平面 的距离。 原问题等价于求在条件下的极值。 构造函数， 令 由（1）、（2）、（3）得，将此代入（4）得，故。求得驻点，此时相应的距离为 ； 。 由于驻点只有两个，且最近点与最远点存在，故得最近点为，最近距离为；最远点为，最远距离为。6在椭球面的位于第一卦限部分上求一点，使得在此点的切平面与三个坐标面所围成的三棱锥的体积最小。解：设， 在第一卦限的椭球面上任取一点，则过点M的切平面方程为， 点在椭球面上，满足， 切平面方程为，其截距式方程为， 故切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为。 下面来求在条件下的最小值， 令， ， ， ， 解得：，。 函数V在第一卦限内求得的驻点是唯一的，且V必有最小值， 椭球面在点处的切平面与三个坐标面所围成的三棱锥体积最小。7某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费及报纸广告费之间有如下经验公式： ，求（1）