2016年上海市静安区高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年上海市静安区高考数学二模试卷（理科） 一、填空题（本大题满分 56分）本大题共有 14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1计算： = 2设复数 z 满足（ 3 4i） z=5（ i 是虚数单位），则 z= 3若原点（ 0， 0）和点（ 1， 1）在直线 x+y a=0 的两侧，则 a 的取值范围是 4函数 y=x0， 的递增区间为 5如图 是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 6抛物线 y2=x 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的横坐标是 7一盒中装有 12 个同样大小的球，其中 5 个红球， 4 个黑球， 2 个白球， 1 个绿球从中随机取出 1 个球，则取出的 1 个球是红球或黑球或白球的概率为 8关于 的函数 f（ ） =21 的最大值记为 M（ x），则 M（ x）的解析式为 9如图，正四棱锥 P 底面一边 为 ，侧面积为 ，则它的体积为 10已知双曲线 =1（ m 0）的渐近线与圆 y+2） 2=1 没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为 11已知 接圆 O 的半径为 2，且 ， | |=| |，则 = 第 2 页（共 21 页） 12（坐标系与参数方程选做题） 如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 x2+x=0 的参数方程为 13已知数列 足 1， （ kN*），则数列 前 14设关于 x 的实系数不等式（ ）（ b） 0 对任意 x0， +）恒成立，则 二、选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5分，否则一律得零分 . 15下列不等式一定成立的是（ ） A ） x 0） B 2（ xkZ） C 2|x|（ xR） D （ xR） 16在极坐标系中圆 =2 ） A =0（ R）和 B = （ R）和 C = （ R）和 D =0（ R）和 17若函数 F（ x） =f（ x） + g（ x） =f（ x） +2，若 f（ 1） =1，则 g（ 1）的值为（ ） A 1B 3C 2D 2 18袋中装有 5 个同样大小的球，编号为 1， 2， 3， 4， 5现从该袋内随机取出 3 个球，记被取出的球的最大号码数为 ，则 ） A 4B 5 三、解答题（本大题满分 74分）本大题共 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19已知 别是椭圆 C： =1（其中 a b 0）的左、右焦点，椭圆 C 过点（ ， 1）且与抛物线 8x 有一个公共的焦点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过椭圆 C 的右焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A、 B 两点，求线段 长度 第 3 页（共 21 页） 20设点 E， F 分别是棱长为 2 的正方体 B， 图，以 C 为坐标原点，射线 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 （ 1）求向量 与 的数量积； （ 2）若点 M， 11是否存在直线 平面 存在，求点 M， N 的坐标；若不存在，请说明理由 21如图， A、 B 是海岸线 的两个码头，海中小岛有码头 Q 到海岸线 得 3， 点 O 为坐标原点，射线 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系一艘游轮以 18 时的平均速度在水上旅游线 行（将航线 作直线，码头 Q 在第一象限，航线 过 Q） （ 1）问游轮自码头 A 沿 方向开往码头 B 共需多少分钟？ （ 2）海中有一处景点 P（设点 P 在 面内， 游轮无法靠近求游轮在水上旅游线 行时离景点 P 最近的点 C 的坐标 22已知函数 y=f（ x），若在区间 I 内有且只有一个实数 c（ cI），使得 f（ c） =0 成立 ，则称函数 y=f（ x）在区间 I 内具有唯一零点 （ 1）判断函数 f（ x） = 在区间（ 0， +）内是否具有唯一零点，并说明理由； （ 2）已知向量 =（ ， ）， =（ x（ 0， ），证明 f（ x） = +1在区间（ 0， ）内具有唯一零点； 第 4 页（共 21 页） （ 3）若函数 f（ x） =m 在区间（ 2， 2）内具有唯一零点，求实数 m 的取值范围 23已知数列 足 1+3n（ n2， nN*），首项 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）求数列 前 n 项和 （ 3）数列 足 bn=记数列 的前 n 项和为 A 是 内角，若 对于任意 nN*恒成立，求角 A 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年上海市静安区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分 56分）本大题共有 14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1计算： = 12 【考点】 极限及其运算 【分析】 化简 = ，从而求得 【解答】 解： = = ； 故答案为： 2设复数 z 满足（ 3 4i） z=5（ i 是 虚数单位），则 z= 5+5 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： （ 3 4i） z=5， （ 3+4i）（ 3 4i） z=5（ 3+4i）， 25z=5（ 3+4i）， z= 故答案为： 3若原点（ 0， 0）和点（ 1， 1）在直线 x+y a=0 的两侧，则 a 的取值范围是 （ 0， 2） 【考 点】 二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 因为原点 O 和点 P（ 1， 1）在直线 x+y a=0 的两侧，所以（ a） （ 1+1 a） 0，由此能求出 a 的取值范围 【解答】 解：因为原点 O 和点 P（ 1， 1）在直线 x+y a=0 的两侧， 所以（ a） （ 1+1 a） 0， 第 6 页（共 21 页） 解得 0 a 2， 故答案为：（ 0， 2） 4函数 y=x0， 的递增区间为 2， 【考点】 复合三角函数的单调性 【分析】 先由整体法解 22x2可得函数的所有单调递增区间，取在 x0， 的即可 【解答】 解：由 22x2可解得 x， kZ， 故函数 y=递增区间为 ， ， kZ， 又 x0， ， 函数的单调递增区间为： ， 故答案为： ， 5如图是一个算法流程图，则输出的 k 的 值是 5 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可得进入循环的条件为不满足条件 4k 0，模拟程序的运行结果，即可得到输出的 k 值 【解答】 解：模拟执行程序，可得 k=1 不满足条件 4k 0，执行循环体， k=2 不满足条件 4k 0，执行循环体， k=3 不满足条件 4k 0，执行循环体， k=4 不满足条件 4k 0，执行循环体， k=5 满足条件 4k 0，退出循环，输出 k 的值为 5 故答案为： 5 6抛物线 y2=x 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的横坐标是 4 【考点】 抛物线的简单性质 第 7 页（共 21 页） 【分析】 由抛物线方程，求出焦点 F（ ， 0）设 M（ 由 |1 结合两点的距离公式，列式并解之即可得到点 M 的横坐标 【解答】 解： 抛物线方程为 y2=x， 抛物线的焦点 F（ ， 0） 设点 M（ 得 | =1 将 +，解之得 （舍负） 故答案为： 7一盒中装有 12 个同样大小的球，其中 5 个红球， 4 个黑球， 2 个白球， 1 个绿球从中随机取出 1 个球，则取出的 1 个球是红球或黑球或白球的概率为 112 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事 件是从 12 个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个古典概型， 试验包含的基本事件是从 12 个球中任取一球共有 12 种结果； 满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有 11 种结果， 故概率为 故答案为： 8关于 的函数 f（ ） =21 的最大值记为 M（ x），则 M（ x）的解析式为 l2x&x0 2x&x 0 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【分析】 将函数配方，得到对称轴为 x，再由 1， 1，判断对称轴与区间的位置关系，离对称轴最远的点对应的函数值为最大值 【解答】 解： f（ ） =21=（ x） 2 1 1， 1， 当 x0 时， f（ ）的最大值为 1 时 f（ ） 1 x） 2 1 x， 当 x 0 时， f（ ）的最大值为 时 f（ ） 1 x） 2 1 2x， M（ x） = 故答案为： 9如图，正四棱锥 P 底面一边 为 ，侧面积为 ，则它的体积为 4 第 8 页（共 21 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 作出棱锥的高 O 为底面中心，作 E，根据侧面积计算 用勾股定理计算 入体积公式计算体积 【解答】 解：过 P 作底面 垂线 O 为底面正方形 中心， 过 O 作 E，连结 = 平面 面 又 面 面 E=O， 平面 面 正四棱锥的侧面积 S 侧 =4S =8 ， 解得 =1 正四棱锥的体积 V= S 正方形 O= （ 2 ） 21=4 故答案为： 4 10已知双曲线 =1（ m 0）的渐近线与圆 y+2） 2=1 没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为 （ 2， 4） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，由直线和圆没有公共点，可得 d r，解不等式可得 m 的范围，进而得到所求范围 【解答】 解：双曲线 =1（ m 0）的渐近线为 y= 第 9 页（共 21 页） 圆 y+2） 2=1 的圆心为（ 0， 2），半径为 1， 由直线和圆没有公共点，可得 d r，即为 1， 解得 0 m ， 双曲线 =1（ m 0）的焦距为： 2c=2 （ 2， 4） 故答案为：（ 2， 4） 11已知 接圆 O 的半径为 2，且 ， | |=| |，则 = 12 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用平面向量的三角形法则，以及外心的特点，可得 O 为 中点，三角形 再由勾股定理和向量的数量积定义，即可求出结果 【解答】 解：如图所示， 外接圆的半径为 2，且 ， （ ） +（ ） =2 ， + =2 +2 = ， O 为 中点， 即 又 | |=| |， 等边三角形，且边长为 2， 由勾股定理得， =2 ， 则 =| | | 4 =12 故答案为： 12 12（坐标系与参数方程选做题） 如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 x2+x=0 的参 数方程为 lx=cos2y= R，且2 第 10 页（共 21 页） 【考点】 圆的参数方程 【分析】 将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出 而表示出 x 与 y，即为圆的参数方程 【解答】 解：将圆方程化为（ x ） 2+，可得半径 r= ， r x=OPy=OP 则圆的参数方程为 ， R，且 故答案为： ， R，且 13已知数列 足 1， （ kN*），则数列 前 127 【考点】 数列的函数特性 【分析】 数列 足 1， （ kN*），可得 n=2k（ kN*）时， 1+1； n=2k+1 时 = 因此 = = ， 1+2于是数列 奇数项成等比数列，公比为 ；偶数项成等差数列，公差为 1分类讨论求和，再利用数列的单调性即可得出 【解答】 解： 数列 足 1， （ kN*）， n=2k（ kN*）时， 1+1， ； n=2k+1 时 = = = ， 1+2 数列 奇数项成等比数列，公比为 ；偶数项成等差数列，公差为 1 2k=（ a1+1） +（ a2+ 第 11 页（共 21 页） = +3k+ = + 127（ k=5 时取等号） 2k 1=2+1= + + 111， k=5时取等号 综上可得：数列 前 n 项和 最大值为 127 故答案为： 127 14设关于 x 的实系数不等式（ ）（ b） 0 对任意 x0， +）恒成立，则 9 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 利用换元法设 f（ x） =， g（ x） =b，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断求解即可 【解答】 解： （ ）（ b） 0 对任意 x0， +）恒成立， 当 x=0 时，不等式等价为 3b0，即 b0， 当 x+时， b 0，此时 0，则 a 0， 设 f（ x） =， g（ x） =b， 若 b=0，则 g（ x） =0， 函数 f（ x） = 的零点为 x= ，则函数 f（ x）在（ 0， ）上 f（ x） 0，此时不满足条件； 若 a=0，则 f（ x） =3 0，而此时 x+时， g（ x） 0 不满足条件，故 b 0； 函数 f（ x）在（ 0， ）上 f（ x） 0，则（ ， +）上 f（ x） 0， 而 g（ x）在（ 0， +）上的零点为 x= ，且 g（ x）在（ 0， ）上 g（ x） 0， 则（ ， +）上 g（ x） 0， 要使（ ）（ b） 0 对任意 x0， +）恒成立， 则函数 f（ x）与 g（ x）的零点相同，即 = ， 故答案为： 9 第 12 页（共 21 页） 二、选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5分，否则一律得零分 . 15下列不等式一定成立的是（ ） A ） x 0） B 2（ xkZ） C 2|x|（ xR） D （ xR） 【考点】 不等式比较大小 【分析】 由题意，可对四个选项逐一验证，其中 C 选项用配方法验证， A， B， D 三个选项代入特殊值排除即可 【解答】 解： A 选项不成立，当 x= 时，不等式两边相等； B 选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出 2； C 选项是正确的，这是因为 2|x|（ xR） （ |x| 1） 20； D 选项不正确，令 x=0，则不等式左右两边都为 1，不等式不成立 综上， C 选项是正确的 故选： C 16在极坐标系中圆 =2 ） A =0（ R）和 B = （ R）和 C = （ R）和 D =0（ R）和 【考点】 简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程 【分析】 利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出 【解答】 解：如图所示，在极坐标系中圆 =21， 0）为圆心， 1 为半径的圆 故圆的两条切线方程分别为 （ R）， 故选 B 第 13 页（共 21 页） 17若函数 F（ x） =f（ x） + g（ x） =f（ x） +2，若 f（ 1） =1，则 g（ 1）的值为（ ） A 1B 3C 2D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由于函数 F（ x） =f（ x） +奇函数，可得 F（ x） +F（ x） =f（ x） +x2+f（ x）+代入即可得出 【解答】 解： 函数 F（ x） =f（ x） + F（ x） +F（ x） =f（ x） +x2+f（ x） + f（ 1） +2+f（ 1） =0 f（ 1） +2= f（ 1） = 1 g（ 1） =f（ 1） +2=1 故选： A 18袋中装有 5 个同样大小的球，编 号为 1， 2， 3， 4， 5现从该袋内随机取出 3 个球，记被取出的球的最大号码数为 ，则 ） A 4B 5 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 由题意 的可能取值为 3， 4， 5，分别求出相应的概率，由此能求出 【解答】 解： 袋中装有 5 个同样大小的球，编号为 1， 2， 3， 4， 5现从该袋内随机取出3 个球，记被取出的球的最大号码数为 ， 的可能取值为 3， 4， 5， P（ =3） = = ， P（ =4） = = ， P（ =5） = = ， = 故选： B 三、解答题（本大题满分 74分）本大题共 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 第 14 页（共 21 页） 19已知 别 是椭圆 C： =1（其中 a b 0）的左、右焦点，椭圆 C 过点（ ， 1）且与抛物线 8x 有一个公共的焦点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过椭圆 C 的右焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A、 B 两点，求线段 长度 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由抛物线方程求得焦点坐标，进一步得到椭圆左焦点坐标，把（ ， 1）代入椭圆方程，结合隐含条 件求得 a， b 的答案； （ 2）写出直线 l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到 A， B 的横坐标的和与积，代入弦长公式求得线段 长度 【解答】 解：（ 1）抛物线 8x 的焦点为（ 2， 0）， 椭圆 的左焦点为（ 2， 0）， c=2， b2=4 又 ，得 82=0，解得 （ 舍去） 故椭圆 C 的方程为 （ 2）直线 l 的方程为 y=x 2 联立方程组 ， 消去 y 并整理得 26x+3=0 设 A（ B（ 故 x1+， 则 = 第 15 页（共 21 页） 20设点 E， F 分别是棱长为 2 的正方体 B， 图，以 C 为坐标原点，射线 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 （ 1）求向量 与 的数量积； （ 2）若点 M， 11是否存在直线 平面 存在，求点 M， N 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 空间向量的数量积运算；用向量证明垂直 【分析】 （ 1）在给定空间直角坐标系中，求出 ， ，由此能求出向量 与 的数量积 （ 2）若 平面 与平面 法向量（ 0， 0， 1）平行，由此利用向量法能求出点 M， N 的坐标 【解答】 解：（ 1）在给定空间直角坐标系中， 相关点及向量坐标为 0， 0， 2）， F（ 2， 2， 1）， =（ 2， 2， 1）， 所以 （ 2）存在唯一直线 平面 若 平面 与平面 法向量（ 0， 0， 1）平行， 所以设 又因为点 M， N 分别是线段 线段 的点， 所以 ，即 ， （ a 2， a， m 2） =（ ， 2， 2），（ a， a， n 2） =（ 2t， 2t， t）， 第 16 页（共 21 页） 所以 且 ，解得 所以点 M， N 的坐标分别是 ， 21如图， A、 B 是海岸线 的两个码头，海中小岛有码头 Q 到海岸线 得 3， 点 O 为坐标原点，射线 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系一艘游轮以 18 时的平均速度在水上旅游线 行（将航线 作直线，码头 Q 在第一象限，航线 过 Q） （ 1）问游轮自码头 A 沿 方向开往码头 B 共需多少分钟？ （ 2）海中有一处景点 P（设点 P 在 面内， 游轮无法靠近求游轮在水上旅游线 行时离景点 P 最近的点 C 的坐标 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）由已知得： A（ 6， 0），直线 方程为 y= 3x，求出 Q（ 4， 2），得直线方程，从而求出水上旅游线 长，由此能求出游轮在水上旅游线自码头 A 沿 方向开往码头 B 共航行时间 （ 2）点 P 到直线 垂直距离最近，则垂足为 C，分别求出直线 方程和直线 方程，联立直线 直线 方程组，能求出点 C 的坐标 第 17 页（共 21 页） 【解答】 解：（ 1）由已知得： A（ 6， 0），直线 方程为 y= 3x， 1 分 设 Q（ 2），（ 0），由 及 0，得 ， Q（ 4， 2）， 3 分 直线 方程为 y=（ x 6），即 x+y 6=0， 5 分 由 ，得 ，即 B（ 3， 9）， 6 分 =9 ，即水上旅游线 长为 9 游轮在水上旅游线自码头 A 沿 方向开往码头 B 共航行 30 分钟时间 8 分 （ 2）点 P 到直线 垂直距离最近，则垂 足为 C 10 分 由（ 1）知直线 方程为 x+y 6=0， P（ 4， 8），则直线 方程为 x y+4=0， 12 分 联立直线 直线 方程组 ， 得点 C 的坐标为 C（ 1， 5） 14 分 22已知函数 y=f（ x），若在区间 I 内有且只有一个实数 c（ cI），使得 f（ c） =0 成立，则称函数 y=f（ x）在区间 I 内具有唯一零点 （ 1）判断函数 f（ x） = 在区间（ 0， +）内是否具有唯一零点，并说明理由； （ 2）已知向量 =（ ， ）， =（ x（ 0， ），证明 f（ x） = +1在区间（ 0， ）内具有唯一零点； （ 3）若函数 f（ x） =m 在区间（ 2， 2）内具有唯一零点，求实数 m 的取值范围 【考点】 分段函数的应用；函数零点的判定定理 【分析】 （ 1）利用分段函数，分类讨论函数的单调性，从而得出结论 （ 2）两个向量的数量积共公式以及三角恒等变换，化简 f（ x）的解析式，再利用正弦函数的性质得出结论 （ 3）利用二次函数的性质，分类讨论，求得 m 的范围 第 18 页（共 21 页） 【解答】 解：（ 1）函数 在区间（ 0， +）内具有唯一零点 理由：当 x=1 时，有 f（ 1） =0，且当 0 x 1 时，有 f（ x） =1 0；当 x 1 时， f（ x）=