2009级信息与计算科学-王涛-特征值与特征向量的分析与应用.doc

毕 业 论 文题 目： 特征值与特征向量的分析与应用作 者： 王 涛 指导教师： 马鹏程 职 称： 讲 师 院 系： 理学院数学系 专 业： 信息与计算科学 班 级： 2009级1班 日 期： 2013年6月 特征值与特征向量的分析与应用摘 要：特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论和学习和实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且写出了线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系.其次介绍了特征值与特征向量的几种解法：利用特征方程求特征值进而求特征向量、行列互逆变换法、利用矩阵的初等变换求特征值和特征向量.最后重点介绍了特征值特征向量的应用，如n阶矩阵的高次幂的求解以及矩阵特征值反问题的求解，经济发展与环境污染的增长模型等等.本文充分利用特征值与特征向量的特性求解相关问题，计算显得非常简洁，在解决具体问题上具有很大的优越性.当然关于矩阵的特征值和特征向量的内容很广，本文仅就特征向量的性质以及一些应用展开研究.关键词：特征值；特征向量；矩阵；初等变换；The analysis and application of eigenvalue and eigenvector Abstract: As an important part of algebra, Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have a very important application in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. Firstly, this paper presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. Secondly, it presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector; the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector; the method of reversible transform on Rows and columns; the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. Thirdly, It introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues，Growth model of economic development and environmental pollution and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills， Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application.Key words：eigenvalue；eigenvector；matrix；transformation .目 录引 言.11 特征值与特征向量的理论.21.1特征值与特征向量的定义和性质.21.1.1 特征值与特征向量的定义.21.1.2 特征值与特征向量的性质.31.2 特征值与特征向量的解法.51.2.1 数字方阵的特征值与特征向量.51.2.2 行列互逆变换法.61.2.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量.102 特征值与特征向量的应用.152.1在数学领域的简单应用.152.1.1在 n阶矩阵的高次幂解法中的应用.152.1.2在矩阵特征值反问题求解中的应用.162.1.3利用矩阵的特征值与特征向量求可对角矩阵的参数.162.2在生产生活中的应用.172.2.1在天气Markov链的稳定状态方面的应用.172.2.2在莱斯利种群模型中的应用.182.2.3在经济发展与环境污染的增长模型方面的应用.24小 结.28致 谢.29参 考 文 献.30引 言矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具， 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置。同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面， 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题。本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛。在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明。 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、行列互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量。由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用及矩阵的高次幂和反求解问题的应用。在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径。本文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.1 特征值与特征向量的理论1.1 特征值与特征向量的定义和性质1.1.1 特征值与特征向量的定义定义1 设是阶矩阵，如果存在数与维零向量，使关系式 成立，那么，这样的数称为方阵的特征值，非零向量称为方阵的对应于特征值的特征向量（可以是复数，的元素与的分量也可以是复数）.可以将关系式 写成 这是个未知数个方程的齐次线形方程组.其有非零解的充分必要条件是：系数行列式. 方程组是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程.是的次多项式，记作,称为方阵的特征多项式.显然，的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）.因此，阶矩阵在复数范围内有个特征值.定理1设阶矩阵的特征值为，则有（1），（2）.证明:因为，由多项式的分解定理，有，比较的系数，得，又，则定理得证.数称为方阵的迹记作.由此可知，矩阵可逆的充分必要条件是的所有特征值不为零.显然，方阵与具有相同的特征多项式与特征值.设为方阵的一个特征值，则由方程，可求得非零解，那么便是的对应于特征值的特征向量.若为实数，则可取实向量；若为复数，则为复向量.1.1.2矩阵特征值与特征向量的性质性质1当特征值是单根时，可求得一个特征向量；当特征值是重根时，二重特征根对应两个线性无关的特征向量，或二重根特征值所对应的特征向量都是线性相关的.性质2若是矩阵的特征值，则是的特征值，且当可逆时，是的特征值.证明: 因为是的特征值，故有，使.于是(1) ，所以，是的特征值.(2)当可逆时，由，有，因为,知，故,所以，是的特征值.注：这也证明了矩阵可逆的必要条件为矩阵的特征值全不为零.按此例类推，不难证明：若是的特征值，则是的特征值. 是的特征值，其中： 是的多项式,是矩阵的多项式.当可逆时，,是的特征值.性质3设是方阵的个不同的特征值，依次是与之对应的特征向量，则线性无关.证明: 设有常数，使,则 ，即 ，依此类推，有 ,把以上各式合写成矩阵形式，得,因为上式中等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，所以，当各不相同时，该行列式不等于，进而知该矩阵可逆，于是有,即对每一个，有.但，故.所以，向量组线性无关.性质4 相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设与相似,即有可逆矩阵,使.于是.1.2 特征值与特征向量的解法1.2.1 求数字方阵的特征值与特征向量由方阵的特征值和特征向量的定义知:是的属于的特征向量 因为所以是齐次线性方程组的非零解，所以是特征方程的根。 将上述过程逆叙得到求数字方阵的特征值和特征向量的步骤如下:(1) 计算的特征多项式；(2) 解特征方程,求出它的全部根 ,它们就是的全部特征值。(3) 对每一个特征值 ,求出齐次线性方程组的一个基础解系,这个基础解系便是的属于的线性无关的特征向量,则的属于的全部特征向量是这个解系的非零线性组合: ,其中是不全为零的数.例 设线性变换在下的矩阵是，求的特征值与特征向量.解：因为特征多项式为.所以特征值（二重）和5.把特征值代入齐次方程组得到它的基础解系是，.因此属于的两个线性无关的特征向量就是，.而属于的全部特征向量就是，取遍数域中不全为零的全部数对.再用特征值5代入，得到它的基础解系是，因此，属于5的一个线性无关的特征向量就是，而属于5的全部特征向量就是，是数域中任意不等于零的数.1.2.2 行列互逆变换法为了定理的叙述方便，先给出一个定义.定义2把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换:（1） 互换i、j两列,同时互换j、i两行；（2） 第i行乘以非零数，同时第j列乘；（3） 第 i行倍加到第 j行，同时第 j列倍加到第 i列 .定理2 为n阶可对角化矩阵，并且其中，则为的全部特征值，为的对应的特征向量.证明：由行初等变换等价于左乘初等矩阵，列变换等价于右乘初等矩阵的性质及行列互逆变换的定义知，为若干初等矩阵的乘积，当然可逆，且，即，所以 .因为 ，所以 ，则 ，所以 因此，该方法求出的为的特征值，为的对应特征值的特征向量 为了运算上的方便，这里约定： 1.表示矩阵的第j行倍加入第i行； 2.表示矩阵的第j列的倍加入第 i 列 由于用定理2求解时，总会遇到形如 或形式的矩阵化对角阵问题，为此给出具体方法：或 ，其中.则为的分别对应特征值和的特征向量； 为的分别对应特征值和的特征向量.例 求的特征值与特征向量.解： 所以，特征值；特征向量分别为.例 求的特征值与特征向量.解： . 所以，特征值分别为；特征向量分别为，.下面给出定理1的推广定理.定理3 为任意阶方阵，若，其中为约当矩阵，为约当标准形. ，则为的特征值；为的对应特征值的特征向量.证明：由一般代数书中定理可知必相似于一约当矩阵，按定理2中化简方法，则有，即，其中，所以 ，故有 ，所以为的特征值；为的对应的特征向量.例 求的特征值与特征向量.解：所以特征值为，对应特征值的特征向量，对应的特征向量为.1.2.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 引理 矩阵左乘或右乘一个可逆矩阵，其秩不变.即若为矩阵，分别是m和n阶可逆矩阵，则.由此可知，若，且为n阶单位矩阵，则形如的矩阵必可经过一系列变换成的形式，其中为矩阵且，分别为和矩阵，为零矩阵，从而有：定理4 设为矩阵，其秩，则比存在n阶可逆矩阵，使，且的个列向量就是齐次线性方程组的基础解系.证明： 此处只需证明的列向量是的基础解系即可. 事实上，由得，即，从而，.这说明的个列向量是齐次线性方程组的解向量. 另设矩阵的列向量为，则由知向量组即为的列向量，因可逆，所以向量组线性无关，因此的列向量就是的基础解系.例 求 的一组基础解系.解：利用初等列变换，得 从而，所求基础解系为.定理5 设为n阶方阵，则其特征矩阵可通过初等列变换化为下三角矩阵，记为 ，从而使的解就是矩阵的全部特征值.证明：由初等变换理论，存在n阶可逆矩阵，使，由此得.从而使的解就是的解.这样，由定理1和定理2可以得到同时求解方阵的特征值与特征向量的一种解法：第一步，作如下初等变换：，并由求得矩阵的特征值.第二步，将代入，则有或. 因为，所以由定理1即知的列向量就是的对应于特征值的线性无关的特征向量.例 求矩阵的特征值与特征向量.解：所以，由得矩阵的特征值为. 将代入，得. 所以对应于的特征向量为 ( 此处二重特征值只对应一个线性无关的特征向量). 将代入，得. 所以对应于的特征向量为. 这里用初等列变换的方法同时求出来矩阵的特征值与特征向量，完全类似地，利用初等行变换也可以实现这一过程，其方法如下： (1) 对矩阵施行初等行变换将其化为矩阵，其中为含有的上三角矩阵，为经过初等变换得到的矩阵； (2) 由行列式求得矩阵的特征值； (3) 将代入中，若不是行标准形， 则通过初等行变换将其化为行标准型，并记秩， 则中的后个行向量的转置就是对应的特征向量 例 求特征值与特征向量.解：因为特征矩阵，所以 从而由即求得的特征值为（二重）和. 当时，所以，且的后两行的转置即为对应的特征向量，即.当时，所以，且的最后一行的转置即为对应的特征向量，即.2特征值与特征向量的应用研究2.1 在数学研究领域的简单应用2.1.1 在阶矩阵的高次幂解法中的应用 当阶矩阵可对角化时，即矩阵可与对角阵相似时，计算其高次幂有简单的方法，当阶矩阵满足下面的四个条件之一时，即可对角化，即.（1）阶矩阵有个线性无关的特征向量；（2）阶矩阵有个互不相等的特征值；（3）阶矩阵的每个特征值，均有，即特征值的几何常数等于其代数常数；（4）为是对称矩阵.对于，是由的个特征向量组成的矩阵. 是由的n个特征值构成的对角阵，那么有：其中，故.例 已知矩阵，求（其中为正整数）. 分析 矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因矩阵为是对称矩阵，故可对角化，可按上面讨论的方法求之.解：因为，所以矩阵为是对称矩阵，故可对角化. 由所学可知，矩阵的3个特征值为，其对应的特征向量为，故对角阵，且，又，那么有，则 .2.1.2 在矩阵的特征值反问题求解中的应用矩阵特征值反问题的求解，即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵中的元素.当矩阵有个互不相等的特征值时，必有个线性无关的特征向量，那么矩阵必可对角化，故，其中相似变换矩阵由的个线性无关的特征向量组成.例 设3阶方阵的特征值为，对应于特征向量分别是：，求 分析 此题给出了矩阵的3个不相同的特征值及其特征向量.那么矩阵可对角化，显然是矩阵特征值的反问题，可按上面讨论的方法求之.解：由于是方阵对应于特征值的特征向量，于是有：，令，那么有，其中.由上式可得即为所求.2.1.3 利用矩阵的特征值与特征向量求可对角矩阵的参数设矩阵能相似于对角矩阵，则必存在可逆矩阵，使得,即必存在个线性无关特征值向量可组成，即重特征值必有个线性无关特征向量.例 已知能相似于对角矩阵，试确定，应满足的关系.解：，故无论，为何值，均有.对于，由题设知，必有两个线性无关特征向量，即必有两个线性无关解向量，故应有故，应满足.2.2 在生产生活中的研究应用2.2.1在天气Markov链的稳定状态方面的应用设一个地区的天气状态为晴、阴、雨三种状态，今天天气状态出现的概率为向量，其中分别是今天出现晴、阴、雨的概率.设明天状态概率为向量，转移矩阵为 ， 天气状态概率的模型为，即 用该模型可以预测以后第天天气状态概率如下： ，这就是天气Markov链，用它可以得到：天气Markov链稳态问题是：是否在天出现一个状态概率，使，这样第天以后的任意一天的状态概率会是，称是Markov链的稳态分布向量.求稳态分布向量. 解：求得A的特征矩阵为，特征值为，其中 对任意初始状态概率向量，当时，有结论：存在天出现一个状态概率，使，这样第天以后的任意一天的状态概率会是。利用马尔科夫模型对天气情况结构做出预测分析，在各种天气形势转变中有着实际的重要意义，从而为气象管理部门预报和决策提供科学的理论依据。2.2.2 在莱斯利（Leslie）种群模型中的应用莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长间的关系。 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位：年），将区间0,L作等分得个年龄组 每个年龄组的长度为 设第个年龄组 的生育率（即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目）为，存活率（即第个年龄组中可存活到第个年龄组的雌性动物的数目与第 个年龄组中雌性动物的总数之比）为 。令 即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量。取 设在时刻该动物种群的第个年龄组中雌性动物的数目为。 令则即为时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量.显然，随着时间的变化，该动物种群的各年龄组中雌性动物的数目会发生变化. 易知，时刻该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目等于在时段内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数目之和，即 又时刻该动物种群的第个年龄组中雌性动物的数目等于 时刻第个年龄组中雌性动物的存活量，即 联立和得 即 令莱斯利矩阵 则即为 于是 由此，若已知初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量，则可计算出时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量，从而对该动物种群中雌性动物的数量作出科学的预测和分析. 例 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为15年，且以5年为间隔将雌性动物分为3个年龄组0,5,5,10,10,15.由统计资料知，3个年龄组的雌性动物的生育率分别为0，4，3，存活率分别为0.5，0.25，0，初始时刻3个年龄组的雌性动物的数目分别为500，1000，500.试利用莱斯利种群模型对该动物种群中雌性动物的年龄分布和数量增长的规律进行分析. 解： 由得 下面求 由矩阵L的特征多项式 得L的特征值为 由矩阵L可相似对角化.对，解方程组得特征向量 对，解方程组得特征向量对解方程组得特征向量令矩阵 则P可逆，且 于是 从而 两边取极限得 于是，当k充分大时， 由此式知，在初始状态下，经过充分长的时间后，该动物种群中雌性动物的年龄分布将趋于稳定，即3个年龄组中雌性动物的数目之比为 且该时刻动物种群的3个年龄组中雌性动物的数目分别为 且其总和为2.2.3在经济发展与环境污染的增长模型方面的应用经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型： 设分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，分别为该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：令 则上述关系的矩阵形式为 此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.如 则由上式得由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平. 一般地，若令分别为该地区t年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为 令 则上述关系的矩阵形式为由此，有 由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平.下面作进一步地讨论： 由矩阵A 的特征多项式 得A 的特征值为对 ，解方程得特征向量 对，解方程得特征向量 显然,线性无关下面分三种情况分析： 第一种：一个性质:若是矩阵的属于特征值的特征向,也是的属于特征值的特征向量度（*）由(*)及特征值与特征向量的性质知， 即 或 此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平的前提下， 年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势. 第二种：，所以不讨论此种情况第三种：不是特征值,所以不能类似分析。但是可以由唯一线性表出来：由(*)及特征值与特征向量的性质即 由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平. 因无实际意义而在第二种情况中未作讨论，但在第三种情况的讨论中仍起到了重要作用. 由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用. 小 结矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，特征值与特征向量有着许多具体的应用，本文通过查阅相关的资料并在指导老师的指导和建议下对特征值与特征向量原理进行了归纳总结.首先简单的叙述了特征值与特征向量的概念及其性质，探究了特征值与特征向量的几种解法，在此基础上重点介绍了特征值与特征向量的应用问题.矩阵的高次幂的求解是有技巧的，当矩阵可对角化时，利用特征值与特征向量把矩阵对角化，可以简便的解出矩阵高次幂的值.如果知道矩阵的特征值和对应的特征向量求出矩阵的计算方法以及特征值与特征向量在线性递推关系中的应用，利用矩阵的特征值与特征向量给出了递推关系的一种解法.给出了特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质，并且举例说明了特征值与特征向量在矩阵运算中的应用.运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.特征值与特征向量理论的应用是多方面的，不仅在数学领域，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应