数学建模章绍辉版第四章作业.doc

第四章作业第二题：针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml的为醉酒驾车。下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。1、 问题假设大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设（1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为；（2） 中心室的容积V保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为；（3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设和都是常量，与饮酒量无关。2、 符号说明酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克；酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升；时刻（小时）；在时刻吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）；两瓶酒的酒精量（毫克）；在时刻吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；在时刻中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；中心室的容积（百毫升）；酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数2.0079）；酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数0.1855）；在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体积，即；而在较长时间内（2小时内）喝下三瓶酒的假设下就特指.3、 模型建立和求解（1） 酒是在很短时间内喝的：记喝酒时刻为（小时），设，可用来计算血液中的酒精含量，此时为假设中所示的常数，而.下面用MATLAB程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero函数和fminbnd函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。MATLAB程序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;c=(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);f=(t)c(t)-20;g=(t)c(t)-80;h=(t)-c(t);t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12),t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12)t3,c3=fminbnd(h,0,24)fplot(c,0,20,k)hold onplot(0,20,20,20,k,0,20,80,80,k)hold offxlabel(时刻t（小时），从开始喝酒算起)ylabel(血液中的酒精含量（mg/100ml）)title(短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程)gtext(0.06891,20)gtext(11.589,20)gtext(0.38052,80)gtext(4.1125,80)gtext(1.307,122.25)运行结果如下：t1 = 0.06891 11.589t2 = 0.38052 4.1125t3 = 1.307c3 = -122.25所绘图形如下：结果分析：所以，当时，属饮酒驾车。当时，属醉酒驾驶；当时，血液中的酒精含量最高为122.25毫克/百毫升。（2） 酒是在2小时内喝的：可假设三瓶啤酒是在2小时内匀速喝的. 同样记喝酒时刻为（小时），设，则吸收室的酒精量满足分段的初值问题解得于是中心室内的酒精含量满足分段的初值问题解得其中，因为，以及，所以，下面用MATLAB程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero函数和fminbnd函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。MATLAB程序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;k4=42.743;k5=462.66;k6=419.92;k9=2328.3;k10=207.82;c1=(t)(k4.* exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t=0&t2);f1=(t)c1(t)-20;g1=(t)c1(t)-80;h1=(t)-c1(t);t1(1)=fzero(f1,1);t1(2)=fzero(f1,12),t2(1)=fzero(g1,1);t2(2)=fzero(g1,12),t3,c3=fminbnd(h1,0,20)fplot(c1,0,20,k)hold onplot(0,20,20,20,k,0,20,80,80,k)hold offxlabel(时刻t（小时），从开始喝酒算起)ylabel(血液中的酒精含量（mg/100ml）)title(短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程)gtext(0.62321,20)gtext(12.62,20)gtext(1.6366,80)gtext(5.1412,80)gtext(2.6328,115.74)运行结果如下：t1 = 0.62321 12.62t2 = 1.6366 5.1412t3 = 2.6328c3 = -115.74所绘图形如下：结果分析：所以，当时，属饮酒驾车。当时，属醉酒驾驶；当时，血液中的酒精含量最高，为115.74毫克/百毫升.下面用图形比较两种不同假设下血液中酒精含量的变化过程。MATLAB程序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;k4=42.743;k5=462.66;k6=419.92;k9=2328.3;k10=207.82;c=(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);c1=(t)(k4.* exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t=0&t2);plot(0:0.01:20,c(0:0.01:20),-k,0:0.01:20,c1(0:0.01:20),k,2,c1(2),.k)xlabel(时刻t（小时），从开始喝酒算起)ylabel(血液中的酒精含量（mg/100ml）)title(短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程)legend(很短时间内喝三瓶啤酒,两小时内匀速喝下三瓶啤酒,函数的分段点)所绘图形如下：第四题：研究将鹿群放入草场后，草和鹿两个种群的相互作用，草的生长服从Logistic规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000个密度单位，在草最茂盛时，每只鹿每年吃掉1.6个密度单位的草，若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9,而在草最茂盛的时候草对鹿的死亡的补偿率为1.5。1、建立差分方程组模型，比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的两种草场的情况下，草和鹿两个种群的数量演变过程。（1）符号说明：第k年草场的密度单位第k年草场上鹿的数量草场上草的年固有增长率由于捕食导致的草的密度单位减少的速度大小如果没有草，鹿群的年死亡率草对鹿群死亡的补偿率草的最大密度单位（2）模型的建立与求解：基于以上假设，由于草的生长服从Logistic模型，建立差分方程组模型如下所示：令，与上述方程组联立得到平衡点为、以下用MATLAB实现差分方程组模型。MATLAB程序如下：n=20;r=0.8;a=1.6;b=1.5;d=0.9;N=3000;t=1:n+1;x1(1)=1000;y1(1)=100;for k=1:n x1(k+1)=x1(k)+r*x1(k)*(1-x1(k)/N)-a*x1(k)*y1(k)/N y1(k+1)=y1(k)-d*y1(k)+b*x1(k)*y1(k)/Nendsubplot(2,2,1),plot(t,x1,k,t,y1,kv),axis(-1,21,0,3000),xlabel(第k年),ylabel(数量),gtext(草密度),gtext(鹿数量),title(草和鹿随时间的演变);subplot(2,2,2),plot(x1,y1,ko),axis(1000,3000,0,1000),xlabel(草密度),ylabel(鹿数量),title(相平面图);x2(1)=3000;y2(1)=100;for k=1:n x2(k+1)=x2(k)+r*x2(k)*(1-x2(k)/N)-a*x2(k)*y2(k)/N y2(k+1)=y2(k)-d*y2(k)+b*x2(k)*y2(k)/Nendsubplot(2,2,3),plot(t,x2,k,t,y2,kv),axis(-1,21,0,3000),xlabel(第k年),ylabel(数量),gtext(草密度),gtext(鹿数量),title(草和鹿随时间的演变);subplot(2,2,4),plot(x2,y2,ko),axis(1000,3000,0,1000),xlabel(草密度),ylabel(鹿数量),title(相平面图);运行结果如下：x1 = Columns 1 through 8 1000 1480 2032.5 2502.3 2759.3 2824.5 2787.3 2692.5 Columns 9 through 16 2548.5 2355.9 2126.1 1889.9 1692.9 1574.9 1550 1604.8 Columns 17 through 21 1708.6 1823.1 1912.7 1955.1 1946.9y1 = Columns 1 through 8 100 60 50.4 56.26 76.015 112.48 170.09 254.06 Columns 9 through 16 367.44 504.94 645.29 750.51 784.23 742.22 658.68 576.34 Columns 17 through 21 520.09 496.32 502.04 530.32 571.45x2 = Columns 1 through 8 3000 2840 2718.8 2570 2378.2 2149 1910.4 1707.1 Columns 9 through 16 1580.6 1547.6 1596.6 1698 1813.6 1907 1954.2 1950.1 Columns 17 through 21 1905.9 1841.9 1779.7 1736.4 1720.3y2 = Columns 1 through 8 100 160 243.2 354.93 491.58 633.7 744.29 785.37 Columns 9 through 16 748.9 666.76 582.61 523.37 496.69 500.06 526.81 567.43 Columns 17 through 21 610.02 642.33 655.79 649.15 628.5所绘图像如下：由图像中可以看出为渐进稳定的平衡点。2、建立常微分方程组模型，重做以上问题。记草和鹿在第t年的数量分别记为和，其余的符号假设与（1）相同，建立常微分方程组模型为：令且，得到常微分方程组的临界点为、，以下运用数值解，方向场和特征线等技巧，用matlab绘制常微分方程组的解曲线图，并加以分析。为了消去方程中的参数t，将两式相除，得到：当将100头鹿放入密度为1000与密度为3000的草场中，初始值分别为，与，.利用matlab实现上述过程的源程序与运行结果如下：函数m文件：function dx=fun(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*0.8*(1-x(1)/3000)-1.6*x(1)*x(2)/3000;dx(2)=-0.9*x(2)+1.5*x(1)*x(2)/3000;主程序：t1,x1=ode45(fun,0:20,1000 100);t1,x1subplot(2,2,1)plot(t1,x1(:,1),.-k,t1,x1(:,2),.-k),grid onaxis(0 20 0 3000)title(草和鹿随时间的演变（x_0=1000）)gtext(草密度),gtext(鹿数量)xlabel(第k年),ylabel(数量)subplot(2,2,2)plot(x1(:,1),x1(:,2),.-k),grid onaxis(1000 3000 0 800)title(相平面图（x_0=1000）)xlabel(草密度),ylabel(鹿数量)t2,x2=ode45(fun,0:20,3000 100);t2,x2subplot(2,2,3)plot(t2,x2(:,1),.-k,t2,x2(:,2),.-k),grid onaxis(0 20 0 3000)title(草和鹿随时间的演变（x_0=3000）)gtext(草密度),gtext(鹿数量)xlabel(第k年),ylabel(数量)subplot(2,2,4)plot(x2(:,1),x2(:,2),.-k),grid onaxis(1000 3000 0 800)title(相平面图（x_0=3000）)xlabel(草密度),ylabel(鹿数量)所绘图像如下： 通过图像发现该常微分方程组的平衡点是渐