截长补短法培优教案XX1118

截长补短法培优教案XX1118 “截长补短法”在几何证明中的运用万全县第三初级中学李彦军人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法；截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等。 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证BAD+BCD=180.分析因为平角等于180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转B化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图1-2BD平分ABC，DE=DF，ECAD图1-1在RtADE与RtCDF中，AD?DE?DF?AD?CD?BRtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，A图1-2FCD即BAD+BCD=180例2.如图2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.E求证CD=AD+BC.C分析结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而B图2-1达到简化问题的目的.证明在CD上截取CF=BC，如图2-2在FCE与BCE中，AD4E?CF?CB?FCE?BCE?CE?CE?FCEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，321FCB图2-2?FDE?ADE?DE?DE?3?4?FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3.已知，如图3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证BAP+BCP=180.分析与例1相类似，证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2ANP1=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，B12D?PE?PD?BP?BP?RtBPERtBPD(HL),BE=BD.C图3-1EANPAB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中,B12D C图3-2?PE?PD?PEA?PDC?AE?DC?RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180例4.已知如图4-1，在ABC中，C2B，12.A求证AB=AC+CD.分析从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,B DA1212B DC图4-14-2C?1?2?B?E?AD?AD?ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图4-3在AFD与ACD中,图4-2EA12F?AF?AC?1?2?AD?AD?AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.B DC图4-3又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。 让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。 作业 1、已知?ABC中，?A?60?，BD、CE分别平分?ABC和.?ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明A EDO BC 2、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作?DMN?60?，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?D NA M B E3如图2-9所示已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE=2DAM求证AE=BC+CE 4、已知如图，ABCD是正方形，FAD=FAE.求证BE+DF=AE.A DFBCE 5、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证AD平分CDE ABE DC 6、如图所示，?ABC是边长为1的正三角形，?BDC是顶角为120?的等腰三角形，以D