高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件1 新人教A版必修1.ppt

自主学习 基础知识 易误警示 规范指导 合作探究 重难疑点 课时作业 3 2 1几类不同增长的函数模型 学习目标 1 理解直线上升 指数爆炸 对数增长的含义 重点 2 区分指数函数 对数函数以及幂函数增长速度的差异 易混点 3 会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题 难点 一 三种函数模型的性质 变陡 变缓 二 三种函数的增长速度的比较1 在区间 0 上 函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是 但 不同 且不在同一个 档次 上 2 在区间 0 上随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会 3 存在一个x0 使得当x x0时 有 增函数 增长速度 越来越慢 logax xn ax 1 判断 正确的打 错误的打 1 函数y x3比y 2x增长的速度更快些 2 当x 100时 函数y 10 x 1比y lgx增长的速度快 3 能用指数型函数f x abx c a b c为常数 a 0 b 1 表达的函数模型 称为指数型的函数模型 也常称为 爆炸型 函数 答案 1 2 3 2 下列函数中 随x的增大 增长速度最快的是 a y 1b y xc y 3xd y log3x 解析 结合函数y 1 y x y 3x及y log3x的图象可知 随着x的增大 增长速度最快的是y 3x 答案 c 3 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整 调整后初期利润增长迅速 后来增长越来越慢 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系 可选用 a 一次函数b 二次函数c 指数型函数d 对数型函数 解析 结合 直线上升 对数增长 指数爆炸 可知 只有d选项对数型函数符合题设条件 故选d 答案 d 4 已知变量x y满足y 1 3x 当x增加1个单位时 y的变化情况是 解析 1 3 x 1 1 3x 3 当x增加1个单位时 y减少3个单位 答案 减少3个单位 预习完成后 请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 则关于x分别呈对数型函数 指数型函数 幂函数型函数变化的变量依次为 a y1 y2 y3b y2 y1 y3c y3 y2 y1d y1 y3 y2 解析 1 由于指数型函数的增长是爆炸式增长 则当x越来越大时 函数y 2015 2x增长速度最快 2 通过指数型函数 对数型函数 幂函数型函数的增长规律比较可知 对数型函数的增长速度越来越慢 变量y3随x的变化符合此规律 指数型函数的增长是爆炸式增长 y2随x的变化符合此规律 幂函数型函数的增长速度越来越快 y1随x的变化符合此规律 故选c 答案 1 d 2 c 1 指数函数模型y ax a 1 的增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越快 形象地称为 指数爆炸 2 对数函数模型y logax a 1 的增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越慢 3 幂函数模型y xn n 0 的增长速度介于指数增长和对数增长之间 某学校为了实现60万元的生源利润目标 准备制定一个激励招生人员的奖励方案 在生源利润达到5万元时 按生源利润进行奖励 且资金y 单位 万元 随生源利润x 单位 万元 的增加而增加 但资金总数不超过3万元 同时奖金不超过利润的20 现有三个奖励模型 y 0 2x y log5x y 1 02x 其中哪个模型符合该校的要求 解 借助工具作出函数y 3 y 0 2x y log5x y 1 02x的图象 如图所示 观察图象可知 在区间 5 60 上 y 0 2x y 1 02x的图象都有一部分在直线y 3的上方 只有y log5x的图象始终在y 3和y 0 2x的下方 这说明只有按模型y log5x进行奖励才符合学校的要求 1 线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律 2 指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律 3 对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律 4 幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律 某工厂生产某种产品 每件产品的出厂价为50元 其成本价为25元 因为在生产过程中平均每生产一件产品有0 5立方米污水排出 为了净化环境 工厂设计两套方案对污水进行处理 并准备实施 方案一 工厂的污水先净化处理后再排出 每处理1立方米污水所用原料费为2元 并且每月排污设备损耗费为30000元 方案二 工厂将污水排到污水处理厂统一处理 每处理1立方米污水需付14元的排污费 问 1 工厂每月生产3000件产品时 你作为厂长 在不污染环境又节约资金的前提下应选择哪种方案 通过计算加以说明 2 若工厂每月生产6000件产品 你作为厂长 又该如何决策呢 解 1 设工厂每月生产x件产品时 方案一的利润为y1元 方案二的利润为y2元 由题意知y1 50 25 x 2 0 5x 30000 24x 30000 y2 50 25 x 14 0 5x 18x 当x 3000时 y1 42000 y2 54000 y1 y2 应选择方案二处理污水 2 当x 6000时 y1 114000 y2 108000 y1 y2 应选择方案一处理污水 函数f x 2x和g x x3的图象如下图3 2 1所示 设两函数的图象交于点a x1 y1 b x2 y2 且x1 x2 1 请指出图中曲线c1 c2分别对应的函数 2 结合函数图象 判断f 6 g 6 f 2015 g 2015 的大小 思路探究 根据指数函数 幂函数的增长差异进行判断 解 1 c1对应的函数为g x x3 c2对应的函数为f x 2x 2 f 1 g 1 f 2 g 2 f 9 g 9 f 10 g 10 1 x1 2 9 x2 10 x1 6 x2 2015 x2 从图象上可以看出 当x1 x x2时 f x g x f 6 g 6 当x x2时 f x g x f 2015 g 2015 又g 2015 g 6 f 2015 g 2015 g 6 f 6 根据图象判断增长函数模型时 通常是根据函数图象上升的快慢来判断 即随着自变量的增大 图象最 陡 的函数是指数函数 图象趋于平缓的函数是对数函数 中间的是幂函数 本例中若x1 a a 1 x2 b b 1 且a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 指出a b的值 并说明理由 解 a 1 b 9 理由如下 令 x f x g x 2x x3 则x1 x2为函数 x 的零点 由于 x 在 1 13 上为连续函数 1 1 0 2 40 所以函数 x f x g x 的两个零点x1 1 2 x2 9 10 因此 a 1 b 9 1 常见的函数模型及增长特点 1 直线y kx b k 0 模型 其增长特点是直线上升 2 对数函数y logax a 1 模型 其增长缓慢 3 指数函数y ax a 1 模型 其增长迅速 2 函数模型选取的择优意识解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型 要根据题目的具体要求进行抽象和概括 灵活地选取和建立数学模型 3 要注意化归思想和数形结合思想的运用 图形信息题的求解误区 2014 福建高一检测 如图3 2 2 下面的四个容器高度都相同 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中 注满为止 用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系 其中正确的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 易错分析 不能准确的从图形中提取信息 不会把水的高度的变化速度与图象的变化趋势结合起来 是本题的求解误区 防范措施 1 要根据几何体的结构特征判断水面的高度h和时间t之间的关系 判断h变化速度的快慢 2 准确把握常见函数模型的增长速度的差异和图象特征 增长速度越来越快的函数 图象如指数函数图象 下凸型 增长速度越来越慢的函数 图象如对数函数图象 上凸型 解析 图1不对 因为正方体的底面积是定值 故水面高度的增加是均匀的 即图象是直线型的 图2正确 因几何体下面窄上面宽 且相同的时间内注入的水量相同 所以下面的高度增加得快 上面增加得慢 即图象应越来越来缓 图3正确 球是对称的几何体 下半球因下面窄上面宽 所以水的高度增加得越来越慢 上半球恰好相反 所以水的高度增加得越来越快 即图象先平缓再变陡 图4正确 图中几何体两头宽 中间窄 所以水的高度增加 先快后慢 即图象先变陡再平缓 答