2011年中考数学经典几何证明题(三).doc

2011年中考数学经典几何证明题（三）1.（1）如图1所示，在四边形中，=，与相交于点，分别是的中点，连接，分别交、于点，试判断的形状，并加以证明； （2）如图2，在四边形中，若，分别是的中点，连接FE并延长，分别与的延长线交于点，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； （3）如图3，在中，点在上，分别是的中点，联结并延长，与的延长线交于点，若，判断点与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由图 1 图2 图3分析：（1）先得出结论，再进行证明，取AB的中点H，连接HF，HE，根据已知条件，求得FMC=HFE，同理可得END=HEF，由AC=BD，从而得出END=FMC，则OMN是等腰三角形；（2）连接AC、BD，取AC、BD的中点H、G；连接EG、GF、FH、EH；首先证四边形NGFH是菱形（利用三角形中位线定理证四边相等）然后根据菱形对角线平分对角，得到GEF=HEF；易知EGBM，HECN，GEF=BMF，CNF=HEF，BMF=CNF（3）得结论：点M在以AD为直径的圆外，由上面一题得，M=AEM=45，根据直角三角形的斜边大于直角边，得MEAE，从而得出结论解答：解：（1）结论：OMN是等腰三角形（1分）证明：如图1，取AB的中点H，连接HF，HEE、F分别是AD、BC的中点，HFAC， HF=12AC（2分）FMC=HFE；同理，HEBD， HE=12BD，END=HEF；又AC=BD，HF=HE，HEF=HFE，END=FMC，（3分）OMN是等腰三角形（2）正确画图（如图2）（4分）连接AC、BD，取AC、BD的中点H、G；连接EG、GF、FH、EH；E，F分别是AD、BC的中点，EG= 12AB，GF= 12CD，FH= 12AB，EH= 12CD，AB=CD，EG=GF=FH=EH，四边形NGFH是菱形GEF=HEF；EGBM，GEF=BMF，HECN，CNF=HEF，BMF=CNF（5分）（3）点M在以AD为直径的圆外（6分）证明：如图3，由（2）的结论，M=FEC，AEM=DEF，M=DEF=45，MAD=90MEAE，又E是AD中点，点M在以AD为直径的圆外（7分）2（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EFBD于点F，EGAC于点G，CHBD于点H，试证明CH=EF+EG;(2) 若点E在的延长线上，如图2，过点E作EFBD于点F，EGAC的延长线于点G，CHBD于点H， 则EF、EG、H三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (3) 如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EFBD于点F，EGBC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有EF、EG、H这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.3. 如图，ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：AHE+AFD=180；AF=BC；当D在线段BC上（不与B，C重合）运动，其他条件不变时是定值；当D在线段BC上（不与B，C重合）运动，其他条件不变时是定值；（1）其中正确的是-；（2）对于（1）中的结论加以说明；4. 在中，AC=BC，点D为AC的中点（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明分析：（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证1=2=90-DFC，CEF=FGH=135，由AAS证出CEFFGHCF=FH（2）通过证明CEFFGH得出解答：解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC证明如下：延长DF交AB于点G，由题意，知EDF=ACB=90，DE=DF，DGCB，点D为AC的中点，点G为AB的中点，且 ，DG为ABC的中位线， AC=BC，DC=DG，DC-DE=DG-DF，即EC=FGEDF=90，FHFC，1+CFD=90，2+CFD=90，1=2DEF与ADG都是等腰直角三角形，DEF=DGA=45，CEF=FGH=135，CEFFGH，CF=FH（2）FH与FC仍然相等点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大答题：黄玲老师5. 如图12，在ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且ABE=ACF，BE、CF交于点O过点O作OPAC，OQAB，P、Q为垂足求证：DP=DQ6. 如图。，BD是ABC的内角平分线，CE是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G。探究：线段FG的长与ABC三边的关系，并加以证明。说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；在你经历说明的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分。可画出将ADF沿BD折叠后的图形；将CE变为ABC的内角平分线。(如图2) 附加题：探究BD、CE满足什么条件时，线段FG的长与ABC的周长存在一定的数量关系，并给出证明。7. 在四边形ABCD中，对角线AC平分DAB(1)如图，当DAB120，BD90时，求证：ABADAC(2)如图，当DAB120，B与D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明(3)如图，当DAB90，B与D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明8. 设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQPC(1)证明：PC2AQ(2)当点F为BC的中点时，试比较PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明9. 两块等腰直角三角板ABC和DEC如图摆放，其中ACB=DCE=90，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_和位置关系为_；（2）如图2，若将三角板DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（2）如图3，将图1中的DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.ABDECHFG图3ABDECHFG图1图2ABDECHFG10. 已知ABC中，ABAC3，BAC90，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处(1)如图，若BDCD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)(2)如图，若BDCD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AEx，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围(3)若BD2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E设CFx(x1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 窗体底端第3章四边形中考题集（12）：3.1 平行四边形与中心对称图形收藏试卷下载试卷试卷分析解答题1、如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，BAD和CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQBA交AD于点Q，PSBC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若ABD=90，求证：ABRCRD；（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定专题：证明题；开放型分析：（1）可先证CRBD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得BCR=DCR，进而求得BAR=DCR，又有AB=CR，AR=BC=CD，可证ABRCRD；（2）由PSQR，PSRD知，点R在QD上，故BCAD又由AB=CD知A=CDA因为SRPQBA，所以SRD=A=CDA，从而SR=SD由PSBC及BC=CD知SP=SD而SP=DR，所以SR=SD=RD故CDA=60度因此四边形ABCD还应满足BCAD，CDA=60解答：证明：（1）ABD=90，ABCR，CRBDBC=CD，BCR=DCR四边形ABCR是平行四边形，BCR=BARBAR=DCR又AB=CR，AR=BC=CD，ABRCRD（2）由PSQR，PSRD知，点R在QD上，故BCAD又由AB=CD知A=CDA，因为SRPQBA，所以SRD=A=CDA，从而SR=SD由PSBC及BC=CD知SP=SD而SP=DR，所以SR=SD=RD故CDA=60因此四边形ABCD还应满足BCAD，CDA=60（注：若推出的条件为BCAD，BAD=60或BCAD，BCD=120等亦可）点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质专题：证明题；开放型分析：三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，由此可添加的条件有：BE=DF，BAE=DCF，AEB=CFD解答：解：条件BE=DF（答案不唯一）证明：四边形ABCD是平行四边形AB=CDB=D又BE=DFABECDF点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目答题：lihongfang老师14、如图，已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点，求证：DAN=BCM考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题：证明题分析：因为平行四边形两组对边分别相等，对角相等，且M、N分别为对边中点，所以可利用边角边公式，通过证明两三角形全等得出结论解答：证明：ABCD是平行四边形，AB=DC，B=D，AD=BC又点M、N分别是AB、DC的中点，BM=DN在ADN和CBM中，ADNCBM（SAS）DAN=BCM点评：此题主要考查平行四边形的性质，以及三角形全等的判定，难易程度适中答题：lanyan老师15、已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE的延长线交CD的延长线于点F（1）求证：CD=DF；（2）若AD=2CD，请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题：证明题分析：（1）先证明ABEFDE，可证CD=DF；（2）根据等腰三角形的定义和直角三角形的定义判断解答：（1）证明：ABCF，AEB=DEF，A=EDF，ABEFDE，CD=DF（2）解：根据题意可知AD=2CD，BC=CF，CEBF，直角三角形有：RtCEF，RtCEB；等腰三角形有：CDE，DEF，ABE，CBF点评：本本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角答题：lanyuemeng老师18、如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，ABDC，BCDF从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是BDAE，路线2是BCFE，请比较两条路线路程的长短，并给出证明考点：线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；平行四边形的判定专题：应用题分析：由于路线1的路程为BD+DA+AE，路线2的路程为BC+CF+FE，将问题变为比较它们的大小这一数学问题解答：解：这两条路线路程的长度一样理由如下：延长FD交AB于点GBCDF，ABDC，四边形BCDG是平行四边形，DG=CB在FAG中，FE=AE，DEAG，FD=DG，CB=FD又BCDF，四边形BCFD是平行四边形CF=BD CE垂直平分AF，AE=FE，FD=DA BC=DA 路线1的长度为：BD+DA+AE，路线2的长度为：BC+CF+FE，综合，可知路线1路程长度与路线2路程长度相等点评：本题是一个图形在交通方面的应用题，解此类图形应用题的关键是建立合理的数学模型，并利用图形知识来解决这一模型，从而解决实际问题考查线段的垂直平分线的性质，平行四边形判定与性质，中位线等知识答题：CJX老师19、如图，四边形ABCD是平行四边形，ABC和ABC关于AC所在的直线对称，AD和BC相交于点O，连接BB（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：ABOCDO考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的性质专题：证明题分析：（1）根据题意，结合图形可知等腰三角形有ABB，AOC和BBC；（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，ABC=ABC，又因为，ABC和ABC关于AC所在的直线对称，故AB=AB，ABC=ABC，则可证ABOCDO解答：解：（1）ABB，AOC和BBC；（2）在ABCD中，AB=DC，ABC=ABC，由轴对称知AB=AB，ABC=ABC，AB=CD，ABO=D在ABO和CDO中，ABOCDO点评：此题是一道把等腰三角形的判定、平行四边形的性质和全等三角形的判定结合求解的综合题考查学生综合运用数学知识的能力21、已知ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF（1）如图，当ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；（2）如图，当ABC中只有ACB=60时，请你证明SABC与SABD的和等于SBCE与SACF的和考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质专题：压轴题分析：（1）由等边三角形的性质可写出结论（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从ABC中分出一部分使得与ACF的面积相等，则过A作AMFC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可解答：解：（1）DE=EF，DF=EF，D=E=F，A、B、C分别为DF、DE、EF的中点（2）过A作AMFC交BC于M，连接DM、EM，ACB=60，CAF=60，ACB=CAFAFMC四边形AMCF是平行四边形又FA=FC，四边形AMCF是菱形AC=CM=AM，且MAC=60在BAC与EMC中，CA=CM，ACB=MCE，CB=CE，BACEMCDM=BCDM=EB，DB=EM四边形DBEM是平行四边形SBDM+SDAM+SMAC=SBEM+SEMC+SACF即SABC+SABD=SBCE+SACF点评：本题主要考查等边三角形的性质及平行四边的判定和全等三角形的判定，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神答题：littlenine老师23、如图，已知AD和BC交于点O，且OAB和OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F求证：ACE为等边三角形考点：等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题：证明题分析：要证ACE为等边三角形，可证有一个角为60的等腰三角形是等边三角形，AE=CE可由ABEEDC得出，AEC=60可由CFD和ADF中得出，从而命题可证解答：证明：OAB和OCD为等边三角形，CD=OD，OB=AB，ADC=ABO=60四边形ODEB是平行四边形，OD=BE，OB=DE，CBE=EDOCD=BE，AB=DE，ABE=CDEABEEDCAE=CE，AEB=ECDBEAD，AEB=EADEAD=ECD在AFE和CFD中又AFE=CFD，AEC=ADC=60ACE为等边三角形点评：本题综合考查考查等边三角形形的判定及性质，全等三角形平行四边形的有关知识注意对三角形全等，等边三角形的综合应用24、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位用实数加法表示为3+（-2）=1若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”；“平移量”a，b与“平移量”c，d的加法运算法则为a，b+c，d=a+c，b+d解决问题：（1）计算：3，1+1，2；1，2+3，1；（2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”3，1平移到A，再按照“平移量”1，2平移到B；若先把动点P按照“平移量”1，2平移到C，再按照“平移量”3，1平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC证明四边形OABC是平行四边形（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O请用“平移量”加法算式表示它的航行过程考点：勾股定理；平行四边形的判定；生活中的平移现象专题：阅读型分析：（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可解答：解：（1）3，1+1，2=4，3；1，2+3，1=4，3（2）画图最后的位置仍是B证明：由知，A（3，1），B（4，3），C（1，2）OC=AB= = ，OA=BC= = ，四边形OABC是平行四边形（3）从O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为2，3，同理得到P到Q的平移量为3，2，从Q到A的平移量为-5，-5，故有2，3+3，2+-5，-5=0，0点评：本题是一道综合题，比较有创新，让学生在做题的同时又学到新知识，是一道好题答题：fuaisu老师考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质分析：（1）根据AD是BAC的平分线，利用等腰三角形的性质，得BAD= BAC，即可求解；（2）根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理就可求解；（3）根据等腰三角形的三线合一的性质，知D是BC的中点，再根据三角形的中位线定理就可求解解答：解：（1）AD是BAC的平分线，BAD=CAD，BAC=100，BAD=50；（2）AB=AC，B=C， ；（3）AB=AC，AD平分BAC，AD是等腰ABC底边BC上的中线，D是BC中点又E是AB的中点，DE是ABC的中位线，DE= 点评：此题主要是运用了等腰三角形的性质和三角形的中位线定理答题：kuaile老师28、如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE（不需证明）（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而1=2，再利用平行线性质，可证得BME=CNE）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E