重庆复旦中学高2017级数学暑假自主研修初高中衔接教材.doc

重庆复旦中学高2017级数学暑假自主研修校本教材初高中衔接教材整理：黄益全二一五年六月目 录前 言 3第一篇 初高中数学的变化 5第二篇 数学中的思想与方法 10第三篇 初高中衔接知识35第1讲 数与式的运算35第2讲 因式分解41第3讲 一元二次方程根与系数的关系45第4讲 一元高次方程的解法51第5讲 三元一次方程组的解法举例52第6讲 简单的二元二次方程组的解法举例55第7讲 一元二次不等式的解法58第8讲 平面上任意两点间距离62第9讲 三角形的“四心”63第10讲 函数图象的平移变换与对称变换66前 言亲爱的重庆复旦中学新高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。面对教学中将存在的问题，我们高中数学组的老师们拟定了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，为高中学习做好准备。高中新课程改革已在我市实施了3年，经过新课程的教学，我们都有一个这样的感觉：这届学生比任何历届学生都要“笨”，都要来的“随意”，都要来的“会说”，课堂气氛很活跃，运算动不动就按计算器，心算，口算，笔算的能力相当差，这是初中新课标实施的结果课标下学生与历届学生在教师心目中的几点对比对比课标下学生(简称新生)刚毕业学生课堂气氛个人参与表现能力强，敢于相互交流，发表不同的观点看法，课堂气氛相当活跃相互交流讨论能力不如本届学生，在教师启发下会发表看法，课堂气氛要看老师的调节水平运算能力心算、口算、笔算能力弱，对计算器有依赖感，操作相当熟练，一些常用值没记忆心算、口算、笔算能力强，计算器操作不是很熟练，对一些常用值有记忆的习惯动手能力动手能力强，掌握三视图，熟悉图形与变换(轴对称，平移，中心对称，旋转)远远不如刚毕业学生心理素质新生有强烈的表现欲望，但容易受挫折，计算器的依赖让学生失去对心算、口算、笔算的信心，始终有一种“不用计算器验证，心里不踏实”的感觉，影响着学习考试的情绪目前，“九年制义务教育”新课改教材，其教学内容作了较大程度的压缩和删减，教材叙述方法比较简单，语言通俗易懂，直观性、趣味性强，结论容易记忆，学生掌握比较方便虽然“九年制义务教育”课程标准倡导“不同的学生在学习上得到不同的发展”，但是家长的愿望、升学的压力，学校之间、班级之间的竞争，驱使初中数学教学普遍执行的是课程标准的基本要求，即“课程标准中明确规定的要求”，有的甚至在执行中考必考的要求我们看到了初中新课程带来的普及性教育成果，也看到了中考“指挥棒”选拔出来的数学成绩，每个学生几乎都是三位数，校校之间、班班之间平均分差距也不大，初中数学教学谈化了为学生的升学而应做的准备初中教学中的“讨论式”教学法，“自学式”教学法等多种体现学生自主学习、自我探索的方法的开展，导致课堂教学密度小，规范性差进入高中以后，“高中课程标准实验教材”内容多，课时少，例题和练习简单，习题、复习参考题，特别是B组题难度大，所谓的“新课标”辅导用书泛滥，题目偏、怪、难，直接导致了学生学习困难，学习兴趣下降，上课不专心听讲，作业不认真做，长时间不解决问题，学生成绩下滑，教师将无法继续开展有效的教学为了解决这些矛盾，使你顺利完成高中数学的学习，结合我们实施新课程三年的经验，我们编写了初高中衔接知识，为你学好高中数学做好过渡。附：目前初高中数学知识存在以下“脱节”1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“ 1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6.图象的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图象的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，象配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。第一篇 初高中数学的变化数学是“思维的体操，智慧的火花”，数学使人聪明，严谨。数学是“一切科学之母”，它无处不在。在高考中占150分，而且数学成绩决定你的历次考试排名。要想考上理想的大学，数学成绩起着关键的作用，高中阶段必须学好数学。高一是数学学习的一个关键时期。许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者，进入高中阶段，第一个跟斗就栽在数学上。对众多初中数学学习的成功者，进高中后数学成绩却不理想，数学学习缕受挫折，造成这一结果的主要原因是这些同学不了解高中数学的特点，学不得法，从而造成成绩滑坡。一、关于初高中数学成绩分化原因的分析1环境与心理的变化对高一新生来讲，环境可以说是全新的，新教材、新同学、新教师、新集体学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生“松口气”想法，入学后无紧迫感。也有些学生有畏惧心理，他们在入学前，就耳闻高中数学很难学，高中数学课一开始也确是些难理解的抽象概念，如映射、集合、异面直线等，使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面。以上这些因素都严重影响高一新生的学习质量。2教材的变化首先，初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；而高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。其次，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。3课时的变化在初中，由于内容少，题型简单，课时较充足。因此，课容量小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调，对各类习题的解法，教师有时间进行举例示范，学生也有足够时间进行巩固。而到高中，由于知识点增多，灵活性加大和新工时制实行，使课时减少，课容量增大，进度加快，对重难点内容没有更多的时间强调，对各类型题也不可能讲全讲细和巩固强化。这也使高一新生开始不适应高中学习而影响成绩的提高。4学法的变化在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时，学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型，一般均可对号入座取得好成绩。因此，学生习惯于围着教师转，不注重独立思考和对规律的归纳总结。到高中，由于内容多时间少，教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细，只能选讲一些具有典型性的题目，以落实“三基”培养能力。因此，高中数学学习要求学生要勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。然而，刚入学的高一 新生，往往继续沿用初中学法，致使学习困难较多，完成当天作业都很困难，更没有预习、复习及总结等自我消化自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。二、高中数学与初中数学特点的变化 1.数学语言在抽象程度上突变初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数语言、图象语言等。2.思维方法向理性层次跃迁 高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。3.知识内容的整体数量剧增 高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。4.知识的独立性大 初中知识的系统性是较严谨的，给我们学习带来了很大的方便。因为它便于记忆，又适合于知识的提取和使用。但高中的数学却不同了，它是由几块相对独立的知识拼合而成（如高一有集合，命题、不等式、函数的性质、指数和对数函数、指数和对数方程、三角比、三角函数、数列等），经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点。三、如何学好高中数学1养成良好的学习数学习惯。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。2.及时了解、掌握常用的数学思想和方法 学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元法、待定系数法、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。3.逐步形成“以我为主”的学习模式数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。4.针对自己的学习情况，采取一些具体的措施（1）记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 （2）建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。（3）熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。（4）经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。（5）阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。（6）及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。（7）学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。（8）经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。（9）无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。四、名人对数学的感悟每个人心中的数学都是不一样的，因为每个人数学学习和数学研究的经历不一样。让我们一起聆听数学家、科学家、哲学家们对数学的感悟吧,或许能够指引我们高中数学的学习方向。1数学是科学之王。 高斯2数学是符号加逻辑。 罗素 3数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的科学。 恩格斯4数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。 克莱因5概念的思考是数学的特色。严密性对于数学的净化起着决定性的作用。 波士顿6在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。 康托尔 7别把数学想象为硬梆梆的、胡搅蛮缠的、令人讨厌的、有悖于常识的东西，它只不过是赋予常识以灵性的东西。 开尔文8数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏地极深。 高斯9宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 华罗庚10一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。 马克思11在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。毕达哥拉斯12历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。 弗兰西斯培根13数学知识有三个不同于其它知识的主要特征：其一是数学知识比其它知识更清晰地使其结果具有真理性；其二是数学知识乃是获得其它正确知识地必经的第一步；其三是数学知识的获得并不依赖于其它知识。 舒伯特14数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为它的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。数学之所以有高声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学某种程度的可靠性。 爱因斯坦15真正的数学家，其本质是一个热情洋溢的人，没有热情就没有数学。一个不擅于计算的人，有可能成为一个第一流的数学家，而一个没有丝毫数学观念的人，充其量只能成为一个大计算家。 哈登伯格16一个国家只有数学蓬勃地发展，才能展现它国力的强大。数学的发展与完善和国家的繁荣昌盛密切相关。 拿破仑 *阅读了以上资料，你有何体会？请你充分利用网络，收集整理中外名人对数学的理解和感悟，或者是数学在实际生活中的应用。第二篇 数学中的思想与方法一、配方法(一)知识要点：在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方，完全立方等，从而再利用诸如完全平方项非负等性质，达到解决数学问题的目的。配方法主要用在多元代数式求值，无理式的证明或解方程等方面。(二)典型例题解析例1已知x，y，z都是正数且满足x+y+z=6，xy+yz+zx=，求：的值。解：（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz x2+y2+z2=（x+y+z）22（xy+yz+xz）=622=25。=5例2当a，b为何值时关于x的方程x2+2（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实数根？解：判别式=（2+2a）24（3a2+4ab+4b2+2）0 即2a2+4ab+4b2+12a0配方得（a+2b）2+（a1）20又由实数的运算意义得（a+2b）2+（a1）20恒成立当且仅当a1=0，a+2b=0同时成立时，以上两个不等式才能同时成立，即当a=1，b=时原方程有实数根。另一种解法：原方程可以直接变形：x2+2（1+a）x+（1+a）2+（a2+4ab+4b2）+2a2+2（1+a）2=0即（x+1+a）2+（a+2b）2+（a1）2=0从而直接得出答案，并且可以解出原方程的解为x=2例3已知x2+x+1=0求下列有理式的值：（1）x2+x2。（2）x3+x3。（3）x4+x4。解：x2+x+1=0，x0，故有x+x1=1x2+x2=（x+x1）22=1 x3+x3=（x2+x2）（x+x1）（x+x1）=2，x4+x4= （x2+x2）22=1。例4.化简+.解:原式=+ =+ =|+|=(三)基础训练题1.已知x,y同时满足:x2+y2=20和xy=4试求xy的值.解: xy=4两边平方得x2+y22xy=16又:x2+y2=20 xy=22.求满足条件5x2+5y2+8xy+2y2x+2=0的实数x，y的值。提示：原式可配方为4（x+y）2+（y+1）2+（x1）2=0解得x=1，y=13解方程：x2+4x16+20=0提示：配方成（x2）2+（4）2=0可得x=24.若a,b,c,d都是正数.且满足a4+b4+c4+d4=4abcd,求证:以a,b,c,d为边的四边形是菱形.解:将条件变形为a42a2b2+b4+c42c2d2+d4+2a2b2+2c2d24abcd=0即(a2b2)2+(c2d2)2+2(abcd)2=0 a2b2=0 c2d2=0 abcd =0从而有a=b=c=d以a,b,c,d为边的四边形是菱形.5.试确定方程组的所有解.解: (2)2(1)得(x1)2+(y1)2+(z1)2=0 x=1, y=1 ,z=1 经检验,该组解也适合方程(3). 原方程组有唯一解x=1, y=1 ,z=1二、换元法(一)知识要点：数学中的“元”指的是未知数。用新的未知数去替换原条件中的旧未知数，数字，代数式，从而是较复杂的式子结构简化，其实质是一种化繁为简、化难为易的数学转化的具体体现。(二)典型例题解析例1.若a,b,c都是实数,且(a1):(b+1):(c+2)=1:2:3 求a2+b2+c2的最小值.解:设a1=k,则b+1=2k,c+2=3k, a=k+1,b=2k1,c=3k2则a2+b2+c2=(k+1)2+(2k1)2+(3k2)2=14k214k+6=14(k当k=时, a2+b2+c2有最小值.例2.解方程组解:令u=,v=则原方程组可化为解得或再解方程组或得 经检验,以上都是原方程的解.例3.已知一个六位数1abcde,若此数乘以3,所得的新数恰好为abcde1,求此数.解:设x=abcde则六位数1abcde=100000+x 乘以3后得新数abcde1=10x+1,可得方程3(100000+x)=10x+1 解得x=42857 从而原来的六位数是142857.例4.已知M= N=,试比较M,N的大小.解:设x=9876504321, y=9876012345, 则有xy , xy0,且M=, N=MN=0, MN(三)基础训练题1解关于x的方程：（x1）（x2）（x3）（x4）=24提示：（x1）（x4）（x2）（x3）=（x25x+4）（x25x+6）=24设y= x25x 则y2+10y=0答案:x=0或5.2解方程：=252x 提示：令=y则y2=2x+5+2，原方程化为y2+y30=0，解得y=6从而得x=43.分解因式:(xy+1)(x+1)(y+1)+xy解:原式=(xy+1)(xy+x+y+1)+xy 令xy+1=m,则原式=m(m+x+y)+xy=m2+(x+y)m+xy=(m+x)(m+y)=(xy+x+1)(xy+y+1)4设实数p= 求证：1p2提示：设 =y， 则p=1，而P=2从而得证 。三、反证法(一)知识要点：反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。 反证法证题的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1假设命题的结论不成立；2从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确即：提出假设推出矛盾肯定结论；简称为“反设、归谬、结论” 三步骤。 反证法中常见的矛盾（归谬）形式（1）与已知条件即题设矛盾；（2）与假设即反设矛盾；（3）与已知的定义、公理和定理矛盾，即得出一个恒假命题；（4）自相矛盾。反证法的适用范围（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；（2）命题的结论以否定形式出现时；（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；（6）关于存在性命题；（7）某些定理的逆定理。(二)典型例题解析例1.证明不是有理数。（反证法的基本步骤）证明：假设是一个有理数，则可以表示一个分数，不妨设，其中m,n都是正整数，且m,n互质（称为既约分数）。式两边平方，得，即。这说明是2的倍数，因而m是2的倍数。设m=2k，k为正整数，代入上式得，即。因而n也是2的倍数，这与m,n互质相矛盾。所以是无理数。例2.求证：在同一平面内，同一条直线的垂线与斜线必相交。 （归谬的三种方向）已知：如图一，ACAB，BD与AB斜交。求证：AC与BD相交证明1：假设AC，BD不相交，则ACBD。由题设ACAB，则BDAB。这与题设BD与AB斜交矛盾，从而假设不成立。故原命题成立证明2：假设AC，BD不相交，则ACBD，从而12，如图一，又由题设ACAB，知190。再由ACBD，有290，这与直线的斜线（即斜交）的定义矛盾，从而假设不成立，故原命题成立。证明3：假设AC，BD不相交，则ACBD。由题设ACBD，作BDAB，则BDAC。BD与BD重合。再由题设BD与AB斜交，又BDAB，BD与BD重合。产生矛盾，从而假设不成立，故原命题成立例3.如果，求证：二次函数和的图象至少有一个与x轴相交。（反证法的适用范围）分析：该题很难断定哪一个函数的图像与x轴相交，因此可以从结论的反面考虑：假设两条抛物线都不与x轴相交，便得到两个判别式均小于零的结论，以便与条件发生联系。证明：假设二次函数和的图像都不与x轴相交，则有 ，但由条件有2p1p2=4(q1+q2)， ,即(p1p2)20，这是不可能的，因此，二次函数和的图像至少有一个与x轴相交。(三)基础训练题1.已知 、 、 、 ，且。求证： 、 、 、 中至少有一个是负数.证明：假设 、 、 、 都是非负数， ， .又 .这与已知 矛盾. 、 、 、 中至少有一个是负数.2.以知a与b均为正有理数，而和都是无理数，求证+也是无理数。证明：假设+也是有理数，则（+）（）=a-b因为+0，所以 =(a-b)/( +) （1）因为有理数对四则运算是封闭的，所以根据已知条件和所作的假定，由（1）式可知-也是有理数，这样（+）+（-）=2应是有理数，从而也是有理数。这与已知条件相矛盾。因此，+仍为无理数。(推出的结果与所作的假定矛盾)3.若三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中,至少有一个方程有实数解,求实数a的取值范围.证：假设以上三个方程无实数解,则有(4a)2-4(-4a+3)0 ,(a-1)2-4a20 ,(2a)2-4(-2a)0,所以导致自相矛盾,原命题结论成立.四、待定系数法(一)知识要点：根据多项式恒等的性质，先判断所求的结果的结构具有某种确定的形式，其中含有若干待确定的系数，而后根据题设条件通过比较等式两边的对应项，列出若干关于待定的系数的方程（组），最后求此方程（组），得到各待定系数的值或找到它们之间的某种关系。(二)典型例题解析例1.若，求A,B的值.解: =与原式比较得解得例2已知方程x49x2+12x4=0有两个根1和2，解这个方程。解：设x49x2+12x4=（x1）（x2）（x2+ax2）=x4+（a3）x33ax2+（2a+6）x4比较相应的系数得a3=0，解得a=3。代入上式，恒成立所以a=3， 解方程x2+3x2=0, 解得x=例3求满足0xy及=+的不同的整数对（x，y）的个数。解：x，y都是正整数，是同类根式，且=2可设=m， =n （m，n都是正整数）+= m+n=2可得m+n=2 又0xy则mn，故m+n=2无正整数解，即原方程无正整数解。满足条件的不同正整数对（x，y）的个数为0。例4已知直线L经过点D（1，4），与x轴的负半轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，且直角AOB的内切圆面积为，求直线的函数解析式。解：设直线的函数解析式为y=kx+b （k，b都是正数） 则点B的坐标（0，b），又设点A的坐标为(x0,0),则0=k x0+b 有因为直线L过D(1,4),则4=k+b,得b=4+k所以x0=,又直角AOB的内切圆面积为,得圆的半径为1,则圆心C的坐标为(1,1),又设内切圆与x轴和y轴及直线AB分别切于点G,E,F,则E(0,1) ,G(1,0), AB=AF+BF=AG+BE=|x0|OG|+bOE=1+4+k1=+k+2 由勾股定理得(+k+2)2=( )2+(k+4)2.解得k=2, 从而b=k+4=2+4直线的函数解析式为y=2x+2+4(三)基础训练题1.已知二次函数的图象过原点O,顶点B的坐标为(1,1),开口向上.在图象上有一点A,使AOB=90,求点A的坐标.提示:先用待定系数法求的二次函数的解析式为y=x22x.由Box=45 ,可得Aox=45，即点A在第一象限的角平分线上,可求得A(3,3)2.已知满足等式p2+q2=7pq的正实数p，q能使关于x，y的多项式xy+px+qy+1分解成两个一次因式的积，试求p，q的值.提示:由已知得p+q=3,设多项式xy+px+qy+1=(ax+b)(cx+d),比较系数后得pq=1,所以p+q=3.从而解得p=3.已知x4+4x3+6px2+4qx+r能被x3+3x2+9x+3整除,求p,q,r的值提示:设x4+4x3+6px2+4qx+r=(x+m)( x3+3x2+9x+3)= x4+(3+m)x3+(9+3m)x2+(3+9m)x+3m比较系数得 解这个方程组得m=1, p=2, q=3 r=3五、构造法(一)知识要点：在数学解题过程中，有许多问题在用一般的思路分析受阻，用通常的方法解决有困难时，可在原有的条件和结论的基础上进行引申、拓展、联想和类比，在已知和未知之间搭起一座桥梁，即通过构造一定的数学模型（背景）来完成解题，这种方法称为构造法。(二)典型例题解析例1 如图一，在ABC中，AD为中线，过点B的直线交AD于点F，交AC于点E，且AE=EF，求证：BF=AC分析1：因为D为BC的中点，故想到“中点配中点构造中位线”，先在ABC中构造中位线证明