高中数学 第四章 §1 1.1 导数与函数的单调性课件 北师大版选修11.ppt

第四章 11 1 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 函数f x x2 2x 2的图像如图所示 问题1 当x0 1 时 函数在 x0 f x0 处的切线斜率f x0 大于零还是小于零 提示 小于零 问题2 函数f x x2 2x 2在 1 上单调性如何 提示 是减少的 问题3 当x0 1 时 函数在 x0 f x0 处的切线斜率f x0 大于零还是小于零 提示 大于零 问题4 f x x2 2x 2在 1 上单调性如何 提示 是增加的 函数在区间 a b 上的单调性与其导函数的符号有如下关系 是增加的 是减少的 1 求函数的单调区间先求函数的定义域 再求导数f x 令f x 0 得单调增区间 令f x 0 f x 0 例1 求下列函数的单调区间 1 f x 3x2 2lnx 2 y x3 ax a r 思路点拨 对 1 求出定义域后 分别令f x 0和f x 0可解得对应的单调区间 对 2 求导后 应注意a的讨论 一点通 1 求函数单调区间的步骤 2 含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论 1 函数y 3x x3的递增区间为 a 0 b 1 c 1 1 d 1 解析 y 3 3x2 令y 0 即x2 1 1 x 1 故函数的递增区间为 1 1 答案 c 2 函数y xlnx的单调减区间为 解 1 由题意y 2 sinx 1 sinx 1 y 0 单调区间为 且函数y 2x cosx在r上为减少的 例2 已知函数f x x3 ax 6 1 若函数f x 的单调递减区间为 1 1 求a的值和函数的单调递增区间 2 若函数f x 在 1 上是增加的 求a的取值范围 思路点拨 1 函数f x 的单调递减区间为 1 1 即f x 0的解集为 1 1 2 函数f x 在 1 单调递增 则f x 0在 1 上恒成立 精解详析 1 由题意f x 3x2 a 函数f x 的一个单调递减区间为 1 1 3x2 a0 则x 1或x 1 函数f x 的单调增区间为 1 和 1 2 因为函数f x 在 1 上是增加的 f x 0在 1 上恒成立 即3x2 a 0在 1 上恒成立 a 3x2在 1 上恒成立 令g x 3x2 当x 1 时 g x g 1 3 a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 此时函数f x 在 1 上增加 a的取值范围是 3 一点通 已知函数y f x x a b 的单调性 求参数的取值范围的步骤 1 求导数y f x 2 转化为f x 0或f x 0在x a b 上恒成立问题 3 由不等式恒成立求参数范围 4 验证等号是否成立 4 若函数f x ax3 x2 x 8在 上增加 求a的取值范围 例3 12分 求证 当x 2时 x3 6x2 12x 8 思路点拨 通过函数f x x3 6x2 12x 8的单调性 证明f x 0 精解详析 设f x x3 6x2 12x 8 则f x 3x2 12x 12 3 x2 4x 4 3 x 2 2 4分 x 2时 f x 0恒成立 6分 f x 在 2 上是增加的 8分 x 2时 f x f 2 0 10分 即x3 6x2 12x 8 0 即x3 6x2 12x 8 12分 一点通 要证明不等式g x x 或g x x 成立 可以构造函数f x g x x 然后再利用导数研究函数f x g x x 的单调性 根据单调性获得f x 0 或f x 0 从而证明了不等式g x x 或g x x 6 求证 sinx x x 0 证明 令f x sinx x f x cosx 1 x 0 cosx 1 1 f x cosx 1 0 f x 在 0 上是减少的 f x f 0 0 即sinx x 0 sinx x 7 已知x 0 求证 ex 1 x 证明 令g x ex 1 x 则g 0 0 g x ex 1 当x 0时 g x ex 1 0 g x 在 0 上为增加的 g x g 0 e