2016年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1设集合 A=x|y=x+1） ， B= 2， 1， 0， 1，则（ B=（ ） A 2B 2， 1C 2， 1， 0D 2， 1， 0， 1 2复数 等于（ ） A 1+21 22+2 i 3若抛物线 p 0）的焦点与双曲线 的 右焦点重合，则 p 的值为（ ） A 2B 2 C 8D 8 4运行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A 3B 2C 1D 2 5设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 ， m， n，则 m m ， m n， n ，则 C若 m n， m， n，则 D 若 ， m， n，则 m n 6从 1， 2， 3， 4， 5中随机选取一个数 a，从 1， 2， 3中随机选取一个数 b，则关于 x 的方程 ax+ 有两个不相等的实根的概率是（ ） A B C D 第 2 页（共 20 页） 7若实数 x， y 满足条件 ，则 z=x+3y 的最大值为（ ） A 16B 12C 11D 9 8函数 f（ x） =x+）（其中 | ）的图象如图所示，为了得到 y=图象，只需把 y=f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 9设函数 y=f（ x）在区间（ a， b）上的导函数为 f（ x）， f（ x）在区间（ a， b）上的导函数为 f（ x），若在区间（ a， b）上 f（ x） 0 恒成立，则称函数 f（ x）在区间（ a， b）上为 “凹函数 ”；已知 f（ x） = x 在（ 1， 3）上为 “凹函数 ”，则实数 m 的取值范围是（ ） A 2， +） B ， 5C（ 2， +） D（ ， +） 10已知点 P 为抛物线 C： p 0）上任意一点， O 为坐标原点，点 M（ 0， m），若|成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A（ ， B（ ， C（ ， pD（ ， 2p 11某几何 体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ） A 208B 128C 64D 32 12已知函数 f（ x） =2（ a+m） x+g（ x） = （ a m） x a， mR），定义 x） =f（ x）， g（ x） ， x） =f（ x）， g（ x） （其中 p， q表示p、 q 中较大值， p， q表示 p、 q 中的较小值）记 x）的最小值为 A， x）的最大值为 B，则 A B=（ ） A 442a 42a+4、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13写出命题 “存在 x（ 0， +），使得 x 1”的否定： 第 3 页（共 20 页） 14写出（ x ） 5的展开式中常数项： 15已知平面内 A， B 两点的坐标分别为（ 2， 2），（ 0， 2）， O 为坐标原点，动点 P 满足| |=1，则 | |的最小值是 16 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 B=C 且 4a2+b2+ ，则 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 17已知数列 前 n 项和是 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）记 bn=求数列 的前 n 项和 18一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50 个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为 5， 15，（ 15， 25，（ 25， 35，（ 35， 45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）， （ 1）求 a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； （ 2）从盒子中随机抽取 3 个小球，其中重量在 5， 15内的小球个数为 X，求 X 的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率） 19在直三棱锥 B=， E， F 分别是 中点， 为棱 （ 1）证明： （ 2）是否存在一点 D，使得平面 平面 角的余弦值为 ？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由 20已知椭圆 和椭圆 =1 的离心率相同，且点（ ，1）在椭圆 第 4 页（共 20 页） （ 1）求椭圆 （ 2）设 P 为椭圆 一动点，过点 P 作直线交椭圆 、 C 两点，且 P 恰为弦 中点试判断 面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由 21已知函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的单 调区间和最大值； （ 2）若两不等正数 m， n 满足 mn=数 f（ x）的导函数为 f（ x），求证： f（ ）0 选修 4何证明选讲 22已知 圆 O 相切于点 A，直线 圆于 B、 C 两点， D 是圆上一点，且 C 的延长线交 点 Q （ 1）求证： Q （ 2）若 ， ，求 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为： 4=0 （ 1）将极坐标方程化为普通方程 （ 2）若点 P（ x， y）在该圆上，求 x+y 的最大值和最小值 选修： 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|2x+1|+|2x 1| （ 1）求不等式 f（ x） 4 的解集； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） 3a）恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年安徽省宿州市高考数学一模 试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1设集合 A=x|y=x+1） ， B= 2， 1， 0， 1，则（ B=（ ） A 2B 2， 1C 2， 1， 0D 2， 1， 0， 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 利用对数函数性质和补集定义求解 【解答】 解： 集合 A=x|y=x+1） =x|x+1 0=x|x 1， B= 2， 1， 0， 1， （ B=x|x 1 2， 1， 0， 1= 2， 1 故选： B 2复数 等于（ ） A 1+21 22+2 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简 【解答】 解：复数 = = =2+i， 故选 C 3若抛物线 p 0）的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 p 的值为（ ） A 2B 2 C 8D 8 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a， b， c，可得右焦点，求出抛物线的焦点，解方程可得 p=8 【解答】 解：双曲线 的 a=3， b= ， c= =4， 可得右焦点为（ 4， 0）， 抛物线 p 0）的焦点为（ ， 0）， 由题意可得 =4， 解得 p=8， 故选： C 4运行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） 第 6 页（共 20 页） A 3B 2C 1D 2 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用 循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：由题意，模拟执行程序，可得 n=1， S=1， 满足条件 n5， S=0， n=2 满足条件 n5， S=2， n=3 满足条件 n5， S= 1， n=4 满足条件 n5， S=3， n=5 满足条件 n5， S= 2， n=6 不满足条件 n5，退出循环，输出 S 的值为 2 故选： B 5设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 ， m， n，则 m m ， m n， n ，则 C若 m n， m， n，则 D若 ， m， n，则 m n 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果 【解答】 解：若 ， m， n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； m ， m n， n ， 又 n ， ，故 B 正确； 若 m n， m， n，则 或 与 相交，故 C 错误； 若 ， m， n，则 m n 或 m， n 异面，故 D 错误 故选： B 第 7 页（共 20 页） 6从 1， 2， 3， 4， 5中随机选取一个数 a，从 1， 2， 3中随机选取一个数 b，则关于 x 的方程 ax+ 有两个不相等的实根的概率是（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 根据题意，由分步计数原理可得 a、 b 的情况数目，进而分析可得若方程 ax+有实根，则 =（ 2a） 2 4，即 a2举可得 a2等可能事件的概率公式，计算可得答案 【解答】 解：根据题意， a 是从集合 1， 2， 3， 4， 5中随机抽取的一个数， a 有 5 种情况， b 是从集合 1， 2， 3中随机抽取的一个数， b 有 3 种情况，则方程 ax+ 有 35=15种情况， 若方程 ax+ 有实根，则 =（ 2a） 2 40，即 a b， 此时有 ， ， ， ， ， ， ， ， 共 9 种情况； 则方程 ax+ 有实根的概率 P= = 故选 C 7若实数 x， y 满足条件 ，则 z=x+3y 的最大值为（ ） A 16B 12C 11D 9 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而由 z=x+3y 得： y= x+ ，显然直线过 A（ 2， 3）时， z 最大，求出 z 的 最大值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 A（ 2， 3）， 第 8 页（共 20 页） 而由 z=x+3y 得： y= x+ ， 显然直线过 A（ 2， 3）时， z 最大， z 的最大值是： 11， 故选： C 8函数 f（ x） =x+）（其中 | ）的图象如图所示，为了得到 y=图象，只需把 y=f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象 变换 【分析】 利用图象的最低点确定 A 的值，利用周期确定 ，再根据图象过点（ ， 0），确定 的值，即可求函数 f（ x）的解析式，由 y=（ x+ + ） ，根据图象的变换规律即可得解 【解答】 解： T=4（ ） =， =2， f（ x） =2x+）， 图象过点（ ， 0）， 2 +） =0， | ， = ， f（ x） =2x+ ） =（ x+ ） ； y=2x+ ） =（ x+ ） =（ x+ + ） ； 函数 f（ x）的图象向左平移 个单位长度，可以得到函数 y=图象 故选： D 9设函数 y=f（ x）在区间（ a， b）上的导函数为 f（ x）， f（ x）在区间（ a， b）上的导函数为 f（ x），若在区间（ a， b）上 f（ x） 0 恒成立，则称函数 f（ x）在区间（ a， b）上第 9 页（共 20 页） 为 “凹函数 ”；已知 f（ x） = x 在（ 1， 3）上为 “凹函数 ”，则实数 m 的取值范围是（ ） A 2， +） B ， 5C（ 2， +） D（ ， +） 【考点】 利用 导数研究函数的单调性；导数的运算 【分析】 利用导数的运算法则可得 f（ x）， f（ x）由于函数 f（ x）在区间（ 1， 3）上为 “凹函数 ”，可得：在区间（ 1， 3）上 f（ x） 0 恒成立，解得即可 【解答】 解： f（ x） = x ， f（ x） = x， f（ x） = x2+， 由题意得： x2+ 0 在（ 1， 3）恒成立， 即 m x 在（ 1， 3）恒成立， 令 g（ x） =x ， g（ x） =1+ 0， g（ x）在（ 1， 3）递增， g（ x） g（ 3） =2， 故 m2， 故选： A 10已知点 P 为抛物线 C： p 0）上任意一点， O 为坐标原点，点 M（ 0， m），若|成立，则 实数 m 的取值范围为（ ） A（ ， B（ ， C（ ， pD（ ， 2p 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设抛物线 C： p 0）上任意一点 P（ x， ），利用条件分类讨论，最后综合可得答案 【解答】 解：设抛物线 C： p 0）上任意一点 P（ x， ） ， 点 M（ 0， m）， |m0，显然适合； 若 m 0，点 M（ 0， m）， |即 m2 m） 2，即 mp+ ，此时 0 mp m 的取值范围是（ ， p 故选： C 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ） 第 10 页（共 20 页） A 208B 128C 64D 32 【考点】 球的 体积和表面积；球内接多面体 【分析】 几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球半径，代入求得表面积公式计算 【解答】 解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为 4， 底面为等腰三角形，底边长为 6，高为 3 等边三角形，外接圆的半径 r=2 ， 几何体的外接球的半径 R= =4， 外接球的表面积 S=416=64 故选： C 12已知函数 f（ x） =2（ a+m） x+g（ x） = （ a m） x a， mR），定义 x） =f（ x）， g（ x） ， x） =f（ x）， g（ x） （其中 p， q表示p、 q 中较大值， p， q表示 p、 q 中的较小值）记 x）的最小值为 A， x）的最大值为 B，则 A B=（ ） A 442a 42a+4考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 先作差，得到 h（ x） =f（ x） g（ x） =2（ x a） 2 2别解出 h（ x） =0， h（ x） 0， h（ x） 0，利用新定义即可得出 x）， x）进而得出 A， B 即可 【解答】 解：令 h（ x） =f（ x） g（ x） =2（ a+m） x+ （ a m） x =242（ x a） 2 2设 m 0）， 由 2（ x a） 2 2，解得 x=am，此时 f（ x） =g（ x）； 由 h（ x） 0，解得 x a+m，或 x a m，此时 f（ x） g（ x）； 由 h（ x） 0，解得 a m x a+m，此时 f（ x） g（ x） 综上可知： （ 1）当 xa m 时，则 x） =f（ x）， g（ x） =f（ x） =x（ a+m） 2 22（ x） =f（ x）， g（ x） =g（ x） = x（ a m） 2 2 （ 2）当 a mxa+m 时， x） =f（ x）， g（ x） =g（ x）， x） =f（ x）， g（ x） =f（ x）； （ 3）当 xa+m 时，则 x） =f（ x）， g（ x） =f（ x）， x） =f（ x）， g（ x） =g（ x）， 故 A=g（ a+m） = （ a+m）（ a m） 2 2 2B=g（ a m） = 2 A B= 2 2= 4 故选： A 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13写出命题 “存在 x（ 0， +），使得 x 1”的否定： 对任意 x（ 0， +），都有 x 1 第 11 页（共 20 页） 【考点】 命题的否定 【分析】 利用特称命题的 否定是全称命题推出结果即可 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 “存在 x（ 0， +），使得 x 1”的否定：对任意 x（ 0， +），都有 x 1 故答案为：对任意 x（ 0， +），都有 x 1 14写出（ x ） 5的展开式中常数项： 5 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得展开式中常数项 【解答】 解：（ x ） 5 的展开式的通项公式为 = ， 令 30 =0， r=4，故展开式中常数项 =5， 故答案为： 5 15已知平面内 A， B 两点的坐标分别为（ 2， 2），（ 0， 2）， O 为坐标原点，动点 P 满足| |=1，则 | |的最小值是 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 找到 P 的轨迹，设出 P 点坐标（ 2+则（ ） 2可化为关于 的函数，求出此函数的最小值，开方即可 【解答】 解： | |=1， P 的轨迹是以 B（ 0， 2）为圆心，以 1 为半径的圆， 设 P（ 2+则 =（ 2+ | |2=（ 2+2+ 当 1 时， | |2 取得最小值 1， | |的最小值是 1 故答案为 1 16 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 B=C 且 4a2+b2+ ，则 【考点】 余弦定理 【分析】 由 B= C 得 b=c，代入 4a2+b2+ 化简，根据余弦定理求出 平方关系求出 入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形 积的最大值 【解答】 解：由 B=C 得 b=c，代入 4a2+b2+ 得， 4 ，即 2 由余弦定理得， = ， 所以 = = ， 第 12 页（共 20 页） 则 面积 S= = = = = ，当且仅当 9 9时 ， 所以 面积的最大值为 故答案为： 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 17已知数列 前 n 项和是 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）记 bn=求数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）分类讨论 n=1 与 n2，从而求得数列 以 为首项， 为公比的等比数列，从而解得； （ 2）化简 bn=n，从而利用裂项化简 = = （ ），从而求前 n 项和 【解答】 解：（ 1）当 n=1 时， ， 解得， ； 当 n2 时，由 ， 1+ 1=1， 两式作差得： 1， 故数列 以 为首项， 为公比的等比数列， 其通项公式为 = ； （ 2） bn=n， = = （ ）， 故 （ 1 ） +（ ） +（ ） +（ ） +（ ） 第 13 页（共 20 页） = （ 1+ ） = 18一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50 个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为 5， 15，（ 15， 25，（ 25， 35，（ 35， 45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）， （ 1）求 a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； （ 2）从盒子中随机抽取 3 个小球，其中重量在 5， 15内的小球个数为 X，求 X 的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率） 【考点】 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）求解得 a=最高矩形中点的横坐标为 20，可估计盒子中小球重量的众数约为 20 根据平均数值公式求解即可 （ 2） X B（ 3， ），根据二项分布求解 P（ X=0）， P（ X=1）， P（ X=2） = ， P（ X=3），列出分布列，求解数学期望即可 【解答】 解：（ 1）由题意得，（ a+10=1 解得 a= 又由最高矩形中点的横坐标为 20， 可估计盒子中小球重量的众数约为 20， 而 50 个样本小球重量的平均值为： =0+0+0+0=） 故估计盒子中小球重量的平均值约为 （ 2）利用样本估计总体， 该盒子中小球的重量在 5， 15内的 则 X B（ 3， ）， X=0， 1， 2， 3； P（ X=0） = （ ） 3= ； P（ X=1） = （ ） 2 = ； P（ X=2） = （ ） （ ） 2= ； 第 14 页（共 20 页） P（ X=3） = （ ） 3= ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 即 E（ X） =0 = 19在直三棱锥 B=， E， F 分别是 中点， 为棱 （ 1）证明： （ 2）是否存在一点 D，使得平面 平面 角的余弦值为 ？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由 【考点】 二面角的平面角及求法； 空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量法进行证明垂直问题 （ 2）求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系进行求解判断即可 【解答】 解：（ 1）证明： 又 E=A 面 又 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A 有 A（ 0， 0， 0）， E（ 0， 2， 1）， F（ 1， 1， 0）， 0， 0， 2）， 2， 0， 2）， 设 D（ x， y， z）， = ，且 0， 1，即（ x， y， z 2） =（ 2， 0， 0），则 D（ 2，0， 2）， 则 =（ 1 2， 1， 2）， =（ 0， 2， 1）， =2 2=0，所以 （ 2）存在一点 D 且 D 为 平面 平面 角的余弦值为 理由如下：由题可知面 法向量 =（ 0， 0， 1） 设面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， 第 15 页（共 20 页） 则 ， 令 x=3，则 y=1+2， z=2（ 1 ），则 =（ 3， 1+2， 2（ 1 ） 平面 平面 角的余弦值为 ， |， |=| |= ， 即 = ， 解得 = 或 = （舍），所以当 D 为 点时满足要求 20已知椭圆 和椭圆 =1 的离心率相同，且点（ ，1）在椭圆 （ 1）求椭圆 （ 2）设 P 为椭圆 一动点，过点 P 作直线交椭圆 、 C 两点，且 P 恰为弦 中点试判断 面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）讨论直线的斜率是否存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式 ，以及点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求定值 【解答】 解：（ 1）由题意可得， + =1 且 = ， b2= 即 ， ， 椭圆 方程为 + =1； （ 2）当直线 斜率不存在时， 必有 P（ ， 0），此时 |2， S ； 第 16 页（共 20 页） 当直线 斜率存在时，设其斜率为 k、点 P（ 则 y y0=k（ x 与椭圆 （ 1+2k（ x+2（ 2 4=0， 设 A（ C（ 则 = ， 即 2 ， ， S = = = | = 综上，无论 P 怎样变化， 面积为常数 21已知函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的单调区间和最大值； （ 2）若两不等正数 m， n 满足 mn=数 f（ x）的导函数为 f（ x），求证： f（ ）0 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值； （ 2）先求出 f（ m） =f（ n），只要证 n 2e m 即可，问题转化为即只要证 ，构造函数 g（ x） =（ 2e x） 2e x），根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ 1）易知 f（ x） = ，当 0 x e， f（ x） 0，；当 x e， f（ x） 0； 故函数 f（ x）在（ 0， e）上单调递增，在（ e， +）上单调递减， f（ x）的最大值为 f（ e） = （ 2）不妨设 0 m n， mn= 有 即 = ，即 f（ m） =f（ n） 第 17 页（共 20 页） 由（ 1）知函数 f（ x）在（ 0， e）上单调递增，在（ e， +）上单调递减， 所以要证 f（ ） 0，只要证 e，即只要证 m+n 2e 0 m n，则易知 1 m e n 只要证 n 2e m 1 m e， 2e m e，又 n e， f（ x）在（ e， +）上单调递减， 只要证 f（ n） f（ 2e m），又 f（ m） =f（ n）， 只要证 f（ m） f（ 2e m）即可即只要证 ， 只要证（ 2e m） 2e m），只要证（ 2e m） 2e m） 0， 令 g（ x） =（ 2e x） 2e x），（ 1 x e）， 即只要证当 1 x e 时 g（ x） 0 恒成立即可 又 g（ x） = 2e x） + = + 2e x）， 1 x e， + 2，又 x（ 2e x） = 2e x） 2， g（ x） 0， g（ x）在（ 1， e）上单调递增， g（