高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值课件 理 北师大版.ppt

第2课时导数与函数的极值 最值 3 2导数的应用 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一用导数求解函数极值问题 多维探究 答案 解析 命题点1根据函数图像判断极值典例设函数f x 在r上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图像如图所示 则下列结论中一定成立的是a 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 b 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 c 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 d 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 解析由题图可知 当x0 当 22时 f x 0 由此可以得到函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处取得极小值 命题点2求函数的极值典例 2018 深圳调研 设函数f x ln x 1 a x2 x 其中a r 讨论函数f x 极值点的个数 并说明理由 解答 令g x 2ax2 ax a 1 x 1 当a 0时 g x 1 此时f x 0 函数f x 在 1 上是增加的 无极值点 当a 0时 a2 8a 1 a a 9a 8 函数f x 在 1 上是增加的 无极值点 设方程2ax2 ax a 1 0的两根为x1 x2 x1 x2 所以当x 1 x1 时 g x 0 f x 0 函数f x 是增加的 当x x1 x2 时 g x 0 f x 0 函数f x 是增加的 因此函数有两个极值点 当a0 由g 1 1 0 可得x10 f x 0 函数f x 是增加的 当x x2 时 g x 0 f x 0 函数f x 是减少的 所以函数有一个极值点 综上所述 当a 0时 函数f x 有一个极值点 命题点3根据极值求参数典例 1 2017 沧州模拟 若函数f x x3 2cx2 x有极值点 则实数c的取值范围为 解析 答案 解析f x 3x2 4cx 1 由f x 0有两个不同的根 可得 4c 2 12 0 解析 答案 几何画板展示 由f x 0有2个不相等的实根 函数极值的两类热点问题 1 求函数f x 极值的一般解题步骤 确定函数的定义域 求导数f x 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 2 根据函数极值情况求参数的两个要领 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组 利用待定系数法求解 验证 求解后验证根的合理性 跟踪训练 1 函数f x x2 1 2 2的极值点是a x 1b x 1c x 1或 1或0d x 0 解析 答案 解析 f x x4 2x2 3 由f x 4x3 4x 4x x 1 x 1 0 得x 0或x 1或x 1 又当x0 当01时 f x 0 x 0 1 1都是f x 的极值点 解析 答案 解得1 a 2 故选c 题型二用导数求函数的最值 解答 师生共研 解答 令f x 0 得1 x e 求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 跟踪训练设函数f x x3 2x 5 若对任意的x 1 2 都有f x a 则实数a的取值范围是 解析 答案 解析由题意知 f x 3x2 x 2 令f x 0 得3x2 x 2 0 题型三函数极值和最值的综合问题 师生共研 解答 典例 2018 珠海调研 已知函数f x a 0 的导函数y f x 的两个零点为 3和0 1 求f x 的单调区间 令g x ax2 2a b x b c 因为ex 0 所以y f x 的零点就是g x ax2 2a b x b c的零点且f x 与g x 符号相同 又因为a 0 所以当 30 即f x 0 当x0时 g x 0 即f x 0 所以f x 的递增区间是 3 0 递减区间是 3 0 解答 2 若f x 的极小值为 e3 求f x 在区间 5 上的最大值 解由 1 知 x 3是f x 的极小值点 解得a 1 b 5 c 5 因为f x 的递增区间是 3 0 递减区间是 3 0 所以f 0 5为函数f x 的极大值 故f x 在区间 5 上的最大值取f 5 和f 0 中的最大者 所以函数f x 在区间 5 上的最大值是5e5 1 求极值 最值时 要求步骤规范 含参数时 要讨论参数的大小 2 求函数在无穷区间 或开区间 上的最值 不仅要研究其极值情况 还要研究其单调性 并通过单调性和极值情况 画出函数的大致图像 然后借助图像观察得到函数的最值 跟踪训练若函数f x x3 x2 在区间 a a 5 上存在最小值 则实数a的取值范围是a 5 0 b 5 0 c 3 0 d 3 0 解析 答案 几何画板展示 解析由题意 得f x x2 2x x x 2 故f x 在 2 0 上是增加的 在 2 0 上是减少的 作出其图像如图所示 x 0或x 3 则结合图像可知 典例 12分 已知函数f x lnx ax a r 1 求函数f x 的单调区间 2 当a 0时 求函数f x 在 1 2 上的最小值 利用导数求函数的最值 答题模板 思维点拨 1 已知函数解析式求单调区间 实质上是求f x 0 f x 0的解区间 并注意定义域 2 先研究f x 在 1 2 上的单调性 再确定最值是端点值还是极值 3 两小问中 由于解析式中含有参数a 要对参数a进行分类讨论 规范解答 答题模板 思维点拨 几何画板展示 规范解答 综上可知 当a 0时 函数f x 的递增区间为 0 所以f x 的最小值是f 2 ln2 2a 6分 所以f x 的最小值是f 1 a 7分 当ln2 a 1时 最小值为f 2 ln2 2a 11分 综上可知 当0 a ln2时 函数f x 的最小值是f 1 a 当a ln2时 函数f x 的最小值是f 2 ln2 2a 12分 答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步 求导数 求函数f x 的导数f x 第二步 求极值 求f x 在给定区间上的单调性和极值 第三步 求端点值 求f x 在给定区间上的端点值 第四步 求最值 将f x 的各极值与f x 的端点值进行比较 确定f x 的最大值与最小值 第五步 反思 反思回顾 查看关键点 易错点和解题规范 课时作业 1 下列函数中 既是奇函数又存在极值的是a y x3b y ln x c y xe xd y x 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题可知 b c选项中的函数不是奇函数 a选项中 函数y x3在r上是增加的 无极值 d选项中的函数既为奇函数又存在极值 解析 答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析f x x2 4 x 2 x 2 f x 在 2 上是增加的 在 2 2 上是减少的 在 2 上是增加的 解析 3 2018 南昌调研 已知e为自然对数的底数 设函数f x ex 1 x 1 k k 1 2 则a 当k 1时 f x 在x 1处取得极小值b 当k 1时 f x 在x 1处取得极大值c 当k 2时 f x 在x 1处取得极小值d 当k 2时 f x 在x 1处取得极大值 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 解析当k 1时 f x ex x 1 f 1 0 x 1不是f x 的极值点 当k 2时 f x x 1 xex ex 2 显然f 1 0 且在x 1附近的左侧f x 1时 f x 0 f x 在x 1处取得极小值 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 则f 2 等于a 11或18b 11c 18d 17或18 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 f 1 10 且f 1 0 又f x 3x2 2ax b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f x x3 4x2 11x 16 f 2 18 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析f x x2 2 b x 2b x b x 2 函数f x 在区间 3 1 上不是单调函数 30 得x2 由f x 0 得b x 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2017 肇庆模拟 已知函数f x x3 ax2 3x 9 若x 3是函数f x 的一个极值点 则实数a 5 解析f x 3x2 2ax 3 由题意知 3是方程f x 0的根 所以3 3 2 2a 3 3 0 解得a 5 经检验 当a 5时 f x 在x 3处取得极值 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 函数f x x3 3a2x a a 0 的极大值是正数 极小值是负数 则a的取值范围是 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析f x 3x2 3a2 3 x a x a 由f x 0得x a 当 aa或x0 函数是增加的 f x 的极大值为f a 极小值为f a f a a3 3a3 a 0且f a a3 3a3 a 0 9 2018 长沙调研 已知y f x 是奇函数 当x 0 2 时 f x lnx ax当x 2 0 时 f x 的最小值为1 则a 解析 解析由题意知 当x 0 2 时 f x 的最大值为 1 答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 已知函数f x x3 ax2 4在x 2处取得极值 若m 1 1 则f m 的最小值为 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 答案 解析f x 3x2 2ax 由f x 在x 2处取得极值知f 2 0 即 3 4 2a 2 0 故a 3 由此可得f x x3 3x2 4 f x 3x2 6x 由此可得f x 在 1 0 上是减少的 在 0 1 上是增加的 当m 1 1 时 f m min f 0 4 11 2017 北京 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解因为f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 所以f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解设h x ex cosx sinx 1 则h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 2018 武汉质检 已知函数f x 1 求f x 在区间 1 上的极小值和极大值点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解当x 1时 f x 3x2 2x x 3x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故当x 0时 函数f x 取得极小值f 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 求f x 在 1 e e为自然对数的底数 上的最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解 当 1 x 1时 由 1 知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f x 在 1 1 上的最大值为2 当1 x e时 f x alnx 当a 0时 f x 0 当a 0时 f x 在 1 e 上是增加的 则f x 在 1 e 上的最大值为f e a 故当a 2时 f x 在 1 e 上的最大值为a 当a 2时 f x 在 1 e 上的最大值为2 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 函数f x x3 3x 1 若对于区间 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 则实数t的最小值是a 20b 18c 3d 0 解析因为f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 可知 1 1为函数的极值点 又f 3 19 f 1 1 f 1 3 f 2 1 所以在区间 3 2 上 f x max 1 f x min 19 由题设知在区间 3 2 上 f x max f x min t 从而t 20 所以t的最小值是20 解析 答案 14 2018 贵州质检 设直线x t与函数h x x2 g x lnx的图像分别交于点m n 则当 mn 最小时 t的值为 解析由已知条件可得 mn t2 lnt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 若函数f x mlnx m 1 x存在最大值m 且m 0 则实数m的取值范围是 拓展冲刺练 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当m 0或m 1时 f x 在 0 上单调 此时函数f x 无最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 2018届中原名校质检 已知函数f x xlnx x2 a