频率估计概率

昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 0 25 3 用频率估计概率用频率估计概率 教学目标教学目标 1 知道通过大量重复试验 可以用频率估计概率 2 会根据问题的特点 用统计来估计事件发生的概率 培养分析问题 解决问题的能力 3 让学生经历硬币实验和投图钉实验 对数据进行收集 整理 描述 和分析 通过 猜想试验 收集数据 分析结果 的探索过程 体验频 率的随机性与规律性 丰富对随机现象的体验 了解用频率估计概率的合理 性和必要性 培养随机观念 4 通过对问题的分析 理解用频率来估计概率的方法 渗透转化和估 算的思想方法 5 在合作探究学习过程中 激发学生学习的好奇心与求知欲 体验数 学的价值与学习的乐趣 通过概率意义教学 渗透辩证思想教育 教学重点教学重点 对实验数据进行收集 整理 描述和分析 通过对事件发生的频率的分 析来估计事件发生的概率 教学难点教学难点 1 用频率估计概率方法的合理性 2 对大量重复试验得到频率的稳定值的分析 课时安排课时安排 2 课时 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 1 第第 1 课时课时 教学内容教学内容 25 3 用频率估计概率 1 教学目标教学目标 1 知道通过大量重复试验 可以用频率估计概率 2 让学生经历硬币实验和投图钉实验 对数据进行收集 整理 描述 和分析 通过 猜想试验 收集数据 分析结果 的探索过程 体验频 率的随机性与规律性 丰富对随机现象的体验 了解用频率估计概率的合理 性和必要性 培养随机观念 3 在合作探究学习过程中 激发学生学习的好奇心与求知欲 体验数 学的价值与学习的乐趣 通过概率意义教学 渗透辩证思想教育 教学重点教学重点 对实验数据进行收集 整理 描述和分析 教学难点教学难点 用频率估计概率方法的合理性 教学过程教学过程 一 导入新课一 导入新课 问题 周末市体育场有一场精彩的篮球比赛 老师手中只有一张球票 小强与小明都是班里的篮球迷 两人都想去 我很为难 真不知该把球给谁 请大家帮我想个办法来决定把球票给谁 生 抓阄 抽签 猜拳 投硬币 教师对同学的较好想法予以肯定 学生肯定有许多较好的想法 在众 多方法中推举出大家较认可的方法 如抓阄 投硬币 追问 为什么要用抓阄 投硬币的方法呢 学生讨论 这样做公平 能保证小强与小明得到球票的可能性一样大 过渡 抛掷一枚质地均匀的硬币时 正面向上 和 反面向上 发生 的可能性相等 这两个随机事件发生的概率都是 0 5 这是否意味着抛掷一 枚硬币 100 次时 就会有 50 次 正面向上 和 50 次 反面向上 呢 二 新课教学二 新课教学 1 试验 把全班同学分成 10 组 每组同学抛掷一枚硬币 50 次 整理 同学们获得的试验数据 并完成下 抛掷次数 n5 0 10 0 15 0 20 0 25 0 30 0 35040045 0 50 0 正面向上 的 频数 m 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 2 正面向上 的 频率 n m 全班学生 3 人一组 进行实验 第 1 组的数据填在第 1 列 第 1 2 组 的数据之和填在第 2 列 10 个组的数据之和填在第 10 列 如果在抛掷硬币 n 次时 出现 m 次 正面向上 则称比值为 正面 n m 向上 的频率 教师在学生填写后 根据上表的数据 在下图中标注出对应的点 问题 1 频率和概率有什么不同 问题 2 如果重复实验次数增多 结果会怎样 问题 3 随着重复实验次数的增加 正面向上 的频率有什么规律 教师引导学生思考这 3 个问题 理解用频率估算概率的合理性和必要性 鼓励学生探索数据中隐藏的规律 提高学生的统计意识 2 历史上的抛掷硬币的试验 历史上 有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验 其中一些试验结果 见下表 实验 者 抛掷次数 n 正面向上 的次 数 m 正面向上 的频 率 n m 棣莫 弗 2 0481 0610 518 布丰4 0402 0480 506 9 费勒10 0004 9790 497 9 皮尔 逊 12 0006 0190 501 6 皮尔24 00012 0120 500 5 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 3 逊 思考 随着抛掷次数的增加 正面向上 的频率的变化趋势是什么 可以发现 在重复抛掷一枚硬币时 正面向上 的频率在 0 5 附近摆 动 一般地 随着抛掷次数的增加 频率呈现出一定的稳定性 在 0 5 附近 摆动的幅度会越来越小 这时 我们称 正面向上 的频率稳定于 0 5 它 与前面用列举法得出的 正面向上 的概率是同一个数值 当 正面向上 的频率稳定于 0 5 时 反面向上 的频率也稳定于 0 5 总结 实际上 从长期实践中 人们观察到 对一般的随机事件 在做 大量重复试验时 随着试验次数的增加 一个事件出现的频率 总在一个固 定数的附近摆动 显示出一定的稳定性 因此 我们可以通过大量的重复试 验 用一个随机事件发生的频率去估计它的概率 问题 1 你怎样理解 固定数 问题 2 正面向上 的概率是 0 5 连续掷 2 次 结果一定是 正面向 上 和 反面向上 各 1 次吗 教师让学生思考 分析 通过问题 深化理解 固定数 就是 概率 概率是 0 5 并不能保证掷 2n 次硬币一定恰好 有 n 次 正面向上 只是当 n 越来越大时 正面向上的频率会越来越稳定 于 0 5 可见 概率是针对大量重复试验而言的 概率具有稳定性 三 巩固练习三 巩固练习 教材第 144 页练习 1 2 四 课堂小结四 课堂小结 今天学习了什么 有什么收获 五 布置作业五 布置作业 习题 25 3 第 1 3 题 第第 2 课时课时 教学内容教学内容 25 3 用频率估计概率 2 教学目标教学目标 1 学会根据问题的特点 用统计来估计事件发生的概率 培养分析问 题 解决问题的能力 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 4 2 通过对问题的分析 理解用频率来估计概率的方法 渗透转化和估 算的思想方法 3 通过对实际问题的分析 培养使用数学的良好意识 激发学习兴趣 体验数学的应用价值 教学重点教学重点 通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率 教学难点教学难点 大量重复试验得到频率的稳定值的分析 教学过程教学过程 一 导入新课一 导入新课 什么是频率 怎样用频率估计概率 通过复习 导入新课的教学 二 新课教学二 新课教学 问题 1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率 应采用 什么具体做法 幼树移植成活率是实际问题中的一种概率 这个问题中幼树移植 成活 与 不成活 两种结果可能性是否相等未知 所以成活率要由频率去估计 在同样条件下 对这种幼树进行大量移植 并统计成活情况 计算成活 的频率 随着移植数 n 越来越大 频率会越来越稳定 于是就可以把频率 n m 作为成活率的估计值 教师引导学生补全教材第 146 页统计表中的空缺 然后完成表下的填 空 学生计算 填写 然后分析 发现 随着移植数的增加 幼树移植成活 的频率越来越稳定 当移植总数为 14 000 时 成活的频率为 0 902 于是可 以估计幼树移植成活的概率为 0 9 问题 2 某水果公司以 2 元 kg 的成本价新进 10 000 kg 柑橘 如果公司 希望这些柑橘能够获得利润 5 000 元 那么在出售柑橘 去掉损坏的柑橘 时 每千克大约定价为多少元比较合适 销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘 进行 柑橘损坏率 统计 并把获得的数据记录在教材第 147 页表中 请你帮忙完成此表 教师引导学生计算 填表 从表中可以看出 随着柑橘质量的增加 柑 橘损坏的频率越来越稳定 柑橘总质量为 500 kg 时的损坏频率为 0 103 于 是可以估计柑橘损坏的概率为 0 1 结果保留小数点后一位 由此可知 柑 橘完好的概率为 0 9 根据估计的概率可以知道 在 10 000 kg 柑橘中完好柑橘的质量为 10 000 0 9 9 000 kg 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 5 完好柑橘的实际成本为 2 22 元 kg 9 0 2 9000 100002 设每千克柑橘的售价为 x 元 则 x 2 22 9 000 5 000 解得 x 2 22 元 因此 出售柑橘时 每千克定价大约 2 8 元可获利润 5 000 元 三 巩固练习三 巩固练习 1 某射击运动员在同一条件下练习射击 结果如下表所示 射击次数 n102050100200500 击中靶心次数 m 8494492178452 击中靶心频率 m n 1 计算表中击中靶心的各个频率并填入表中 2 这个运动员射击一次 击中靶心的概率约是 学生独立完成 小组内订正 2 教材第 147 页练习 四 课堂小结四 课堂小结 今天你学习了什么 有什么收获 五 布置作业五 布置作业 习题 25 3 第 4 5 题 教案教案 B 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 6 第第 1 课时课时 教学内容教学内容 25 3 用频率估计概率 1 教学目标教学目标 1 知道通过大量重复试验 可以用频率估计概率 2 让学生经历硬币实验和投图钉实验 对数据进行收集 整理 描述 和分析 通过 猜想试验 收集数据 分析结果 的探索过程 体验频 率的随机性与规律性 丰富对随机现象的体验 了解用频率估计概率的合理 性和必要性 培养随机观念 3 在合作探究学习过程中 激发学生学习的好奇心与求知欲 体验数 学的价值与学习的乐趣 通过概率意义教学 渗透辩证思想教育 教学重点教学重点 对实验数据进行收集 整理 描述和分析 教学难点教学难点 用频率估计概率方法的合理性 教学过程教学过程 一 导入新课一 导入新课 用列举法可以求一些事件的概率 实际上 我们还可以利用多次重复试 验 通过统计试验结果估计概率 二 新课教学二 新课教学 抛掷一枚质地均匀的硬币时 正面向上 和 反面向上 发生的可能 性相等 这两个随机事件发生的概率都是 0 5 这是否意味着抛掷一枚硬币 100 次时 就会有 50 次 正面向上 和 50 次 反面向上 呢 我们可以 用以下实验进行检验 1 教师布置试验任务 1 明确规则 把全班分成 10 组 每组中有一名学生投掷硬币 另一 名同学作记录 其余同学观察试验必须在同样条件下进行 2 明确任务 每组掷币 50 次 以实事求是的态度 认真统计 正面 朝上 的频数及 正面朝上 的频率 整理试验的数据 并记录下来 2 教师巡视学生分组试验情况 注意 1 观察学生在探究活动中 是否积极参与试验活动 是否愿 意交流等 关注学生是否积极思考 勇于克服困难 2 要求真实记录试 验情况 对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控 3 各组汇报实验结果 由于试验次数较少 所以有可能有些组试验获得的 正面朝上 的频率 与先前的猜想有出入 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 7 提出问题 是不是我们的猜想出了问题 引导学生分析讨论产生差异的 原因 在学生充分讨论的基础上 启发学生分析讨论产生差异的原因 使学生 认识到每次随机试验的频率具有不确定性 同时相信随机事件发生的频率也 有规律性 引导他们小组合作 进一步探究 解决的办法是增加试验的次数 鉴于课堂时间有限 引导学生进行全班 交流合作 4 全班交流 把各组测得数据一一汇报 教师将各组数据记录在黑板上 全班同学对 数据进行累计 按照教材第 142 页的要求填好表 25 3 并根据所整理的数 据 在图 25 3 1 上标注出对应的点 完成统计图 5 想一想 1 观察统计表与统计图 你发现 正面向上 的频率有什么规律 注意学生的语言表述情况 意思正确予以肯定与鼓励 正面朝上 的 频率在 0 5 上下波动 2 随着抛掷次数增加 正面向上 的频率变化趋势有何规律 在学生讨论的基础上 教师帮助归纳 使学生认识到每次试验中随机事 件发生的频率具有不确定性 同时发现随机事件发生的频率也有规律性 在 试验次数较少时 正面朝上 的频率起伏较大 而随着试验次数的逐渐增 加 一般地 频率会趋于稳定 正面朝上 的频率越来越接近 0 5 这也与 我们刚开始的猜想是一致的 我们就用 0 5 这个常数表示 正面向上 发生的 可能性的大小 说明 注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难 通过以上 实践探究活动 让学生真实地感受到 清楚地观察到试验所体现的规律 即 大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小 概率 鼓励 学生在学习中要积极合作交流 思考探究 学会倾听别人意见 勇于表达自 己的见解 为了给学生提供大量的 快捷的试验数据 利用计算机模拟掷硬币试验 的课件 丰富学生的体验 提高课堂教学效率 使他们能直观地 便捷地观 察到试验结果的规律性 大量重复试验中 事件发生的频率逐渐稳定到某 个常数附近 其实 历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验 让学生阅读历史 上数学家做掷币试验的数据统计 教材表 25 4 通过亲自动手实践 电脑辅助演示 历史材料展示 让学生真实地感受 到 清楚地观察到试验所体现的规律 大量重复试验中 事件发生的频率逐 渐稳定到某个常数附近 即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可 能性的大小 概率 同时 又感受到无论试验次数多么大 也无法保证事 件发生的频率充分地接近事件发生的概率 6 下面我们能否研究一下 反面向上 的频率情况 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 8 学生自然可依照 正面朝上 的研究方法 很容易总结得出 反面向 上 的频率也相应稳定到 0 5 教师归纳 1 由以上试验 我们验证了开始的猜想 即抛掷一枚质 地均匀的硬币时 正面向上 与 反面向上 的可能性相等 各占一半 也就是说 用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样 2 在实际生活还有许多这样的例子 如在足球比赛中 裁判用掷硬 币的办法来决定双方的比赛场地等等 说明 这个环节 让学生亲身经历了猜想试验 收集数据 分析结 果的探索过程 在真实数据的分析中形成数学思考 在讨论交流中达成知识 的主动建构 深化对概率的理解 三 巩固练习三 巩固练习 教材第 144 页练习 1 2 四 课堂小结四 课堂小结 今天学习了什么 有什么收获 五 布置作业五 布置作业 习题 25 3 第 1 3 题 第第 2 课时课时 教学内容教学内容 25 3 用频率估计概率 2 教学目标教学目标 1 学会根据问题的特点 用统计来估计事件发生概率 培养分析 解 决问题的能力 2 通过对问题的分析 理解用频率来估计概率的方法 渗透转化和估 算的思想方法 3 通过对实际问题的分析 培养使用数学的良好意识 激发学习兴趣 体验数学的应用价值 教学重点教学重点 通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率 教学难点教学难点 大量重复试验得到频率的稳定值的分析 教学过程教学过程 一 导入新课一 导入新课 国家在明年将继续实施山川秀美工程 各地将大力开展植树造林活 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 9 动 为此林业部要考查幼树在一定条件下的移植成活率 应采用什么具体做 法 二 新课教学二 新课教学 1 教师引导学生阅读教材第 142 143 页问题 1 完成表 25 5 思考 在实验时为了使实验结果更接近现实情况 需要注意些什么问题 2 同桌交流 对照结果 3 学生发表见解 相互评判 4 小组讨论 在进行移植试验时 移植的总数是越多越好还是越少越好 教师点评 实验时要避免走两个极端即既不能为了追求精确的概率而把 实验的次数无限的增多 也不能为了图简单而使实验次数很少 2 教师引导学生阅读教材第 143 144 页问题 2 完成表 25 6 1 同桌合作完成表 25 6 2 根据表中数据填空 这批柑橘损坏的概率是 则完好柑橘的概率是 如果某 水果公司以 1 元 千克的成本进了 20000 千克柑橘 则这批柑橘中完好柑橘 的质量是 若公司希望这些柑橘能够获利 9000 元 那么售价应定 为 元 千克比较合适 6 小组长检查完成情况 组织本组成员交流 力争人人弄懂 7 讨论 如果你是柑橘销售商 在整个销售过程中应注意些什么 8 学生发表见解 相互评判 9 教师点评 三 巩固练习三 巩固练习 1 经过大量试验统计 香樟树在我市的移植的成活率未 95 1 吉河镇在新村建设中栽了 4000 株香樟树 则成活的香樟树大约是 株 2 双龙镇在新村建设中要栽活 2850 株香樟树 需购幼树 株 2 一个口袋中放有 20 个球 其中红球 6 个 白球和黑球个若干个 每 个球出了颜色外没有任何区别 1 小王通过大量反复实验 每次取一个球 放回搅匀后再取 发现 取出黑球的概率稳定在四分之一左右 请你估计袋中黑球的个数 2 若小王取出的第一个是白球 将它放在桌上 从袋中余下的球中 在再任意取一个球 取出红球的概率是多少 教师指导学生完成 然后同桌互查 四 课堂小结四 课堂小结 本节课你学到了什么 有什么收获 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 10 五 布置作业五 布置作业 习题 25 3 第 4 5 题 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 11 单元测试题单元测试题 一 选择题 一 选择题 1 下列事件中 必然事件是 A 中秋节晚上能看到月亮B 今天考试小明能得满分 C 早晨的太阳从东方升起D 明天气温会升高 2 随机掷两枚硬币 落地后全部正面朝上的概率是 A 1B C D 1 2 1 3 1 4 3 下列事件中是随机事件有 个 1 在标准大气压下水在 0 时开始结成冰 2 掷一枚六个面分别标有 l 6 的数字的均匀骰子 骰子停止转动后 偶数点朝上 3 从一副扑克牌中任意抽出一张牌 花色是红桃 4 打开电视机 正在转播足球比赛 5 小麦的亩产量为 1000 公斤 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球 这 a 个球中红 球只有 3 个 每次将球搅拌均匀后 任意摸出一个球记下颜色再放回暗 箱 通过大量重复摸球实验后发现 摸到红球的频率稳定在 25 那么可 以推算出 a 大约是 A 12 B 9 C 4 D 3 5 随机掷一枚质地均匀的正方体骰子 骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数 则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为 A B C D 1 2 1 3 1 4 1 5 6 小刚与小亮一起玩一种转盘游戏 如图是两个完全相同的转盘 每 个转盘分成面积相等的三个区域 分别用 1 2 3 表示 固定指针 同时转动两个转盘 任其自由停止 若两指针指的数字和为奇数 则小刚获 胜 否则 小亮获胜 则在该游戏中小刚获胜的概率是 A B C D 2 1 9 4 9 5 3 2 7 在李咏主持的 幸运 52 栏目中 曾有一种竞猜游戏 游戏规则是 在 20 个商标牌中 有 5 个商标牌的背面注明了一定的奖金 其余商标牌的 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 12 背面是一张 哭脸 若翻到 哭脸 就不获奖 参与这个游戏的观众有三次 翻牌的机会 且翻过的牌不能再翻 有一位观众已翻牌两次 一次获奖 一 次不获奖 那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是 A B C D 1 5 2 9 1 4 5 18 8 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针 则针扎到其 内切圆 阴影 区域的概率为 A B 2 1 6 3 C D 9 3 33 9 将三粒均匀的分别标有 1 2 3 4 5 6 的正六面体骰子同时掷出 出现的数字分别为 a b c 则 a b c 正好是直角三角形三边长的概率 是 A B C D 1 216 1 72 1 36 1 12 10 口袋中装有一红二黄二蓝共 5 个小球 它们大小 形状等完全一样 每次摸出两个小球恰为一黄一蓝的机会为 A B C D 4 5 3 5 1 5 2 5 二 填空题二 填空题 1 天有不测风云 这句话是说 世界上有很大事件具有偶然性 人们 不能 这些事情是否会发生 2 抛出的蓝球会下落 这个事件是 事件 填 确定 或 不确定 3 10 张卡片分别写有 0 至 9 十个数字 将它们放入纸箱后 任意摸出 一张 则 P 摸到数字 2 P 摸到奇数 4 一只布袋中有三种小球 除颜色外没有任何区别 分别是 2 个红球 3 个黄球和 5 个蓝球 每一次只摸出一只小球 观察后放回搅匀 在连续 9 次摸出的都是蓝球的情况下 第 10 次摸出黄球的概率是 5 掷两枚普通硬币 出现两个正面的概率是 6 小华与父母一同从南京乘火车到苏州乐园游玩 火车车厢里每排有 左 中 右三个座位 小华一家三口随意坐某排的三个座位 则小华恰好坐 在父母中间的概率是 7 小明和小颖按如下规则做游戏 桌面上放有 5 支铅笔 每次取 1 支 或 2 支 由小明先取 谁取到最后剩下的一支铅笔的人获胜 如果小明获胜 的概率为 1 那么小明第一次应取走 支 昂思多初级中学九年级数学 上 教案昂思多初级中学九年级数学 上 教案 13 8 一副没有大小王的扑克 共 52 张 抽出一张是红桃的概率为 9 小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆 他们买到的火车 票是同一排相邻的三个座位 那么小明恰好坐在父母中间的概率是 10 如图所示 小李和小陈做转陀螺游戏 他们同时分别转动一个陀螺 当两个陀螺都停下来时 与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是 三 解答题三 解答题 1 一个桶里有 60 个弹珠 一些是红色的 一些是蓝色的 一些是白 色的 拿出红色弹珠的概率是 35 拿出蓝色