☆经典分段函数专题

经典分段函数专题高考真题类型一：与周期有关类型二：与单调性有关类型三：奇偶性有关类型四：与零点和交点问题有关类型五;与求导和函数性质有关类型六：数形结合高考真题201011、已知函数,则满足不等式的x的范围是_。【解析】考查分段函数的单调性。201111、 （分类方程求解）已知实数，函数，若，则a的值为_解析：， 201210（方程组求解）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 【解析】因为，所以，求得.由，得，解得.联立，解得所以.201311（分区间二次不等式求解）已知是定义在上的奇函数。当时，则不等式 的解集用区间表示为 【答案】(5，0) (5，)【解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x0的图像。不等式，表示函数y的图像在yx的上方，观察图像易得：解集为(5，0) (5，)。201413. （周期函数+数形结合求范围）已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有201513.（绝对值分类讨论+数形结合求根个数）已知函数，则方程实根的个数为 利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢.201611.（方程求解）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上 其中，若，则的值是 【答案】 ；【解析】 由题意得，由可得，则，则2017年14设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 【答案】8【解析】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等类型一：与周期有关1. （拟周期分段函数）设函数则方程的根的个数有 个。62.已知函数f(x)g(x)kx1，若方程f(x)g(x)0有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_.画出函数f(x)的大致图象如下：则考虑临界情况，可知当函数g(x)kx1的图象过A(1，e)，B(2，e)时直线斜率k1e1，k2，并且当k1时，直线yx1与曲线yex相切于点(0,1)，则得到当函数f(x)与g(x)图象有两个交点时，实数k的取值范围是(，1)(1，e1. 类型二：与单调性有关1.若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是 2.已知函数f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是_解析由题意，得解得00.02，又由x1，得x，得x，所以x4.故至少要过4小时后才能开车.4.5.类型三：奇偶性有关1.已知奇函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且满足，则不等式的解集是 .类型四：与零点和交点问题有关1.已知函数，若函数的图象与直线有三个不同的公共点，则实数的取值集合为 变为零点问题处理最合理2. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_3. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 数形结合，先求出的两个可能取值，再看其与两个函数图像的交点个数。4. 已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是，）解：方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，y=，设切点为（x0，y0），k=，切线方程为yy0=（xx0），而切线过原点，y0=1，x0=e，k=，直线l1的斜率为，又直线l2与y=x+1平行，直线l2的斜率为，实数a的取值范围是，）故答案为：，）6.已知函数f(x)若abc且fff，则(ab1)c的取值范围是_.作出函数f(x)的图象，如图所示.abc时，f(a)f(b)f(c)，log4alog4b，即log4alog4b0，则log4ab0，a1b4c6，且ab1，1624c2c2时，g(x)x1，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)3x，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x50，其根为x或x(舍去)；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x3x，无解；当xa)，x1(xa)，x2(xa).再借助数轴，可得1af(a)，则实数a的取值范围是_.方法一由题意作出yf(x)的图象如图.显然当a1或1af(a).方法二对a分类讨论：当a0时，log2a，a1.当alog2(a)，0a1，1a0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_.答案解析由yloga(x1)1在0，)上递减，得0a2，即a时，由x2(4a3)x3a2x(其中x0)，得x2(4a2)x3a20(其中x0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_.答案(3，)解析如图，当xm时，f(x)|x|；当xm时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)b有三个不同的根，则m22mm4m0，m23m0，解得m3.4已知定义域为R的函数f(x)若关于x的方程f2(x)bf(x)c0有3个不同的实根x1，x2，x3，则xxx_.答案5 怪异题解析作出f(x)的图象，如图所示.由图象知，只有当f(x)1时有3个不同的实根；关于x的方程f2(x)bf(x)c0有3个不同的实根x1，x2，x3，必有f(x)1，从而x11，x22，x30，故可得xxx5.5.已知定义在R上的函数f(x)满足：图象关于(1,0)点对称；f(1x)f(1x)；当x1,1时，f(x)则函数yf(x)()|x| 在区间3,3上的零点的个数为_.解析因为f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f(x)以及g(x)()|x|在3,3上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数yf(x)()|x|在区间3,3上的零点的个数为5.6.（考验作图）已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_.答案(1,2)解析分别作出函数yf(x)与ya|x|的图象，由图知，当a0.当x0，a2时，函数yf(x)与ya|x|有一个交点；当x0,0a2时，函数yf(x)与ya|x|有两个交点；当x