(奥校)正余弦定理及解三角形.doc

正余弦定理和解三角形一、知识要点1、引理 三角形面积公式：2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即。3、正弦定理有如下的变形公式：（1）；（2）；（3）4、余弦定理：在ABC中，有c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA 变形公式：5、在三角形中，我们把三条边（a,b,c）和三个内角（A，B，C）称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素（至少一个是边），便可以求出其余的三个元素（可能有两解、一解、无解），这个过程叫做解三角形。正余弦定理的主要作用是解斜三角形。6、三角形中的各种关系设ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C1角与角关系：A+B+C = ，2边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b3边与角关系： 1）正弦定理 2）余弦定理及它们的变形形式4三角形内角定理的变形由ABC，知A（BC）可得出：sinAsin（BC），cosAcos（BC）而有：，7、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C二、典型例题例1、在ABC中，已知，B=45 求A、C及c.变式1、 变式2、 在例2、在中，AB=2，AC=1，AD为BC边上的中线，求BC。变式3、已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边AC上的中线BD的长为 。变式4、在ABC中，已知角B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB例3、在ABC中已知a2bcosC，求证：ABC为等腰三角形变式5、在中，若下列等式成立，分别判断的形状：（1）acosA=bcosB （2）sinC=2cosAsinB （3）例4、在ABC中，AB5，AC3，D为BC中点，且AD4，求BC边长。变式6、已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积.例5、如图，平面上有四个点A、B、P、Q，A、B为定点，且AB=，P、Q为动点满足关系AP=PQ=QB=1，又APB和PQB的面积分别为S、T。（1）求S2+T2的取值范围；（2）当S2+T2取得最大值时，判断APB的形状。AQPBST变式7、如图所示，已知半圆的直径AB2，点C在AB的延长线上，BC1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值。OP东北例6、 在某海滨城市附近有一台风，据监测，当台风位于城市（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动。台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？并会持续多长时间？变式8、据气象台预报，距S岛300 的A处有一台风中心形成，并以每小时30的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270 以内的地区将受到台风的影响。问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.例7、化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米）.DCBA1.2 m2 m1 m三、巩固练习（A基础夯实）1、中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 （ ）2、已知的面积为，则角C的度数为（ ）A、1350 B、1200 C、600 D、450 3、在中，若，则必定是（ ） A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形4、在ABC中，AC=，A=45，C=75，则BC的长为 .5、已知锐角三角形的边长为1、3、a ，则a的取值范围是 .6、在ABC中，已知A=1200,b=3,c=5,则的值为 .7、在中，a，b，c分别是的对边长，已知a，b，c成等比数列，且，求的大小及的值。8、在ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.证明：.（B能力提高）9、如图，在600的的内部有一点P，P到边AX的距离是PC=2，P到边AY的距离是PB=11，求点P到顶点A的距离。10、在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.，问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？参考答案：例1、解一：由正弦定理得：B=4590 即ba A=60或120当A=60时C=75 当A=120时C=15 解二：设c=x由余弦定理 将已知条件代入，整理： 解之：当时， 从而A=60 ，C=75当时同理可求得：A=120 ，C=15。变式1、解：，变式2、解：例2、解：设E为AB的中点，连接DE，AE=1，DE=，设AD=，则，解出，从而BD=，所以BC=。评述：解三角形时尽量使已知条件转化集中在同一三角形中；已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理求第三边长。变式3、解：延长BD到E，使DE=BD，可知CE=1，求出BE=，从而BD=。变式4、解：在ADC中，cosC又0C180，sinC在ABC中，AB评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，注意正、余弦定理的综合运用例3、证法一：欲证ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得， 即2cosCsinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinCsinBcosCcosBsinC0即sin（BC）0，BC（）B、C是三角形的内角，BC，即三角形为等腰三角形证法二：cosC化简后得b2c2bc ABC是等腰三角形证法三：根据射影定理，有abcosCccosB，又a2bcosC2bcosCbcosCccosBbcosCccosB，即又即tanBtanCB、C在ABC中，BCABC为等腰三角形评述：化简或证明三角恒等式，利用正弦定理、余弦定理化角为边或化边为角，为解题提供了不同的思路。变式5、（1）等腰三角形或直角三角形；（2）等腰三角形；（3）等腰三角形或直角三角形。例4、分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为后，建立关于的方程。而正弦定理涉及到两个角，故不可用。此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用。因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程。解：设BC边为，则由D为BC中点，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180cosADBcos（180ADC）cosADC解得，2, 所以，BC边长为2。评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型。变式6、解：如图，连结BD，则四边形面积SSABDSCBDABADsinABCCDsinCAC180，sinAsinC，S（ABADBCCD）sinA16sinA由余弦定理：在ABD中，BD22242224cosA2016cosA在CDB中，BD25248cosC，2016cosA5248cosC又cosCcosA，cosA，A120，S16sinA8.例5、AQPBST解（1）设，因为PB2=，PB2=，所以。若则无意义，所以。而 =，所以当时，S2+T2有最大值。当时，S2+T2 。所以S2+T2取值范围是。（2）此时，在APB中由余弦定理得PB=，故APB为等腰三角形。变式7、分析：要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与POB大小变化之间的联系，自然引入POB作为自变量建立函数关系。四边形OPDC可以分成OPC与等边PDC，OPC可用OPOCsin表示，而等边PDC的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决。解：设POB，四边形面积为，则在POC中，由余弦定理得：PC2OP2OC22OPOCcos54cosOPCPCD(54cos)2sin()当即时，max2评述：本题中余弦定理为表示PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性例7、 解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.OP东北在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.变式8、分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化S岛是否受台风影响可转化为SB27O这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过小时到达B点，则在ABS中，由余弦定理可求SB。解：设台风中心经过小时到达B点，由题意，SAB9O3O6O在SAB中，SA3OO，AB3O，SAB6O，由余弦定理得：SB2SA2AB22SAABcosSAB 3OO2（3O）223OO3Otcos6O若S岛受到台风影响，则应满足条件SB27O 即SB227O2化简整理得 21O19O解之得 55所以从现在起，经过5小时S岛开始受到影响，(5)小时后影响结束持续时间：(5)（5）2小时答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2小时。DCBA1.2 m2 m1 m例7、解：如图，设，则， ， ，当，即时，达到最大值，是锐角，最大时，也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为米.说明：欲在表盘看得清楚，人眼距表盘水平距离AD应使视角达到最大。合理利用角的关系，建立目标函数，是本题的关键。（A基础夯实）1、C；2、D；3、D；4、；5、；6、7、分析：本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。 解：（I）成等比数列 又 在中，由余弦定理得 （II）在中，由正弦定理得 ， 。8、证明：由余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，a2b2b2a22bccosA2accosB.整理得 .依正弦定理，有 ，评述：本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能.（B能力提高）9、解：因为，所以A、B、P、C四点在同一个圆O上，此圆的直径就是所求的距离PA=2R，连BC，所以，=147，由正弦定理得，得PA=14。10、解: 不妨画一个图形，将文字语言翻译为图形语言， 进而想法建立数学模型.OABvt2(1k)t4kt15设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由