东南大学电子信息工程之信号和系统第19讲.ppt

第三节线性系统的s域分析 设线性系统的微分方程为 一般情况下 n m 系数是常数的微分方程 其中响应的最高阶是此方程的阶数 此类问题 通常已知激励及起始条件 0 求响应 全响应 零输入响应 零状态响应 分析 一 求零输入 第一步 对微分方程做拉氏变换 一 求零输入响应 零输入响应 由初始储能引起 变化规律由系统微分方程的特征根 这样的分量叫自由分量 二 求零状态响应 零输入响应 零状态响应 全响应 自由分量 变化规律由系统微分方程的特征根 强迫分量 与激励变化规律一致 暂态分量 稳态分量 三全响应 例3 某连续因果LTI系统最初是松弛的 且当输入输出为 求 系统函数和它的收敛域 求系统的冲激响应 写出系统的微分方程 连续LTI系统的分析 r t 时域 优点 零输入 e t 无表达式缺点 卷积难求 频域 优点 物理概念强缺点 H jw E jw 存在 复频域 优点 直接全响应 稳定和不稳定系统缺点 E s 存在 第四节双边拉氏变换 熟练掌握双边函数的拉氏正变换及反变换双边信号作用下的线性系统响应 一双边拉氏变换 单边拉氏变换的收敛域是实部最大极点为收敛轴的右边区域 1 双边函数 右边函数 左边函数 2 左边函数的拉氏变换 收敛域 左边函数的收敛域是收敛轴的左边区域 L 1 s a 1 p a 左边函数拉氏变换1f t 反褶f 2求右边函数f 拉氏F P 3将s P代入F s F1 p 1设s p 2求F p 的反变换 3 左边函数的拉氏反变换 左边函数拉氏反变换1将s P代入F s 2右边函数F P 的f 3f 反褶f t 判断左边或右边函数 在收敛域左边的极点是右边函数 在收敛域右边的极点是左边函数 如何根据收敛域判断是左边或右边函数 解 1写成部分分式 2确定是左边或右边函数 3求左边函数的拉氏变换 哪种收敛域情况下所对应的时域波形傅立叶变换存在 解 问 哪种情况收敛域的傅立叶变换存在 双边函数的收敛域是带状区域 例3 求下面信号的原函数 分析 此信号的傅立叶变换存在 并无奇异函数 此信号绝对可积 所以其拉氏变换存在 所以f t 为左边信号 二 留数法 留数法的基本思想 是设法将复平面中的线积分问题 转化为围线积分 从而可以用复变函数中的留数定理直接求得结果 避免求积分 假设sk是F s 的一阶极点 则其留数为 假设sk是F s 的n阶极点 则其留数为 二阶极点时 F s est的极点就是F s 的极点 双边拉普拉斯变换 收敛域左侧极点 对应右边信号 收敛域右侧极点 对应左边边信号 解 两个极点 F s est的极点就是F s 的极点 2 根据约当辅助定理 当满足 1 2 est中的实部满足Re st 0t 有 或 显然 根据条件2 有 当t 0时 当t 0时 在单边LT中 我们只考虑t 0的情况 所以积分曲线应该在增加ABC 所以 这时候只要考虑积分线左半平面中的所有极点的留数 即 留数法与部分分式分解法比较 1 部分分式分解法只能解决有理函数 而留数法不受有理函数的限制 2 留数法不能解决m n的情况 部分分式分解法可以 3 留数法在数学上比部分分式分解法严密 部分分式分解法涉及的基础知识比留数法简单 三 双边信号作用下的线性系统响应 例题5 18巳知激励信号LTI因果系统冲激响应为 求系统的响应 解 按双边拉普拉斯变换有 公共收敛区 输入信号的收敛域 此系统为因果系统 所以H s 为右边信号 极点 2对应左边时间信号 极点 3 4的对应右边时间信号 若此系统 响应呢 例2 LTI系统的系统函数为H s 求激励为的零状态响应 分析 若用双边拉氏变换 无公共收敛域 傅立叶变换不一定绝对收敛 解 从信号分解的角度看系统的LT响应 如同H jw 一样 H s 可以看成对复频域的子信号est幅度和相位的影响 满足h t 2h t e 4t t C t C为常数 求 1 系统函数H s 2 e t e2t t 0时对应的响应r t 例3 某零状态因果系统 激励e t e2t t 时对应的响应为 t h t 为此系统的冲激响应 满足h t 2h t e 4t t C t C为常数 求 1 系统函数H s 2 e t e2t t 0时对应的响应r t 例3 某零状态因果系统 激励e