2018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组十二大题冲关__立体几何的综合问题试题理.DOC

重组十二大题冲关立体几何的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12016河南九校联考 (本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2，点M在PD上(1)求证：ABPC；(2)若二面角MACD的大小为45，求BM与平面PAC所成角的正弦值解(1)证明：取BC中点E，连接AE，则ADEC，ADEC，所以四边形AECD为平行四边形，故AEBC，又AEBEEC2，所以ABCACB45，故ABAC，又ABPA，ACPAA，所以AB平面PAC，(4分)故有ABPC.(6分)(2)如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，2，0)，C(2，2，0)，P(0,0,2)，D(0,2，0)(7分)设(0,2，2)(01)，易得M(0,2，22)，设平面AMC的一个法向量为n1(x，y，z)，则令y，得x，z，即n1，(9分)又平面ACD的一个法向量为n2(0,0,1)，(10分)|cosn1，n2|cos45，解得，(12分)即M(0，1)，(2，3，1)，而(2，2，0)是平面PAC的一个法向量，(13分)设直线BM与平面PAC所成的角为，则sin|cos，|.故直线BM与平面PAC所成的角的正弦值为.(15分)22016平顶山二调(本小题满分15分)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AEEBCFFACPPB12，如图1.将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连接A1B、A1P，如图2.(1)求证：A1E平面BEP；(2)求二面角BA1PE的余弦值解不妨设正三角形ABC的边长为3.(1)证明：在图1中，取BE的中点D，连接DF. AEEBCFFA12，AFAD2，而A60，ADF是正三角形又AEDE1，EFAD. 在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1EFB的平面角(4分)由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE.又BEEFE，A1E平面BEF，即A1E平面BEP.(6分)(2)建立分别以EB、EF、EA1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，F(0，0)，P(1，0)，则(0,0，1)，(2,0，1)，(1，0)，(1，0)(8分)设平面A1BP的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n1平面A1BP知，n1，n1，即令x1，得y11，z12，n1(，1,2)(10分)设平面A1PE的法向量为n2(x2，y2，z2)由n2平面A1PE知，n2，n2，即可得n2(，1,0)(12分)cosn1，n2，(14分)所以二面角BA1PE的余弦值是.(15分)32017山西联考(本小题满分20分)如图， 在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，BAC90，AA1BC，AA1AC2AB4，且BC1A1C.(1)求证：平面ABC1平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE平面ABC1.若存在，求二面角EAC1B的余弦值解(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，AA1AB，又AA1BC，ABBCB，A1A平面ABC，A1AAC.又A1AAC，A1CAC1.又BC1A1C，BC1AC1C1，(3分)A1C平面ABC1，又A1C平面A1ACC1，平面ABC1平面A1ACC1.(7分)(2)解法一：当E为B1B的中点时，连接AE，EC1，DE，如图1，取A1A的中点F，连接EF，FD，EFAB，DFAC1，又EFDFF，ABAC1A，平面EFD平面ABC1，则有DE平面ABC1.(12分)以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AA1AC2AB4，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C1(0,4,4)，C(0,4,0)，E(2,0,2)，A1(0,0,4)，由(1)知，(0,4，4)是平面ABC1的一个法向量设n(x，y，z)为平面AC1E的法向量，(0,4,4)，(2,0,2)，即令z1，则x1，y1，n(1，1,1)为平面AC1E的一个法向量(16分)设与n的夹角为，则cos，由图知二面角EAC1B为锐角，二面角EAC1B的余弦值为.(20分)解法二：当E为BB1的中点时，连接DE，如图2，设A1C交AC1于点G，连接BG，DG，BE綊DG，四边形DEBG为平行四边形，则DEBG，又DE平面ABC1，BG平面ABC1，则DE平面ABC1.(12分)求二面角EAC1B的余弦值同解法一(20分)42016江苏高考(本小题满分20分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.(1分)因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)(4分)正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)(7分)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(8分)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h.如图，连接O1B1.(10分)因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)(12分)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，(15分)从而V(363h2)26(12h2)(17分)令V0，得h2或h2(舍)当0h0，V是单调递增函数；当2h6时，V0，V是单调递减函数故h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大(20分)52016江西联考(本小题满分20分) 在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADBC2，ABC60，M是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90，得到梯形ABC1D1(如图)(1)求证：BC1AC；(2)求二面角D1AMC的余弦值解(1)证明：在等腰梯形ABCD中，ABC60，ACAB，同理AC1AB，而据题意可知：二面角CABC1为90，(2分)则平面角为CAC190，即ACAC1，(4分)又ABAC1A，AC平面ABC1，(6分)BC1AC.(8分)(2)以A为坐标原点，分别以AB、AC、AC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，M(1，0)，C(0，2，0)，D1(1,0，)，(10分)(1，0)，(1,0，)，设n(x，y，z)平面AMD1，得令x，则n(，1,1)，(13分)又有m(0,0,1)平面AMC，(16分)cosm，n，(18分)故所求二面角余弦值为.(20分)62016北京高考(本小题满分20分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，(3分)所以ABPD.又PAPD，所以PD平面PAB.(6分)(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.(8分)因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1)(10分)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2.所以n(1，2,2)(12分)又(1,1，1)，所以cosn，.(14分)所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(15分)(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1，使得.因此点M(0,1，)，(16分)(1，)因为BM平面PCD，所以要使BM平面PCD，则n0，(18分)即(1，)(1，2,2)0，解得.所以在棱PA上存在点M，使得BM平面PCD，此时.(20分)72016天津高考(本小题满分20分)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)，G(1,0,0)(2分)(1)证明：依题意，(2,0,0)，(1，1,2)设n1(x，y，z)为平面ADF的法向量，则即不防设z1，可得n1(0,2,1)，(5分)又(0,1，2)，可得n10，又直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.(7分)(2)易证，(1,1,0)为平面OEF的一个法向量(8分)依题意，(1,1,0)，(1,1,2)设n2(x，y，z)为平面CEF的法向量，则即不妨设x1，可得n2(1，1,1)(11分)因此有cos，n2，(13分)于是sin，n2.所以二面角OEFC的正弦值为.(14分)(3)由AHHF，得AHAF.因为(1，1,2)，所以，进而有H，(17分)从而，因此cos，n2.(19分)所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.(20分)82017河北五校联考(本小题满分20分)如图1所示，在四边形ABCD中，ABCD，AB2BC2CD8，CDBC，O为AB的中点将四边形OBCD沿OD折起，使平面OBCD平面ODA，如图2，点E，F分别为CD，OA的中点(1)求证：DF平面AEB；(2)线段AD上是否存在一点M，使BM与平面AEB所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：如图，取AB的中点G，连接FG，EG.又F为OA的中点，所以FGOB，又OBDE，所以FGDE.又FGOB，DEOB，所以FGDE.(3分)所以四边形EDFG为平行四边形，所以DFEG.又EG平面AEB，DF平面AEB，所以DF平面AEB.(7分)(2)依题意知平面OBCD平面ODA，OBOD，平面OBCD平面ODAOD，所以OB平面AOD，得OBOA.又AOOD，故以O为坐标原点，OD，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系(10分)易知AOOD4，DC4，可得A(0,4,