八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.4《角平分线》课件 （新版）北师大版.ppt

角平分线 一 回顾与思考 定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等 老师提示 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一 如图 oc是 aob的平分线 p是oc上任意一点 pd oa pe ob 垂足分别是d e 已知 pd pe 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 逆定理在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 如图 pd pe pd oa pe ob 垂足分别是d e 已知 点p在 aob的平分线上 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 老师提示 这个结论又是经常用来证明点在直线上 或直线经过某一点 的根据之一 二 探究新知 剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线 结论 三角形三个角的平分线相交于一点 你想证明这个命题吗 观察这三条角平分线 你发现了什么 你能证明这个命题吗 利用尺规作出三角形三个角的角平分线 结论 三角形三个角的角平分线相交于一点 老师期望 你能写出规范的证明过程 你想证明这个命题吗 你能证明这个命题吗 再观察这三条角平分线 你又发现了什么 与同伴交流 命题 三角形三个角的平分线相交于一点 基本思路 我们知道 两条直线相交只有一个交点 要想证明三条直线相交于一点 只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理 如何证三条直线交于一点 如图 设 abc的角平分线bm cn相交于点p 过点p分别作bc ac ab的垂线 垂足分别e f d bm是 abc的角平分线 点p在bm上 pd pe 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 同理 pe pf pd pf 点p在 bac的平分线上 在一个角的内部 且到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上 abc的三条角平分线相交于一点p 定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三边的距离相等 如图 在 abc中 bm cn ah分别是 abc的三条角平分且pd ab pe bc pf ac 老师提示 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心 bm cn ah相交于一点p 且pd pe pf 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三边的距离相等 h 例3 如图 在 abc中 ac bc c 90 ad是 abc的角平分线 de ab 垂足为e 1 已知cd 4cm 求ac的长 2 求证 ab ac cd 练一练 1 解 ad是 abc的角平分线 c 90 de ab de cd 4cm ac bc b bac 等边对等角 c 90 b 90 45 bde 90 45 45 be de 等角对等边 在等腰直角三角形bde中 勾股定理 ac bc cd bd 4 cm 例3 如图 在 abc中 ac bc c 90 ad是 abc的角平分线 de ab 垂足为e 1 已知cd 4cm 求ac的长 2 求证 ab ac cd 练一练 2 证明 由 1 的求解过程可知 rt acd rt aed hl ac ae 全等三角形的对应边相等 be de cd ab ae be ac cd 三 挑战自我 1 已知 如图 c 900 b 300 ad是rt abc的角平分线 求证 bd 2cd 老师期望 你能写出规范的证明过程 证明 c 90 b 30 rt abc中 ab 2bc bac 60 ad是 abc的角平分线 bad dac 30 ad bd rt acd中 ad 2cd bd 2cd 2 已知 如图 abc的外角 cbd和 bce的角平分线相交于点f 求证 点f在 dae的平分线上 证明 bf是 cbd的角平分线 f到bc ad的距离相等 bf是 cbd的角平分线 f到bc ae的距离相等 f到ad ae的距离相等从而点f在 dae的平分线上 3 已知 如图 p是 aob平分线上的一个点 并且pc oa pd ob 垂足分别是c d 求证 1 oc od 2 op是cd的垂直平分线 b a p d c o 证明 1 p为p是 aob平分线上的一个点pc oa pd ob pc pdrt poc和rt pod op oprt poc rt pod oc od 2 由pc pd得p在cd的垂直平分线上由oc od得o在cd的垂直平分线上 op是cd的垂直平分线 拓展探索 如图 已知 abc 作 abc一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线 看它们是否交于一点 这样的点有几个 如果以这个点为圆心 这一点到三角形一边的距离为半径作圆 你能作出这个图形吗 四 回顾与小结 定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三边的距离相等 这个交点叫做三角形的内心 如图 在 abc中 bm cn ah分别是 abc的三条角平分且pd ab pe bc pf ac 老师提示 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心 bm cn ah相交于一点p 且pd pe pf