2019-2020学年实验中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2019-2020学年辽宁省实验中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1数列1，3，7，15，的通项可以是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据数列的项直接判定即可.【详解】依题意,所以,所以,所以,故数列1,3,7,15,的通项可以是,故选：C【点睛】本题主要考查了数列通项的判定,属于基础题型.2点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）AB或CD或【答案】B【解析】根据，在直线异侧或其中一点在直线上列不等式求解即可.【详解】因为直线与线段相交，所以，在直线异侧或其中一点在直线上，所以，解得或，故选B.【点睛】本题主要考查点与直线的位置关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.3若直线与直线平行，则（ ）A2或-1B2C-1D以上都不对【答案】C【解析】试题分析：由题意，当时，方程为，即，方程为，两直线重合，不合题意，舍去，时，直线的方程分别为，符合题意所以故选C【考点】两直线平行4以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意右焦点为圆心求得圆心,又与双曲线的渐近线相切求得半径进而得到方程.【详解】根据题意,双曲线,其焦点在轴上,且,则,则双曲线的右焦点坐标为,渐近线方程为,即,则右焦点到渐近线的距离,则要求圆的圆心为,半径,则要求圆的方程为,故选：A【点睛】本题主要考查了圆的方程与双曲线的基本量求解,属于基础题型.5若圆截直线所得弦长为6，则实数m的值为（ ）A-31B-4C-2D-1【答案】B【解析】先化圆的标准方程，再根据垂径定理列方程，解得结果.【详解】因为圆截直线所得弦长为6，所以故选：B【点睛】本题考查圆的弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.6若直线l1：x3ym0（m0）与直线l2：2x6y30的距离为，则m（ ）A7BC14D17【答案】B【解析】直接利用平行直线的距离公式计算得到答案.【详解】直线l1：x3ym0（m0），即2x6y2m0，与直线l2：2x6y30的距离为所以 ，求得m.故选：【点睛】本题考查了平行直线的距离公式，意在考查学生的计算能力.7已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆分别相交于点、，则（）AB8C4D【答案】B【解析】根据椭圆的对称性和椭圆的几何性质可得四条线段的和.【详解】椭圆的上焦点，下焦点为，直线过上焦点，直线过下焦点且两条直线平行，又，因为椭圆是中心对称图形，故，故选B.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，属于基础题，注意与焦点有关的问题，可利用椭圆的定义来处理.8数列，满足，则数列的前项和为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意是数列是等差数列，数列的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前项和公式即可求得.【详解】因为，所以数列是等差数列，数列的等比数列，因此，数列的前项和为：.故选：.【点睛】本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.9美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步雅中高2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60角，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】利用已知条件转化求解、关系，然后求解椭圆的离心率即可【详解】椭圆的长轴为，短轴的长为，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，可得，即，所以,故选C【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查10已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，则的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.【详解】因为，故，故，所以，又，所以，故四边形为平行四边形，因为，当且仅当三点共线时等号成立，的最小值为，选B.【点睛】本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.二、多选题11已知数列为等差数列，且，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（ ）ABCD【答案】BD【解析】设等差数列的公差为,根据,是一个等比数列中的相邻三项求得或1,再分情况求解的前项和即可.【详解】设等差数列的公差为,又,且,是一个等比数列中的相邻三项,即,化简得：,所以或1,故或,所以或,设的前项和为,当时,；当时,（1）,（2）,（1）（2）得：,所以,故选：BD【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型.12在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中，为正常数，满足或，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（ ）A两个椭圆B两个双曲线C一个双曲线和一条直线D一个椭圆和一个双曲线【答案】BCD【解析】根据题意可知当,即两圆外离时, 当,两圆相交,再分情况讨论动圆这两个圆相切的类型求轨迹即可.【详解】根据题意圆,半径,圆,半径,所以,设圆的半径为,（1）当,即两圆外离时,动圆可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切,均内切时,此时,当时,此时点的轨迹是以,为焦点的双曲线,当时,此时点在,的垂直平分线上均外切时,此时,此时点的轨迹是与相同与一个内切与一个外切时,不妨设与圆内切,与圆外切,与圆内切,与圆外切时,同理得,此时点的轨迹是以,为焦点的双曲线,与中双曲线不一样（2）当,两圆相交,动圆可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切,均内切时轨迹和相同均外切时轨迹和相同与一个内切另一个外切时,不妨设与圆内切,与圆外切,此时点的轨迹是以,为焦点的椭圆与圆内切,与圆外切时,同理得,此时点的轨迹是以,为焦点的椭圆故选：BCD【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,需要根据题意分析圆相切的类型,同时需要根据圆心之间的距离关系判定轨迹方程,属于中等题型.三、填空题13实轴长为12，离心率为2，焦点在轴上的双曲线的标准方程为_【答案】【解析】根据双曲线的基本量求解即可.【详解】根据题意,要求双曲线的实轴长为12,则,即,又由其离心率,即,则有,则,又由双曲线的焦点在轴上,则其标准方程为：；故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本量求解求方程的方法,属于基础题型.14在数列中，则_【答案】【解析】利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，从而可得.【详解】令，则令，则令，则令，则令，则令，则数列为周期为的周期数列 本题正确结果：【点睛】本题考查根据递推公式判断数列的性质的问题，关键是能够通过递推公式确定数列为周期数列，从而利用周期将所求值进行化简.15已知直线，若，与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则_【答案】【解析】由l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，可得此四边形存在一组对角的和等于180当直线l2的斜率大于零时，根据l1l2 ，由此求得k的值当直线l2的斜率小于零时，应有ABC与ADC互补，即tanABCtanADC，由此又求得一个k值，综合可得结论【详解】由题意知，l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补由于直线l1：x+3y50是一条斜率等于的固定直线，直线l2：3kxy+10经过定点A（0，1），当直线l2的斜率大于零时，应有l1l2 ，3 k（）1，解得 k1当直线l2的斜率小于零时，如图所示：设直线l1与y轴的交点为B，与x轴的交点为C，l2 与x轴的交点为D，要使四边形ABCD是圆内接四边形，应有ABC与ADC互补，即tanABCtanADC再由tan（90+ABC）KBC，可得tanABC3，tanADC3KAD3k，解得 k1综上可得，k1或 k1，故答案为：1【点睛】本题考查两条直线垂直的条件，直线的倾斜角、斜率间的关系，存在一组对角的和等于180的四边形一定有外接圆，属于基础题16已知数列中，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】，（，），当时，并项相加，得：，又当时，也满足上式，数列的通项公式为，令（），则，当时，恒成立，在上是增函数，故当时，即当时， ，对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，实数的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.四、解答题17已知数列是递增的等比数列，且（）求数列的通项公式；（）设为数列的前n项和，求数列的前n项和【答案】（）（）【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为q，根据已知由等比数列的性质可得，联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得（2）根据等比数列的求和公式，有所以，裂项求和即可试题解析：（1）设等比数列的公比为q，所以有联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q1，所以数列的通项公式为（2）根据等比数列的求和公式，有所以所以【考点】等比数列的通项公式和性质，数列求和18如图，轴，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，（1）求点的轨迹方程.（2）过点作直线与点的轨迹相交于、两点，使点被弦平分，求直线的方程【答案】（1）（2）【解析】（1）设，,所以，,，代入圆的方程得到轨迹方程，抠掉不满足题意的点即可；（2）设出直线的方程为，联立直线和椭圆，根据韦达定理列式即可.【详解】（1）解析:设，则,，,所以在圆上，代入得, . （2）由题意知直线的斜率存在，过点， 设直线的方程为，设，联立得， 点在椭圆内部，不论取何值，必定有.由韦达定理知的中点是，即，解得， 直线的方程为.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用19黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色， 黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000，黄河水的含沙量为，洮河水的含沙量为，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换的水量，即从洮河流入黄河的水混合后，又从黄河流入的水到洮河再混合.（1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；（2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于?（不考虑泥沙沉淀）【答案】（1）洮河水的含沙量为，黄河水的含沙量为.（2）第8个观测点【解析】（1）用，分别表示河流在经过第n个观测点时，洮河水和黄河水的含沙量，则，利用递推关系求出即可得结果；（2）由题意可知， ， 两式结合化简可得数列是以18为首项，为公比的等比数列， 求出通项公式，解不等式即可得结果.【详解】（1）用，分别表示河流在经过第n个观测点时，洮河水和黄河水的含沙量，则，.由题意可知， ，即经过第二个观测点时，洮河水的含沙量为，黄河水的含沙量为.（2）由题意可知， ， 由于题目中问题考虑河水中含沙量之差，故可考虑数列，由上式可知，所以数列是以18为首项，为公比的等比数列， 则，令则，即从第8个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.20已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2，且过点和（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF2的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程【答案】（1） （2）y=【解析】（1）将两点代入椭圆方程，求出a，b，然后求解椭圆的标准方程（2）设AF2的方程为x=ty+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积结合基本不等式求解最值，然后求解BC的方程即可【详解】解：（1）将两点代入椭圆方程，有解得，所以椭圆的标准方程为（2）因为A在x轴上方，可知AF2斜率不为0，故可以设AF2的方程为x=ty+1，得，所以，设原点到直线AF2的距离为d，则，所以SABC=2SOAB=，ABC面积的最大值为在t=0时取到等号成立，此时AB的方程为：x=1，可得，A（1，），B（1，-），C（-1，），此时BC的方程为：y=，【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题21已知椭圆的左、右焦点、，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且的周长为（1）求椭圆的方程；（2）设直线是圆的切线，与椭圆交与不同的两点，证明：的大小为定值【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)根据椭圆的定义与基本量之间的关系求解即可.(2)可猜测,由直线与圆相切可得,再联立直线与椭圆的方程,求解出韦达定理再代入计算,代入化简求得即可.【详解】（1）由椭圆的定义可知周长为,焦点在圆上,所以,解得,所以椭圆方程为（2）证明：由直线与圆相切有,即,联立,由韦达定理可得,为定值【点睛】本题主要考查了根据椭圆的定义与基本量求解椭圆方程的方法,同时也考查了直线与椭圆联立方程利用韦达定理证明定值的问题,属于难题.22规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标