高考数学总复习 第三章 第6讲 函数与方程配套课件 文.ppt

第6讲函数与方程 1 函数的零点 1 方程f x 0有 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有零点 交点 2 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的 且有 那么函数y f x 在区间 a b 上有零点 一般把这一结论称为零点存在性定理 f a f b 0 实根 2 二分法如果函数y f x 在区间 m n 上的图象是一条连续不断的曲线 且 通过不断地把函数y f x 的零点所在区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零 点近似值的方法叫做 f m f n 0 二分法 1 图3 6 1是函数f x 的图象 它与x轴有4个不同的公共点 给出下列四个区间 不能用二分法求出函数f x 在区间 上的零点 b 图3 6 1 a 2 1 1 c 4 1 5 b 1 9 2 3 d 5 6 1 2 2012年广东韶关一模 若函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算 参考数据如下表 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 精确到0 1 为 c a 1 2 b 1 3 c 1 4 d 1 5 b a 0 1 c 10 100 b 1 10 d 100 4 根据表格中的数据 可以判定函数f x ex x 2的一 个零点所在的区间为 k k 1 k z 则k的值为 c a 1 b 0 c 1 d 2 解析 由表可知当k 1时f 1 f 2 0 零点在 1 2 内 5 关于x的一元二次方程5x2 ax 1 0有两个不同的实根 一根位于区间 1 0 另一根位于区间 1 2 则实数a的 取值范围为 考点1判断函数零点所在的区间例1 1 利用计算器 列出自变量和函数值的对应值如下表 那么方程2x x2的一个根位于下列区间中的 a 0 6 1 0 b 1 4 1 8 c 1 8 2 2 d 2 6 3 0 解析 由f 0 6 1 516 0 36 0 f 1 0 2 0 1 0 0 排除a 由f 1 4 2 639 1 96 0 f 1 8 3 482 3 24 0 排除b 由f 1 8 3 482 3 24 0 f 2 2 4 595 4 84 0 可确定方程2x x2的一个根位于区间 1 8 2 2 上 答案 c a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 2 2013年天津 函数f x 2 x log0 5x 1的零点个数为 解析 函数f x 2 x log0 5x 1 如图d6 当x 1时 函数化为f x 2 xlog2x 1 令2 xlog2x 1 0 可得2x log2x 方程没有解 当0 x 1时 函数化为f x 2 xlog0 5x 1 令2 xlog0 5x 1 0 可得2x log0 5x 方程有一个解 故选a 图d6 答案 a 所以函数f x 2 x log0 5x 1的零点个数有1个 方法与技巧 判断函数y f x 在某个区间上是否存在零点 常用以下三种方法 当对应方程易解时 可通过解方程 看方程是否有根落在给定区间上 利用函数零点的存在性定理进行判断 通过函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 互动探究 1 2011年山东 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 2 解析 f 2 loga2 2 b0 x0 2 3 故所求的n 2 考点2二分法的应用例2 已知函数f x lnx 2x 6 1 证明函数f x 在其定义域上是增函数 2 证明函数f x 有且只有一个零点 3 求这个零点所在的一个区间 使这个区间的长度不超过 14 2 证明 f 2 ln2 20 f 2 f 3 0 f x 在 2 3 上至少有一个零点 又由 1 知f x 在 0 上是增函数 因此f x 0至多有一个根 从而函数f x 在 0 上有且只有一个零点 1 证明 函数f x 的定义域为 0 设x1 x2 则lnx1 lnx2 2x1 2x2 lnx1 2x1 6 lnx2 2x2 6 f x1 f x2 f x 在 0 上是增函数 方法与技巧 给定精度 用二分法求函数y f x 的零点 近似值的步骤如下 确定区间 m n 验证f m f n 0 给定精度 求区间 m n 的中点x1 计算f x1 若f x1 0 则x1就是函数y f x 的零点 若f m f x1 0 则令n x1 此时零点x0 m x1 若 f x1 f n 0 则令m x1 此时零点x0 x1 n 互动探究 2 若函数f x 的零点与g x 4x 2x 2的零点之差的绝对 a 值不超过0 25 则f x 可以是 a f x 4x 1b f x x 1 2c f x ex 1 考点3 利用导数讨论方程的根的分布 例3 2013年广东广州一模 已知f x 是二次函数 不等式f x 0的解集是 0 5 且f x 在点 1 f 1 处的切线与直线6x y 1 0平行 1 求f x 的解析式 内有两个不相等的实数根 若存在 求出t的值 若不存在 说明理由 1 解法一 f x 是二次函数 不等式f x 0 f x 2ax 5a 函数f x 在点 1 f 1 处的切线与直线6x y 1 0平行 f 1 6 2a 5a 6 解得a 2 f x 2x x 5 2x2 10 x 解法二 设f x ax2 bx c 不等式f x 0的解集是 0 5 方程ax2 bx c 0的两根为0 5 c 0 25a 5b 0 f x 2ax b 又函数f x 在点 1 f 1 处的切线与直线6x y 1 0平行 f 1 6 2a b 6 由 解得a 2 b 10 f x 2x2 10 x 互动探究 3 2012年湖南 设定义在r上的函数f x 是最小正周期为2 的偶函数 f x 是f x 的导函数 当x 0 时 0 f x 1 b 在 2 2 上的零点个数为 a 2个c 5个 b 4个d 8个 f x 为增函数 又当x 0 时 0 f x 1 在r上的函数f x 是最小正周期为2 的偶函数 在同一坐标