高中数学第三章3.1.4空间向量的直角坐标运算学案新人教选修.docx

3.1.4空间向量的直角坐标运算1了解空间向量坐标的定义2掌握空间向量的坐标运算3会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直4会计算向量的长度及两向量的夹角1空间向量的坐标表示(1)单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引_向量i，j，k，这三个互相_的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k，这个基底叫做单位正交基底单位向量i，j，k都叫做_【做一做11】设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，则|e1|e2|e3|_.(2)空间向量的坐标表示在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在_实数组(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组_叫做向量a在此直角坐标系中的坐标上式可简记作a_.【做一做12】向量0的坐标为_向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a(x，y，z)，点A(x，y，z)2空间向量的直角坐标运算(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则容易得到ab_；ab_；a_；ab_.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2，y2，z2)(x1，y1，z1)(x2x1，y2y1，z2z1)【做一做2】设a(1,2,3)，b(1,1,1)，则2ab_.3空间向量平行和垂直的条件设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab(b0)_，当b1，b2，b3都不为0时，ab_；(2)ab_.【做一做3】设a(1,2,3)，b(1，1，x)，ab，则x_.4两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|_，|b|_，cosa，b_.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|_.【做一做4】向量a(2，1，1)，b(1，1,0)的夹角余弦值为_，_.(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等如何理解空间向量的坐标及其运算？剖析：(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系向量的坐标是其终点与起点坐标的差量只有以原点为起点的向量，向量的坐标才等于向量终点的坐标(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致，只是多了一个竖坐标(3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算题型一 空间向量的坐标运算【例1】设向量a(3,5,4)，b(2,1,8)，计算3a2b，(ab)(ab)分析：利用空间向量的坐标运算先求3a,2b，ab，ab；再进行相关运算反思：空间向量的坐标运算首先进行数乘运算然后再进行加减运算，最后进行数量积运算，先算括号内的后算括号外的题型二 空间向量的平行与垂直问题【例2】设向量a(1，x,1x)，b(1x2，3x，x1)，求满足下列条件时，实数x的值(1)ab；(2)ab.分析：解答本题可先由ab，ab分别建立x的方程，再解方程即可反思：要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时，要分类讨论在解答本题时易出现由abx2的错误，导致此错误的原因是忘记了这个结论成立的前提条件是1，x,1x都不是0.题型三 空间向量的夹角及长度公式的应用【例3】已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1,1,5)，求以，为邻边的平行四边形面积分析：已知三点A，B，C的坐标，先求，|，|，再求cos，sin，从而得到结论反思：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路是：建立空间坐标系；求出相关点的坐标和向量坐标；结合公式进行计算；将计算的向量结果转化为几何结论1若A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，令a，b，则ab对应的坐标为()A(5,9,2) B(5,9,2)C(5,9,2) D(5,9,2)2下面各组向量不平行的是()Aa(1,0,0)，b(3,0,0)Bc(0,1,0)，d(1,0,1)Ce(0,1,1)，f(0,1,1)Dg(1,0,0)，h(0,0,0)3(2010广东高考，理10)已知a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)且(ca)2b2，则x的值为()A3 B4 C2 D14若A(2,0,1)，B(3,4，2)，则|_.5向量a(2，3，)，b(1,0,0)，则cosa，b_.6已知向量a(2,2,0)，b(2,0,2)，求向量n使na且nb.答案：基础知识梳理1(1)单位垂直坐标向量【做一做11】3(2)唯一(a1，a2，a3)(a1，a2，a3)【做一做12】(0,0,0)2(1)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3【做一做2】(3,5,7)3(1)aba1b1，a2b2，a3b3(2)ab0a1b1a2b2a3b30【做一做3】4【做一做4】典型例题领悟【例1】解：3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(94,152，1216)(5,13，28)；ab(3,5，4)(2,1,8)(32,51，48)(5,6,4)；ab(3,5，4)(2,1,8)(32，51，48)(1,4，12)，(ab)(ab)(5,6,4)(1,4，12)51644(12)5244819.【例2】解：(1)当x0时，a(1,0,1)，b(1,0,1)，ab，满足ab.当x1时，a(1,1,0)，b(0，3,2)，不满足ab，x1.当x0，x1时，由abx2.综上所述，当x0，或x2时，ab.(2)abab0，(1，x,1x)(1x2，3x，x1)01x23x21x20，解得x.当x时，ab.【例3】解：A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，(2,1,6)(0,2,3)(2，1,3)，(1，1,5)(0,2,3)(1，3,2)|，|，(2，1,3)(1，3,2)2367.cos，sin，以，为邻边的平行四边形的面积S|sin，7.随堂练习巩固1Ba(2，4，1)(3，4,1)(1,0，2)，b(1,5,1)(3，4,1)(4,9,0)，故ab(5,9，2)2BA项中b3a，ab，C项中fe，fe，D项中h0，h