素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0612.doc

2006年第 45卷第 12期数学通报 数学问题解答 2 rx 所以 ,由于一个“过”字表述的不确定性 ,致使本题的答案应该有两解 ,此题难度也有一定的上升.幸好有同事在检查时 ,发现了这个瑕疵 ,让我们及时得到修正.笔者在出卷时也未曾发现这个问题 ,想当然的理解为 P即为切点 ,差点酿成错误.从这个题目也可以看出 ,数学语言提倡精炼简洁 ,但首先应不失准确性.作为教师 ,不仅自己善用数学语言表达 ,更要教会学生体会数学语言的精妙.数学语言与通常的语言相比 ,它具有自己鲜明的个性 科学性、简洁性、符号性、抽象概括性等.语言与思维的关系极为密切 ,抽象思维要借助语言来实现 ,学生数学语言运用能力的高低将直接影响其数学思维的形成与发展 ,同时还直接影响着学生对数学知识的掌握程度和后续学习 ,关系到教学效果的好坏.苏霍姆林斯基曾深刻地指出 :“如果你不想使知识变成僵化的、静止的学问 ,就要把语言变成一个最主要的创造工具. ”总之 ,在教学实践中要不断学习、探索、总结数学语言的教与学 ,不断提高学生的数学语言运用能力 ,从而不断提高学生的数学思维能力.参考文献 1斯托利亚尔.数学教育学. 2苏B. A.苏霍姆林斯基.给教师的建议.北京 :教育科学出版社 ,1984 ,06 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 数学通报 2006年第 45卷第 12期60又 x13 +x所以 1 = 3 =x +x1 222 222+ 3 (x1 x2 +x2 x3 +x3 x1 +x1 x2 +x2 x3 +x3 x1) 1 222 + 6 (x1 x2 +x2 x3 +x3 x1 +x1 x2 x3),9 所以 x 21 x2 +x22 x3 +x23 x1 +x1 x1 x3 27 4 .综上可知 ,当 n= 3时结论成立 .假设当 n= k(k 3)时结论成立 .当 n= k+ 1时 ,仍不妨设 x1最大 ,则 22 22 x1 x2 +x2 x3 + + xkxk+1 + xk+1 x1 + x1 x2 xk+1 22 2 x1 x2 +x1 x3 +(x2 +x3) 2 x4 + + xk+1 x1 +x1 (x2 +x3)x4 xk+1 22 =x1 (x2 +x3) +(x2 +x3) 2 x4 + + xk+1 x1 +x1 (x2 +x3)x4 xk+1 ,而 n个变量 x1 ,(x2 +x3) ,x4 , , xk+1 ,满足 x1 + (x2 +x3) +x4 + + xk+1 = 1 ,由归纳假设 ,可得 22 x1 (x2 +x3) +(x2 +x3) 2 x4 + + xk+1 x1 + 4 x1 (x2 +x3)x4 xk+1 27 ,所以 ,当 n= k+ 1时 ,结论仍成立 .故由数学归纳法知 ,结论对 n 3 ,n N+时成立. 1644已知 k N,且 k 2 ,求证 : k12 1 + .2 (k -1) (安徽师范大学数学系郭要红 241000)k1证明令 ak = 1 + 2 (k -1) 5 3 125 a3 = = 2 ,4 64 1 k+1 1 + ak +12 k = kak 11 + 2 (k -1) 21 + 4 k2 -2 k-2 12 k+ 1 2 k 2 k(应用二项式定理 ) 1 + 4 k2 -2 k-2 (4 k2 -2 k-2)(2 k+ 1) = (4 k2 -2) 2 k 8 k3 -4 k-2 k-2 = 1 ,8 k3 -4 k 所以 ,数列 ak(k 3)是单调递减数列 ,于是当 k k 3时 ,有 ak a3 1 + 2(k 1 -1),证毕. 1645从数 1 ,2 ,3 , ,14 ,15 ,16中 ,按由小到大的顺序取出 a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,满足 :a2 -a1 2 ,a3 -a2 3 , a4 -a3 4 ,所有符合这些要求的不同取法有多少种 ? (上海市高东中学刘飞才 200137)解若无任何条件限制 ,从 16个不同的数中取出 4个不同的数有 C4 种不同的取法 .记为全集16的元素个数 .由于 a1 +(a2 -a1) +(a3 -a2) +(a4 -a3)+ 16 k 2 k+ 1 2 k 2 k+ 1 k 2 k 2 k+ 1 k 2 k (k 1), 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2006年第 45卷第 12期数学通报 a4 = 16 , a1 -1 +(a2 -a1 -1) +(a3 -a2 -1) +(a4 a3 -1)+ 16 -a4 = 12 , 从而 a1 -1 0 ,1 a2 -a1 -1 0 ,2 a3 a2 -1 0 ,3 a4 -a3 -1 0 ,16 -a4 0 ,令 a1 -1 =x1 ,a2 -a1 -1 =x2 ,a3 -a2 -1 = x3 ,a4 -a3 -1 =x4 ,16 -a4 =x5从而方程 变为 : x1 +x2 +x3 +x4 +x5 = 12 ,(x1 0 ,0 x2 1 ,0 x3 2 ,0 x4 3 ,x5 0) 故满足题设条件的不同取法种数等价于方程的整数解的个数.记 |A1 |为方程 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 = 12 (x2 2)的非负整数解的个数 ,则 |A1 |表示方程 x1 + x2 +x3 +x4 +x5 = 12 (x2 1)时的非负整数解的个数 ,是ABD , ACD的内心 , I1 I2 E是正三角形 ,求记 |A2 |为方程 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 = (浙江苍南县江南高中闵飞325804) = 12 (x3 记 |A3 |为方程 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 = 12 (x4 4)的非负整数解的个数 ,则 |A3 |表示方程 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 = 12 (x4 3)时的非负整数解的个数 ,先求 |A1 |,对方程 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 = 12两边减去 2得 : x1 + (x2 -2) +x3 +x4 +x5 = 10 (x2 -2 0 ,(x3 3)的非负整数解的个数 ,令 x2 -2 =y1)得 x1 +y1 +x3 +x4 +x5 = 10. 由可重组合公式知方程 的非负整数解的个数 |A1 |=C14 4 ,同理 | =C13 4 ,| =C4A2 |A3 | 12 .对方程 ,令 x3 -3 =y2 ,则方程变为 : x1 +y1 +y2 +x4 +x5 = 7. 由可重组合公式知方程 的非负整数解的个数为 C411 =| A1 A2 |.同理 |A1 A3 |= C410 ,| A2 A3 |=C49 .对方程 ,令 x4 -4 =y4 ,则方程变为 : x1 +y1 +y2 +y4 +x5 = 3. 方程 的非负整数解的个数为 C47 =| A1 A2 A3 |.由容斥原理知 :满足要求的取法种数为 : |A1 A2 A3 | =| A1 A2 A3 | =| I| -| A1 A2 A3 | =| I| -| A1 |-| A2 |-| A3 |+| A1 A2 |+ |A1 A3 | +| A2 A3 |-| A1 A2 A3 | 16 14 13 C4 10 +C94 7=C4 -C4 -C4 -12 +C411 +C4 -C4 = 240. 2006年 12月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1646设 D是正 ABC边 BC上一点 ,设 I1 ,I2分别1647四边形 ABCD中 ,对角线 AC, BD交于 O, DAO = 30, BAO = 40, ACB = 80, ABD = 10.试用 20,50的三角函数表示 ACD , BDC的大小. (安徽安庆一中罗志强246000) 1648已知两个半径不相等的 O1 , O2相交于 M,N两点 ,且O1 , O2分别与 O内切于S,T两点 ,H为直线 MN上一点 ,求证 : OH MN的充分必要条件是 MTH = NTS . (江苏连云港市杨集中学尹广金222221) 1649设 ABC的三边长分别为 a,b,c,外接圆 ,内切圆半径是 R, r,面积为 ,半周长为 S,求证 : 2 abc 2 R2 r1 1 1 .2 S 2 S 2 S 2 (山东惠民师范学校胡斌251700) 1650定义在 R上的函数 F( x)满足条件