高中数学第三章导数及其应用本章整合课件

本章整合 第三章导数及其应用 专题一 专题二 专题三 专题一导数的概念及其几何意义1 用定义求导数的一般步骤 1 求函数值的改变量 y f x x f x 2 导数的几何意义 由于函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 其切线方程为y f x0 f x0 x x0 因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决 专题一 专题二 专题三 应用1已知f x 在x x0处可导 A f x0 B f x0 C f x0 2D 2f x0 f x0 专题一 专题二 专题三 应用2设f x 为可导函数 且满足条件 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 专题一 专题二 专题三 专题二用导数求函数的单调区间 极值 最值1 求函数单调区间的步骤 1 确定f x 的定义域 2 计算导数f x 3 求出f x 0的根 4 用f x 0的根将定义域分成若干区间 判断f x 在各区间内的符号 进而确定f x 的单调区间 2 求函数极值的步骤 1 求导数f x 2 求f x 0或f x 不存在的所有点 3 检查上面求出的x的两侧导数的符号 如果左正右负 那么f x 在这个点处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个点处取得极小值 专题一 专题二 专题三 3 求函数最值的步骤 1 求函数f x 在 a b 上的极值 2 极值与f a f b 相比较 最大的为最大值 最小的为最小值 专题一 专题二 专题三 应用已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 提示 由函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R g x f x f x 是奇函数 可求得a b 然后按照求最值的步骤求其最大值与最小值 专题一 专题二 专题三 解 1 f x ax3 x2 bx f x 3ax2 2x b 故g x f x f x ax3 3a 1 x2 b 2 x b 专题一 专题二 专题三 专题三利用求导法证明不等式 求参数范围等1 在用求导法证明不等式时 首先要构造函数和确定定义域 其次运用求导的方法来证明 2 一些求题中参数取值范围的问题 常转化为恒成立问题来解决 利用f x a恒成立 f x min a的思想解题 3 解极值应用的问题一般分三个步骤 1 建立函数关系式 2 求所列函数关系式中可能取得极值的点 3 具体作出判断 得出结果 其中关键在于建立函数关系式 若所求函数只有一个极值点 一般就是要求的最大值 或最小值 点 专题一 专题二 专题三 提示 可利用构造函数求极值的方法予以证明 同时要注意到题中x 0这一隐含条件 专题一 专题二 专题三 应用2已知在函数f x mx3 x的图象上 以N 1 n 为切点的切线的倾斜角为 1 求m n的值 2 是否存在最小的正整数k 使得不等式f x k 2000对于x 1 3 恒成立 如果存在 请求出最小的正整数k 如果不存在 请说明理由 提示 1 切线的倾斜角为 切线的斜率为1 即函数f x mx3 x在N 1 n 的导数为1 从而求出m 进而求出n 2 不等式f x k 2000对于x 1 3 恒成立 f x 最大值 k 2000 解不等式即可求得k 专题一 专题二 专题三 因此 当x 1 3 时 f x max 15 要使得不等式f x k 2000对于x 1 3 恒成立 则k 15 2000 2015 所以 存在最小的正整数k 2015使得不等式f x k 2000对于x 1 3 恒成立 3 福建高考 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大值等于 A 2B 3C 6D 9解析 由题意得f x 12x2 2ax 2b 函数f x 在x 1处有极值 f 1 0 12 2a 2b 0 即a b 6 答案 D 4 重庆高考 设函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数f x 在x 2处取得极小值 则函数y xf x 的图象可能是 解析 由题意可得f 2 0 而且当x 2 时 f x 0 当x 2 时 f x 0 此时若x 2 0 xf x 0 所以函数y xf x 的图象可能是选项C中的图象 答案 C 5 辽宁高考 函数f x 的定义域为R f 1 2 对任意x R f x 2 则f x 2x 4的解集为 A 1 1 B 1 C 1 D 解析 由题意 令 x f x 2x 4 则 x f x 2 0 x 在R上是增函数 又 1 f 1 2 1 4 0 当x 1时 x 1 0 即f x 2x 4 0 即f x 2x 4 故选B 答案 B 7 课标全国 高考 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 分析 1 由条件曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 这就说明要表示出切线方程 需要求函数f x 的导数 求出f 0 从而得到切线斜率 表示出切线方程 把点 2 0 代入可得关于a的方程 求得a的值 对于 2 欲证曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 可构造函数g x f x kx 2 只需证明函数g x 与x轴有唯一的交点 这就需要利用函数的单调性研究g x 的图象来解决 1 解 f x 3x2 6x a f 0 a 曲线y f x 在点 0 2 处的切线方程为y ax 2 由题设得所以a 1 2 证明 由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 10时 令h x x3 3x2 4 则g