高中数学好题速递400题(第301—350题,word版,含答案解析)

好题速递301已知正数满足，则的最大值为 解：解法一：令，得则当且仅当，即时取得等号。解法二：令，则令，则原式当且仅当，即时取得等号好题速递302xOy11f1(x)f1(x)图1：n=1时设函数，则方程有 个实数根解：令，问题化为观察与图像的交点有几个由于是偶函数，故是偶函数，只要考虑 时的交点个数n=1时，的图像是把的图像下移，xOy11f1(x)f2(x)图2：n=2时再把x轴下的图像往上翻而得，有1个零点，以零点为界，呈“减增”状态，最后趋于，如图1，有2个交点；n=2时，的图像是把的图像下移，再把x轴下的图像往上翻而得，有2个零点，以2个零点为界，呈“减增减增”状态，最后趋于，如图2，有个交点；n= n2时，且有个零点以个零点为界，呈“减增减增减增”状态，最后趋于，故的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点，有个交点，再由对称性知x0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为 . 解：设，其中，均为正偶数，则，整理得，(注意体会这里用“”而不用“”的好处)所以，即，所以的所有可能值为24，26，28，当时，；当时，（舍去）；当时，所以q的所有可能值构成的集合为.好题速递322曲线C：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则“望圆”面积的最小值为 解：，令，得，所以望点为，设望圆的方程为，由得当，即时，所以圆的面积为好题速递323已知数列满足，且，它的前项和为则 解：，解得两式相减得，故，故数列为周期为3的数列好题速递324定义在上的函数，当时，且对任意的满足（常数），则函数在区间上的最小值是（ ） 解：，当时有最小值为好题速递325已知，向量满足，则的最大值为 。解法一：设，则由已知条件易知和共以为直径的外接圆。由是同一个点出发的两个向量作点积，且终点连线确定，显然用极化恒等式是一个不错的选择。故问题转化为求的最大值，如图所以解法二：如解法一画图，设，则在中由余弦定理得所以，所以解法三：如图建系，则，得则而横坐标，所以好题速递326在ABC中，已知BC = 4，AC = 3，(A - B) = ，则ABC的面积为 解：在角A中作出A - B，即在BC上取一点D，使DB = DA，设DB = x，则DC = 4 - x在ACD中，CAD = (A - B) = ，得x = 2则DA = DC = DB，BAC = 90，ABC的面积为好题速递327若的外接圆是半径为1的圆，且，则的取值范围是 。解法一：是同一个点出发的两个向量作点积，且终点连线确定，显然用极化恒等式是一个不错的选择。（其中为中点）点在圆上运动，故，即故又不与重合，所以，所以解法二：如图建系设点。，因为，所以解法三：基底角度，一问三不知转基底由于不与重合，所以好题速递328如图，点是以为圆心，1为半径的圆上任意三点，则的最小值是 。解法一：固定点，极化角度设，则解法二：固定点，投影角度设，则所以故好题速递329已知函数，若，则的取值范围是 。解：关于对称，由得，即因为，所以，解得（这里是求定义域，函数没有定义域就没有意义，千万记得定义域优先）好题速递330已知，若且，则的取值范围是_。解：，即解法一：不等式角度解题由基本不等式得，解得这个解法对不对呢？看似正确，其实这里的最大值6取不到，因为解法中并没有用到的限制条件这里介绍一种方法，可以来处理有限制条件的问题（类似于极化恒等式的变形）因为即，得因为，故，故即解得【点评】这里要注意以前我们所学的“两个字母一个方程”的问题或者“基本不等式”的问题，在没有其余限制条件时不等式和法都适用，但多了限制条件就不确定是在区域边界还是内部取得最值，故需要验证或者另寻他法了。解法二：规划角度解题，即表示圆所以点所满足的条件为画出可行域即个圆弧，目标函数为故当时，；当时，但最大最小值都无限接近，取不到，所以解法三：图像角度解题很多同学是画出图像，观察发现因为部分的图像比部分的图像变化快，故当的直线向上平移时，虽然向左变小，向右变大，但显然变得多，故变大，即的中点向右上方运动因此当，即时，当，即时，但最大最小值都无限接近，取不到，所以好题速递331设，是夹角为的两个单位向量，若，是以为直角顶点的直角三角形，则 。解法一：，因为，即OMNPQ解法二：反向延长到，使因为，故由中线等于斜边的一半可得是直角三角形，即，因为，所以三点共线，故好题速递332已知，则的最大值是_。解法一：令，则，目标函数为画出点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点，如图，目标函数与相切时当且仅当，即时取得解法二：令，则，所以解法三：三角换元，则，令，故解法四：令， ，则则，点评：本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想，即，这在12月18日每日一题的第一种解法中也有体现。好题速递333已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x0，都有，则= 解：必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为，与单调函数矛盾所以可设则将c代入，得，即是单调增函数，当时，成立，则好题速递334设直角的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值是 解：设是以为直角顶点的直角三角形，则所以所以（这里可以理解为三角形两边之和大于第三边，也可以理解为圆外一点（）到圆上一点距离，同时连最小值也可以求出）当且仅当三点共线且点在第三象限时，好题速递335函数，当时，且的最大值为2，则 解：因为的最大值为2，所以由由所以故题目变为对恒成立。此时注意到，是一个零点由于对，故是个偶重零点，故也是的根，所以，点评：这又是一个二次函数的好题，解法中用到的零点奇穿偶回法很值得回味。“零点是个守门员，负责正负分界线，奇次零点穿过去，偶次零点弹回来”好题速递336已知对任意恒成立，则 解：用两边夹逼的方法，令，解得故，即所以对任意恒成立，所以故点评：这又是夹逼形式的好题，解法中让不等号两边同时取到，求出临界点的方法要注意。好题速递337已知非零向量与向量 的夹角为钝角，当时，取最小值，则 Oa-2abb-2a解法一：由当时，取最小值，可知本题是“神图”的应用，如图所示，设，则即故解法二：当且仅当时，所以且，得故好题速递338已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 解：故好题速递339已知函数，若存在实数使得，且，则实数的取值范围是 解：因为是增函数，且，故，所以原条件等价于在区间上有解，即在上有解因为的值域为，所以实数的取值范围是好题速递340在中，若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是 解：如图，作于，则，设，则，所以，所以设椭圆的方程为，将与代入可得，故好题速递341实数满足，则的最大值为 解：因为，所以相加得即当且仅当同时满足，即或时上式取等号。点评：本题是三元均值不等式的问题，难点在于每个均值不等式的系数配凑。这里其实是用待定系数法来确定系数。，故因此，解得好题速递342已知数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是 解：，因为，故，（即奇数项为负，偶数项为正）又因为，所以这个数列是震荡数列，奇数项恒负且递增，偶数项恒正且递减所以条件转化为存在正整数，使得只要，即好题速递343已知为实数，且，则的最小值为 解法一：令，则，且所以解法二：齐次化转函数求值域令，好题速递344题已知是单位圆的内接三角形，是圆的直径，若满足，则 解：如图，因为是圆的直径，所以同理（其实就是投影，点积转投影记得吗？）所以所以，则是直径，所以好题速递345题已知正四面体的棱长为，是棱上任意一点（不与重合），且点到面和面的距离分别为，则的最小值为 解：棱长为的正四面体，体高所以如图作面，则在中，得同理所以所以所以好题速递346题设非零向量满足且，则的取值范围是 解：由得，且又，即的终点在以的终点为圆心，1为半径的圆上就是在上的投影，显然好题速递347题已知，若，则的取值范围是 解：的取值范围问题等价于曲线上的点与点连线的斜率的范围问题此时点在上，由图可知：好题速递348题若点为的重心，且，则的最大值为 解：如图，点在以为直径的圆上运动，且由于点为的重心，所以故点在以为圆心，以长为半径的圆上运动，问题转化为圆上一点与线段形成的张角问题。如图，画一个最小圆，即时，其余的都在圆外，根据圆外角小于圆上角，可知当时，最大，即最大此时由得或二倍角公式好题速递349题在中，过中线中点作一直线分别交边，于两点，设，则的最小值为 解：因为是中点，所以又因为为中点，所以因为三点共线，所以所以当且仅当时等号成立。好题速递350题定义函数图象上的点到坐标原点距离的最小值叫作函数的“中心距离”，给出以下四个命题： 函数的“中心距离”等于；函数的“中心距离”等于1； 若函数与的“中心距