高数上册讲义笔记

高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程 高数 高数 微积分上 微积分上 习题答案习题答案 微信扫一扫 微信扫一扫 版权版权声明声明 内容来自高斯课堂原创 讲义笔记和相关图文均有著作权 视频课程已申请版权 登记号 内容来自高斯课堂原创 讲义笔记和相关图文均有著作权 视频课程已申请版权 登记号 陕作登字陕作登字 2018 I 00001958 2018 I 00001958 根据 中华人民共和国著作权法根据 中华人民共和国著作权法 中华人民共和国著作权法 中华人民共和国著作权法 实施条例实施条例 信息网络传播权保护条例信息网络传播权保护条例 等有关规定等有关规定 如有侵权如有侵权 将根据法律法规提及诉讼将根据法律法规提及诉讼 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1 1 3 小时速成课程微信扫一扫 课时一课时一极限 连续 间断点极限 连续 间断点 考点考点重要程度重要程度分值分值常见题型常见题型 1 1 函数函数 3 0选择 填空选择 填空 2 2 极限极限 必必 考考10 6选择 填空 大题选择 填空 大题 3 3 连续连续 4 4 间断点间断点 1 1 函数函数 题题 1 1 求函数求函数 31 lnarcsin 25 xx y x 的定义域的定义域 解解 0 24 0 313 1 5 x x x x 即函数的定义域为即函数的定义域为 4 0 3 x 题题 2 2 2 23 fxx 求求 f x 解 解 令令23tx 则 则 3 2 t x 得得 222 3139139 2424424 t f tttf xxx 2 2 极限极限记作记作 0 lim xx f xA 左极限左极限 0 lim xx f xA 右极限右极限 0 lim xx f xA 题题 1 1 设函数 设函数 x f x x 当 当0 x 时求极限值时求极限值 解 解 00 limlim1 xx xx xx 00 limlim1 xx xx xx 左右极限存在但是不相等 故无极限左右极限存在但是不相等 故无极限 1 1 0 xx 表示表示 0 xx 2 2 0 xx 表示表示 00 xxxx 3 3 极限存在的极限存在的充要充要条件 条件 00 lim lim xxxx f xf x 左右极限存在且相等 左右极限存在且相等 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 2 2 3 小时速成课程微信扫一扫 题题 2 2 设函数设函数 1 arctan 1 f x x 当 当1x 时求极限值时求极限值 解 解 11 1 limarctanlimarctan 12 xx x 11 1 limarctanlimarctan 12 xx x 左右极限存在但是不相等 故无极限左右极限存在但是不相等 故无极限 题题 3 3 设函数设函数 2 x x f xe 当 当2x 时求极限值时求极限值 解 解 2 22 limlim0 x x xx ee 2 22 limlim x x xx ee 3 3 连续连续 0 0 lim xx f xf x 极限值 极限值 函数值 函数值 题题 1 1 2 1 2 1 xx f x xx 是否连续是否连续 解 分界点在解 分界点在1x 处处 左极限 左极限 2 11 lim lim1 xx f xx 右极限 右极限 11 lim lim 21 xx f xx 函数值 函数值 1 1f 1 lim 1 1 x f xf 函数连续函数连续 题题 2 2 93 0 0 x x f x x kx 在在0 x 处连续 则处连续 则k等于多少等于多少 解 极限值 解 极限值 0000 93 93 93 11 lim limlimlim 6 93 93 xxxx xxx f x xxxx 函数值 函数值 0 fk 根据极限值等于函数值 所以根据极限值等于函数值 所以 1 6 k arctanyx 2 2 左极限存在 右极限不存在左极限存在 右极限不存在 所以极限不存在所以极限不存在 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 3 3 3 小时速成课程微信扫一扫 题题 3 3 确定确定 a b 使 使 2 1 01 0 x xx f xaxbx ex 在在 内连续 内连续 解 在分界点为解 在分界点为0 x 处处 左极限 左极限 00 lim lim1 x xx f xe 右极限 右极限 00 lim lim xx f xaxbb 函数值 函数值 0 fb 可得可得1b 联立联立 1 0 1 1 b ab ab 3 3 间断点间断点 第一类间断点第一类间断点 可去间断点可去间断点 00 0 lim lim xxxx f xf xf x 跳跃间断点跳跃间断点 00 lim lim xxxx f xf x 第二类间断点第二类间断点 0 lim xx f x 0 lim xx f x 题题 1 求函数求函数 2 2 1 32 x f x xx 的间断点 并判断其类型的间断点 并判断其类型 解 解 1 1 1 2 xx f x xx 在点在点1 2xx 处无定义 故处无定义 故1 2xx 为间断点为间断点 在在1x 处处 极限值 极限值 11 1 lim lim2 2 xx x f x x 左右极限存在且相等 左右极限存在且相等 故点故点1x 为可去间断点为可去间断点 在在2x 处处 左极限 左极限 22 1 lim lim 2 xx x f x x 右极限 右极限 22 1 lim lim 2 xx x f x x 故为第二类间断点故为第二类间断点 在分界点为在分界点为1x 处处 左极限 左极限 11 lim lim xx f xaxbab 右极限 右极限 2 11 lim lim1 xx f xx 函数值 函数值 1 1f 可得可得1ab 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 4 4 3 小时速成课程微信扫一扫 题题 2 求函数求函数 1 1 0 ln 1 0 50 x ex f x xx 的间断点 并判断其类型的间断点 并判断其类型 解 在解 在0 x 处处 左极限 左极限 00 lim lim ln 1 0 xx f xx 右极限 右极限 1 1 00 1 lim lim x xx f xe e 左右极限都存在 但是不相等 故左右极限都存在 但是不相等 故0 x 为跳跃间断点为跳跃间断点 0 x 时时 1 1x fxe 定义域定义域1x 故在故在1x 处也是间断点处也是间断点 左极限 左极限 1 1 11 lim lim0 x xx f xe 右极限 右极限 1 1 11 lim lim x xx f xe 故故1x 为第二类间断点为第二类间断点 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 5 5 3 小时速成课程微信扫一扫 课时一课时一练习题练习题 1 1 2 121 arcsin 3 2 x y xx 求求 f x的定义域 的定义域 2 2 设设 sin 1 cos 2 x fx 求 求 cos fx 3 3 设设 sin 2 xx f x ax x 如果如果 lim x f x 存在 那么存在 那么a为何值 为何值 4 4 设设 1 10 0 sin 0 x axx f xex ax x bx 0 b0a 问问a和和b取何值时取何值时 f x在在 0 x 处连续处连续 5 5 设设 ln 1 0 0 11 0 x x x f xxx xx x x 问问 f x在在 0 x 处是否连续处是否连续 6 6 设设 1 sin20 0 1 sin20 xx x f xkx xx x 求常数求常数k的值 使函数的值 使函数 f x在定义域内连续在定义域内连续 7 7 求函数间断点 并判断其类型求函数间断点 并判断其类型 11 1 31 xx y xx 1 2sin 2 0 1 x x f xx x e 2 3 2 2 x f xx x 1 1 1 4 1 1 x f xx e 学完课时一和课时二 再做练习题 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 6 6 3 小时速成课程微信扫一扫 课时二课时二求极限值求极限值 考点考点重要程度重要程度分值分值常见题型常见题型 求求 极极 限限 1 1 有理化 多项式有理化 多项式 必必 考考10 20 选择选择 填空填空 大题必考大题必考 3 3 重要极限公式重要极限公式 4 4 无穷小公式无穷小公式 4 4 洛必达法则洛必达法则 1 1 有理化 多项式有理化 多项式 题题 1 1 求求极限极限 0 lim 93 x x x 解 解 0000 93 93 limlimlimlim936 93 93 93 xxxx xx xxx x xxxx 题题 2 2 求求极限例 极限例 32 32 342 lim 753 x xx xx 解解 32 3 32 3 42 3 3423 limlim 53 7537 7 xx xx xx xx xx 2 2 重要极限公式重要极限公式 0 sin lim1 sin lim0 1 0 1 lim 1 lim 1 e 题题 1 求极限求极限 0 sin3 lim x x x 解 解 00 sin3sin3 limlim33 3 xx xx xx 题题 2 求极限 求极限 0 tan2 lim x x x 解 解 00000 sin2 tan2sin21sin21sin2 cos2 limlimlimlimlim22 cos2cos2cos22 xxxxx x xxxx x xxxxxxxx 题题 3 求极限 求极限 1 0 lim 1 x x x 解 解 1 1 1 1 1 000 lim 1 lim 1 lim 1 x x x xxx xxxe 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 7 7 3 小时速成课程微信扫一扫 题题 4 4 求极限 求极限 2 11 lim 1 n n nn 解 解 2 1 1 lim 1 222 1111 lim 1 lim 1 lim 1 n n nnn nn nn nnn nn ee nnnn 3 3 无穷小无穷小 1 1 定义 以定义 以0为极限的函数称作无穷小为极限的函数称作无穷小 例 例 0 x 时 时 2 2 tan0 xxx 称为称为0 x 时的无穷小时的无穷小 x 时 时 23 112 0 31xxx 称为称为x 时的无穷小时的无穷小 2 无穷小比较无穷小比较 为自变量某种趋向下的无穷小为自变量某种趋向下的无穷小 lim0 称 称 为为 的高阶无穷小的高阶无穷小 lim0k k 称 称 为为 的同阶无穷小的同阶无穷小 lim1 称 称 为为 的等阶无穷小的等阶无穷小 3 等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式 0 x 时 时 0 x 才成立才成立 x作为整体看待 不仅仅指作为整体看待 不仅仅指x sin xx tan xx arctan xx arcsin xx ln 1xx 1 x ex 1 1 a xax x n x n 1 11 2 2 1 cos1xx 2 1 cos 2 a a xx 题题 1 1 求极限 求极限 0 tan3 lim 2 x x x 解 解 00 tan333 limlim 222 xx xx xx 题题 2 2 求极限 求极限 0 11 lim 1 cos x x x 解 解 00 2 1 11 2 limlim1 1 1 cos 2 xx x x x x 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 8 8 3 小时速成课程微信扫一扫 题题 3 3 求极限 求极限 0 tansin lim 2 arcsin x xx xx 错解 错解 22 00 tansin limlim0 arcsin xx xxxx xxx x 正解 正解 2 233 000 1 tansintan 1 cos 1 2 limlimlim arcsin2 xxx xx xxxx xxxx 题题 4 4 求极限 求极限 2 0 cos lim ln 12 x x ex xx 解 解 222 2 000 coscos 1 1 cos limlimlim ln 12 22 xxx xxx exexex xxxxx 2 2 2 2222 0000 1 1 1 cos 113 2 limlimlimlim 2222244 x xxxx x exx xxxx 题题 5 5 当 当0 x 时 时 11x 与与ax是等价无穷小 求是等价无穷小 求a 解 解 00 1 11 2 limlim1 xx x x axax 可求得可求得 1 2 a 4 4 洛必达法则洛必达法则若满足若满足 0 0 型 则型 则 limlim f xfx g xgx 必须满足必须满足 0 0 型才可以使用 其他形式 不能直接使用型才可以使用 其他形式 不能直接使用 若若 lim fx gx 仍满足仍满足 0 0 型 可以连续使用洛必达法则型 可以连续使用洛必达法则 limlim fxfx gxgx 洛必达法则不是万能的 求极限的时候 首选无穷小替换 再用洛必达法则洛必达法则不是万能的 求极限的时候 首选无穷小替换 再用洛必达法则 题题 1 1 求极限 求极限 3 0 sin lim x xx x 0 0 型 可直接使用洛必达法则型 可直接使用洛必达法则 解 解 2 322 000 1 sin1 cos1 2 limlimlim 336 xxx x xxx xxx 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 9 9 3 小时速成课程微信扫一扫 1 2 2 2 2 2 1 ln ln 1 log ln sin cos cos sin tan sec cot csc sec sectan csc csccot 1 arcsin 1 1 arccos 1 1 arctan 1 1 arccot u xx xx a xx ee x x aaa x xa xx xx xx xx xxx xxx x x x x x x x 2 1x 题题 2 2 求极限 求极限 2 2 3 lim 2 x x xx 型 可直接使用洛必达法则型 可直接使用洛必达法则 解 解 2 2 3221 limlimlim 24142 xxx xx xxx 题题 3 3 求极限 求极限 0 11 lim sin x xx 型 型 方法 通分方法 通分 解 解 00 11sin lim lim sinsin xx xx xxxx 通分后变成 通分后变成 0 0 2 0 sin lim x xx x 先用一部无穷小代换 先用一部无穷小代换 0 cos1 lim 2 x x x 使用洛必达法则 上下求导 使用洛必达法则 上下求导 2 0 1 2 lim0 2 x x x 再使用一步无穷小替换 再使用一步无穷小替换 题题 4 4 求极限 求极限 0 limln x xx 0 型 型 方法 取倒数方法 取倒数 解 解 00 ln limlnlim 1 xx x xx x 取倒数后变成 取倒数后变成 型型 2 00 2 1 limlim0 1 xx x x x x 题题 5 5 求极限 求极限 1 ln 1 lim 2 x x x 1 型 型 方法 取对数方法 取对数 解 令解 令 1 ln 1 lim 2 x x yx 两边取对数两边取对数 11 1ln 2 lnlimln 2 lim lnln xx x yx xx 0 0 型型 111 1 ln 2 2 limlimlim1 1 ln2 xxx xx x xx x ln1y 1 ye 故故 1 1 ln 1 lim 2 x x xe lnln A BAB 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1010 3 小时速成课程微信扫一扫 题题 6 6 求极限 求极限 2sin 0 lim x x x 0 0型 型 方法 取对数方法 取对数 解 令解 令 2sin 0 lim x x yx 两边取对数两边取对数 0 lnlim2sin ln x yxx 0 型 型 0 2ln lim 1 sin x x x 取对数后变成 取对数后变成 型型 22 0000 2 2 2sin22 limlim lim lim 0 cos coscoscos sin xxxx xxx x x xxxxx x ln0y 1y 故故 2sin 0 lim1 x x x 题题 7 7 求极限 求极限 1 ln e1 lim x x x 0 型 型 方法 取对数方法 取对数 解 令解 令 1 ln e1 lim x x yx 两边取对数两边取对数 1ln lnlimlnlim ln e1 ln e1 xx xx x yx 取对数后变成 取对数后变成 型型 1 11 limlimlimlim0 1 1 xx xxxx xxxx x ee x exeexex e ln0y 1y 故故 1 ln e1 lim1 x x x 课时二课时二练习题练习题 1 1 2 2 1 21 lim 1 x xx x 2 2 2 11 lim 2 x xx 3 3 2 2 lim 2 x x x 4 4 2 1 lim x x x x 5 5 1 1 lim 1 m n x x x m n为正整数且为正整数且mn 6 6 2 0 sin lim 1 x x xx x e 7 7 0 cos lim sintan x xxx xx 8 8 1 lim1 x x x e 9 9 1 0 lim 12 x x x 10 10 3 1 ln1 lim x x yx 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1111 3 小时速成课程微信扫一扫 课时三课时三导数导数 考点考点重要程度重要程度分值分值常见题型常见题型 1 1 求导定义公式求导定义公式 0 8选择 填空选择 填空 2 2 求导计算求导计算 1 1 复合函数求导 复合函数求导 必必 考考6 15选择选择 填空填空 大题大题 2 2 微分 微分 3 3 隐函数求导 隐函数求导 4 4 参数方程求导 参数方程求导 3 3 可导 可微 连续之间的关系可导 可微 连续之间的关系 0 3选择 填空选择 填空 1 1 求导求导定义定义公式公式 导数记作形式 导数记作形式 y fx dy dx 求导定义公式 求导定义公式 00 0 0 lim x f xxf x fx x 这个式子有极限值就说明在这点可导 这个式子有极限值就说明在这点可导 左导数 左导数 00 0 0 lim x f xxf x fx x 右导数 右导数 00 0 0 lim x f xxf x fx x 函数在某点可导的充分必要条件 函数在某点可导的充分必要条件 00 fxfx 左导数等于右导数 左导数等于右导数 题题 1 1 求函数 求函数 sin 0 ln 1 0 xx f x xx 在在0 x 的导数的导数 解解 左导数左导数 000 00sinln 1 0sin 0limlimlim1 xxx fxfxx f xxx 右导数右导数 0000 00ln 1ln 1 0ln 1 0limlimlimlim1 xxxx fxfxxx f xxxx 001ff 所以在所以在0 x 处导数处导数 01 f 题题 2 2 已知 已知 21 f 求函数 求函数 0 22 lim h fhfh h 解 解 2 hh h 所以所以 0 22 lim222 h fhfh f h 若若 0 fxA 00 0 0 lim h f xahf xbhahbhab fxA chchc 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1212 3 小时速成课程微信扫一扫 f x g xfx g xf x gx 2 2 2 2 sec sectan csc csccot 1 arcsin 1 1 arccos 1 1 arctan 1 1 arccot 1 xxx xxx x x x x x x x x 2 f xfx g xf x gx g xgx 2 2 求导计算求导计算 题题 1 1 设设ln x yex 求 求 y 解 解 x e xexexey x xxx lnlnln 题题 2 2 设设lncos x ye 求 求dy 解 解 1 sintan cos xxxx x yeeee e tan xx dyee dx 题题 3 3 设设 2 ln1yxx 求 求 y 解 解 1 2 2 2 11 112 2 1 yxx xx 22 1 1 11 x xxx 2 22 11 11 xx xxx 2 1 1 x 题题 4 4 设设 2 sinyfx 求 求 dy dx 解 解 22 sinsin dy fxx dx 22 sincos2fxxx 22 2 cossinxx fx 题题 5 5 设设 yf x 由方程由方程1 y yxe 确定 求确定 求 0 x dy 解 两边同时对解 两边同时对x求导 得求导 得 0 yy yexe y 解得解得 1 y y e y xe 把把0 x 代入原方程可得代入原方程可得1y 所以所以 0 0 1 1 y yx e yedyedx xe 1 2 2 1 ln ln 1 log ln sin cos cos sin tan sec cot csc u xx xx a xx ee x x aaa x xa xx xx xx xx 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1313 3 小时速成课程微信扫一扫 题题 6 6 求曲线求曲线 y exye 在在0 x 处的切线方程 处的切线方程 解 两边同时对解 两边同时对x求导 得求导 得 0 y eyyx y y y y ex 当当0 x 时代入原方程时代入原方程1y 则则 1 y e 则切线方程为则切线方程为 1 1 0 yx e 整理可得整理可得 1 1yx e 题题 7 7 设设 sin 2 1 x yx 求 求 y 解 两边取对数得 解 两边取对数得 2 lnsinln 1yxx 两边同时对两边同时对x求导得 求导得 2 2 12 cos ln 1sin 1 x yxxx yx 于是于是 sin 222 22 22 cos ln 1sin1cos ln 1sin 11 xxx yyxxxxxxx xx 题题 8 8 设设 2 ln 1 arctan xt ytt 求 求 dy dx 2 2 d y dx 解 解 22 12 2 11 dxt t dttt 2 1 1 1 dy dtt 2 2 1 1 1 2 2 1 dy dyt dtt dxt dx dtt 12 2 dyt dd dx dtdt 22 22 121 214 dy d d ydxttdx dtdtttdx 3 3 可导 可微 连续之间的关系可导 可微 连续之间的关系 可导和可微可以认为是一样的 可导就是可微 可微就是可导可导和可微可以认为是一样的 可导就是可微 可微就是可导 参数方程求导方法参数方程求导方法 dx dt dy dt dy dx dy d dx dt 2 2 d y dx 可导 可微可导 可微 连续连续 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1414 3 小时速成课程微信扫一扫 课时三课时三练习题练习题 1 1 求函数求函数 2 sin2 x f x x 0 0 x x 在在0 x 的导数 的导数 2 2 设设 0 2fx 求 求 00 11 lim 2 n f xf xn nn 3 3 设函数设函数 2 x f x axb 1 1 x x 为了使函数为了使函数 f x在在1x 处连续且可导 处连续且可导 a b应取什么值 应取什么值 4 4 设设sincosyxx 求 求 y 5 5 设设 2 ln 1 yx 求 求dy 6 6 设设 ln yfx 求 求 dy dx 7 7 设设 yf x 由方程由方程 x y xye 确定 求确定 求dy 8 8 求曲线求曲线2 y yxe 在在0 x 处得切线方程 处得切线方程 9 9 设设 x yx 求 求 y 10 10 设设 2 2 1 t x yt 求 求 2 2 dy d y dx dx 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1515 3 小时速成课程微信扫一扫 课时四课时四单调性与凹凸性单调性与凹凸性 考点考点重要程度重要程度分值分值常见题型常见题型 1 1 单调性与极值点单调性与极值点 3 8选择选择 填空填空 大题大题 2 2 凹凸性与拐点凹凸性与拐点 题题 1 1 求函数 求函数ln 1 yxx 的单调性与极值 的单调性与极值 解 定义域为解 定义域为 1 x 1 1 1 y x 由由 0y 可得单调增区间为可得单调增区间为 0 x 由由 0y 可得单调减区间为可得单调减区间为 1 0 x 所以所以0 x 为极小值点为极小值点 0 0f 题题 2 2 求函数 求函数 x yxe 的凹凸区间及拐点 的凹凸区间及拐点 解 定义域为解 定义域为 x 1 x yex 2 x yex 由由 0y 可得凹区间为可得凹区间为 2 x 由由 0y 可得凸区间为可得凸区间为 2 x 0y 得得2x 且左右异号 且左右异号 故拐点为故拐点为 2 2 2e 1 1 驻点一定是极值点 驻点一定是极值点 例例 3 yx 2 30yx 驻点为驻点为 0 0 2 2 极值点一定是驻点 极值点一定是驻点 极值点存在于两处 极值点存在于两处 驻点 驻点 一阶导数不存在点一阶导数不存在点 3 3 可导函数极值点一定是驻点 可导函数极值点一定是驻点 去掉了导数不存在的情况 去掉了导数不存在的情况 0 x 不是极值点 因为在不是极值点 因为在0 x 的左右两边的左右两边 y 不是异号不是异号 驻点 一阶导数为驻点 一阶导数为 0 的点的点 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1616 3 小时速成课程微信扫一扫 题题 3 3 证明 当 证明 当0 x 时 时 ln 1 1 x xx x 证明 令证明 令 ln 1 f xxx 1 10 1 f x 故故 f x在在 0 时单调增加 且时单调增加 且 0 0f 于是有于是有 0f x 即 即ln 1 0 xx 得证得证ln 1 xx 令令g ln 1 1 x xx x 2 11 g 0 1 1 x xx 故故 g x在在 0 单调增加 且单调增加 且g 0 0 故故g 0 x 即 即ln 1 0 1 x x x 得证得证ln 1 1 x x x 综合可得 综合可得 ln 1 1 x xx x 课时四课时四练习题练习题 1 1 求函数求函数 32 23f xxx 的单调性与极值的单调性与极值 2 2 求求 32 535yxxx 的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点 3 3 试证 当试证 当0 x 时 时 11 cos x exx 0fx 的点一定是拐点 的点一定是拐点 要保证左右异号 要保证左右异号 拐点一定是拐点一定是 0fx 的点的点 拐点存在于两处拐点存在于两处 0fx 的点 的点 二阶导数不存在点 二阶导数不存在点 二阶导数存在的函数 拐点一定是二阶导数存在的函数 拐点一定是 0fx 去掉了二阶导数不存在的情况 去掉了二阶导数不存在的情况 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1717 3 小时速成课程微信扫一扫 课时五课时五不定积分不定积分 考点考点重要程度重要程度分值分值常见题型常见题型 1 1 直接积分直接积分 3 0选择 填空选择 填空 5 5 凑微分凑微分 必必考考 10 6选择 填空 大题选择 填空 大题 3 3 换元法换元法 4 4 分部积分法分部积分法 5 5 有理化积分有理化积分 不定积分公式表 不定积分公式表 1 1 kdx kxC 2 2 1 1 1 1 a a x x dxC a 1a 2 2 ln dx xC x 3 3 1 1 ln x x a a dxC a 2 2 xx e dxeC 4 4 1 1 sincosxdxxC 2 2 cossinxdxxC 3 3 tanln cosxdxxC 4 4 cotln sinxdxxC 5 5 secln sectanxdxxxC 6 6 cscln csccotxdxxxC 7 7 2 sectanxdxxC 8 8 2 csccotxdxxC 9 9 sec tansecxxdxxC 1010 csc cotcscxxdxxC 5 5 1 1 2 1 arcsin 1 dxxC x 2 2 22 arcsin0 dxx C a a ax 3 3 2 1 arctan 1 dxxC x 4 4 22 1 arctan dxx C axaa 5 5 22 1 ln 2 dxxa C xaaxa 6 6 22 22 ln dx xxaC xa 7 7 22 22 ln dx xxaC xa 8 8 2 22 22 arcsin 22 dxaxx xaC a ax 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1818 3 小时速成课程微信扫一扫 1 1 直接积分直接积分 题题 1 1 2 5 x xdx 解 原式解 原式 5173 2222 210 5 73 xxdxxxC 题题 2 2 2 2 3 1 x dx x 解 原式解 原式 2 22 3333 3 33arctan 11 x dxdxxxC xx 题题 3 3 22 1 1 dx xx 解 原式解 原式 22 111 arctan 1 dxxC xxx 题题 4 4 2x x e dx 解 原式解 原式 2 2 ln 2 x x e e dxC e 题题 5 5 2 sin 2 x dx 解 原式解 原式 11 1 cos sin 222 x x dxxC 题题 6 6 cos2 cossin x dx xx 解解 原式原式 22 cossin cossin cossin cossincossin xxxxxx dxdx xxxx cossin sincosxx dxxxC 加项减项 加项减项 sin22sincosxxx 22 cos2cossinxxx 2 2cos1x 2 1 2sin x 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 1919 3 小时速成课程微信扫一扫 2 2 凑微分凑微分 题题 1 1 2 12 xdx 解 原式解 原式 23 11 1 12 1 2 12 22 3 xdxxC 3 1 12 6 xC 题题 2 2 2 1 x dx x 解 原式解 原式 11 2222 22 1 1 1 1 1 2 xxdxxd xxC 题题 3 3 1 2 5x dx x 解 原式解 原式 111 2 111 5 5 5 ln5 xxx dxdC xx 题题 4 4 1 1 dxxx 解 原式解 原式 22 111 2 2arctan 1 1 dxdxxC xxx 题题 5 5 1 1 xdx e 解 原式解 原式 11 1 ln 1 11 xxx xx e dxdeeC ee 题题 6 6 1 ln dx xx 解 原式解 原式 111 ln ln ln lnln dxdxxC x xx 题题 7 7 tan xdx 解 原式解 原式 sinx1 cosln cos coscos dxdxxC xx 题题 8 8 3 cosd 解 原式解 原式 22 coscoscossindd 23 1 1 sin sinsinsin 3 dC 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 2020 3 小时速成课程微信扫一扫 a t x 22 ax a t x 22 ax a t x 22 xa 题题 9 9 arctan 1 x dx xx 解 原式解 原式 2 2 arctan arctan arctan xdxxC 3 3 换元法换元法 题题 1 1 1 1 2 dx x 解 令解 令1 2xt 2 1 1 2 xt 1 dxtdt 原式原式 11 1 1 lntdtdtttC tt 1 2ln 12 xxC 题题 2 2 3 22 2 1 dx ax 解 令解 令sinxat cosdxatdt 原式原式 2 332 11 cossec a cos atdttdt ta 2 1 tan a tC 22 22 11 tan x tCC aa ax 根式形式根式形式依据公式依据公式所作替换所作替换对应三角形对应三角形 22 ax 22 sincos1tt sinxat 22 ax 22 1tansectt tanxat 22 xa 22 tansec1tt secxat 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 2121 3 小时速成课程微信扫一扫 4 4 分部积分法分部积分法u v dxudvuvv duuvv u dx 题题 1 1 lnxxdx 解 原式解 原式 2222222 11111111 lnlnlnlnln 2222224 xdxxxx dxxxxdxxxxC x 题题 2 2 arctanxxdx 解 原式解 原式 2 1 arctan 2 xdx 222 2 11111 arctanarctanarctan 1 22221 xxx dxxxdx x 2 111 arctanarctan 222 xxxxC 题题 3 3 ln xdx 解 原式解 原式lnlnln1lnxxxdxxxdxxxxC 题题 4 4 x edx 解 原式解 原式22222222 ttttttxx etdttdet ee dtteecxeeC 5 5 有理化积分有理化积分 题 题 2 1 56 x dx xx 2 11 2 3 23 56 3 2 32 2 3 2 3 xxABA xB xAB xAB xxxxxxxxxx 231AB xABx 1 231 AB AB 4 3 A B 故故 2 143 5632 x dxdx xxxx 4ln33ln2xxC 令令xt 2 xt 2dxtdt 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 2222 3 小时速成课程微信扫一扫 课时五课时五练习题练习题 1 1 22 1 xdx 2 2 2 cos 2 xdx 3 3 sin x b axedx 4 4 2 2 tan 1 1 xdx x x 5 5 2 23 x dx x 6 6 xx dx ee 7 7 3 tansecxxdx 8 8 2 22 x dx ax 9 9 2 1x dx x 1010 ln n xxdx 1111 arcsin xdx 1212 2 ln xdx 1313 2 tanxxdx 1414 3 84 21 x dx xx 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 2323 3 小时速成课程微信扫一扫 课时六课时六定积分定积分 考点考点重要程度重要程度分值分值常见题型常见题型 1 1 定积分计算定积分计算 1 1 凑微分 分部积分类型凑微分 分部积分类型 2 2 换元换限类型换元换限类型 3 3 反常积分反常积分 必必 考考6 86 8 分分大题大题 2 2 定积分的性质定积分的性质 0 60 6 分分选择 填空选择 填空 3 3 积分的导数积分的导数 0 60 6 分分大题大题 1 1 定积分的计算 定积分的计算 题题 1 1 计算定积分 计算定积分 1 20 1 4 dx x 凑微分 凑微分 解 原式解 原式 11 2200 11 2 2 11 22 x dxd xx 1 0 1 arcsinarcsin0 226 x 题题 2 2 计算定积分 计算定积分 3 0 2 arctanxxdx 分部积分 分部积分 解 原式解 原式 3 2 0 arctan xd x 33 22 00 arctanarctanxxx dx 2 33 22 00 1 1 11 x dxdx xx 3 0 4 arctan3 3 xx 题题 3 3 计算定积分 计算定积分 2 0 sin x dx 分段积分 分段积分 解 原式解 原式 2 0 sinsinxdxxdx 2 0 coscosxx 4 题题 4 4 计算 计算 2 0 f x dx 其中 其中 2 11 1 1 2 xx f x xx 分段积分 分段积分 解 解 212 001 f x dxf x dxf x dx 12 2 01 1 1 2 xdxx dx 1 2 23 1 0 118 263 xxx 题题 5 5 计算定积分 计算定积分 ln2 0 1 x edx 换元换限 换元换限 解 解 1 x et 2 ln 1xt 2 2 1 t dxdt t 0 x 时时0t ln2x 时时 1t 故故 ln211 22 000 21 121 11 x t edxtdtdt tt 1 0 2arctan2 12 42 tt 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 2424 3 小时速成课程微信扫一扫 题题 6 6 22 0 a ax dx 换元换限 换元换限 解 解 sinxat cosdxatdt 0 x 时时0t xa 时时 2 t 故故 2222 22 000 coscoscos a ax dxat atdtatdt 22 2 2 2 0 0 1 cos21 sin2t 2224 taa adtt 题题 7 7 2 0 1 22 dx xx 反常积分 反常积分 积分区间无界 积分区间无界 解 原式解 原式 2 0 1 1 11 d x x 0 arctan1x lim arctan1arctan1 x x 244 题题 8 8 1 2 0 1 dx x 反常积分 反常积分 被积函数无界 被积函数无界 解 原式解 原式 1 2 0 1 1 1 dx x 1 0 1 1x 1 无值 无值 2 2 定积分的性质定积分的性质 题题 1 1 3 cos1xxdx 解 解 33 cos1cosxxdxxxdxdx 3 cosxx为奇函数 积分区域为奇函数 积分区域 对称 故对称 故 3 cos0 xxdx 故原式故原式 2dx 题题 2 2 1 1 0 Ixdx 1 2 2 0 Ix dx 1 3 3 0 Ix dx 比较 比较 1 I 2 I 3 I大小大小 解 在解 在 0 1上 上 23 xxx 故故 123 III 若被积函数若被积函数 f x为奇函数 积分区间对称为奇函数 积分区间对称 a a 则 则 0 a a f x dx 若若 1f x 则 则 bb aa f x dxdx ba 设 xa b f xg x 则 bb aa f x dxg x dx 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 2525 3 小时速成课程微信扫一扫 题题 3 3 2 0 cosf xxf x dx 求 求 f x 解 令解 令 2 0 f x dxA 则 则 cosf xxA 两边积分两边积分 22 00 cosf x dxxA dx 2 0 sinsin22xAxA 即即sin22AA sin2A cossin2f xx 3 3 积分的导数积分的导数 22 11 2211 xx xx d f t dtf t dtfxxfxx dx 题题 1 1 2 2 0 1 x d t dt dx 解 原式解 原式 2 22 121 00 xx 4 21xx 题题 2 2 求极限 求极限 21 cos 2 0 lim t x x edt x 解 原式解 原式 2 cos 0 0sin lim 2 x x ex x 2 cos 1 0 sin1 lim 22 x x ex e x 课时六课时六练习题练习题 1 1 5 1 1 31dxx 2 2 2 0 sin2xxdx 3 3 2 0 cos x dx 4 4 2 0 f x dx 其中 其中 2 3 4 21 xx f x xx 01 12 x x 5 5 8 3 1 1 dx xx 6 6 1 1 54 x dx x 7 7 22 2 sin 1 a a x axdx x 8 8 1 1 0 Ixdx 1 2 0 lnIxdx 1 3 0 Ixdx 比较比较 123 II I大小大小 9 9 求极限求极限 sin 0 1 3 x dtdt dx 10 10 求极限求极限 1 sin 0 0 0 1 lim sin x t x x t dt t dt t 高斯课堂系列课程高斯课堂系列课程官方公众号 蜂考官方公众号 蜂考蜂考蜂考 大学生备考集训营大学生备考集训营 2626 3 小时速成课程微信扫一扫 课时七课时七定积分的应用定积分的应用 考点考点重要程度重要程度分值分值常见题型常见题型 4 4 利用定积分求面积利用定积分求面积 必考必考3 123 12 分分选择 填空 大题选择 填空 大题 5 5 利用定积分求体积利用定积分求体积 1 1 用定积分求面积 用定积分求面积 题题 1 1 计算 计算lnyx x轴 以及轴 以及xe 围成的图形面积围成的图形面积 题题 2 2 计算抛物线 计算抛物线 2 2yx 与与4yx 所围成的图形面积所围成的图形面积 解法二 解法二 解 解 2 1 4 2 dAyydy 4 2 2 1 4 2 Ayydy 4 23 2 418 26 yy y dx 1 A lnyx dx ln x dx 22xx 2 A 24xx 2 2 8 4 解 解 lndAxdx 1 11 lnln1 ee e AdAxdxxxx 解 解 1 222 2dAxxdxxdx 22 11 00 16 2 2 3 AdAxdx 2 2424dAxxdxxx dx