根轨迹绘制的基本法则.ppt

例4 2 2 要求画出根轨迹 某单位反馈系统 分析 1个开环零点 3个开环极点 5 2 1 0 3绘制根轨迹图的基本规则 规则一 根轨迹的分支数 根轨迹的分支数等于开环极点数n 根轨迹的分支数即根轨迹的条数 既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根 即闭环极点 在s平面上的分布 那么 根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数 闭环系统的阶次为3 有3条根轨迹 闭环极点数 闭环特征方程的阶次 开环传递函数的阶次 开环极点数 例 规则二 根轨迹的起点和终点 每条根轨迹都起始于开环极点 终止于开环零点或无穷远点 根轨迹是Kr从0 时的根变化轨迹 因此必须起始于Kr 0处 终止于Kr 处 观察幅值条件 分三种情况讨论 如果n m 即开环零点数与极点数相同时 根轨迹的起点与终点均有确定的值 如果n m m条根轨迹趋向开环的m个零点 称为有限零点 而另n m条根轨迹趋向无穷远处 称为有限零点 对于例题 3条根轨迹始于3个开环极点 一条止于开环零点 另两条 n m 2 趋于无穷远处 如果n m 即开环零点数大于开环极点数时 除有n条根轨迹起始于开环极点 称为有限极点 外 还有m n条根轨迹起始于无穷远点 称为无限极点 这种情况在实际的物理系统中虽不会出现 但在参数根轨迹中 有可能出现在等效开环传递函数中 规则三 根轨迹的对称性 根轨迹各分支是连续的 且对称于实轴 证明 1 连续性 系统开环根轨迹增益Kr 实变量 与复变量s有一一对应的关系 当Kr由零到无穷大连续变化时 描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的 因此 根轨迹是n条连续的曲线 证明 2 对称性 由于实际的物理系统的参数都是实数 若它的特征方程有复数根 一定是对称于实轴的共轭复根 因此 根轨迹总是对称于实轴的 规则四 实轴上的根轨迹 在实轴的线段上存在根轨迹的条件是 其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数 例如系统的开环零 极点分布如图 1 2 5 要判断和之间的线段是否存在根轨迹 取实验点 开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消 G s0 的相角由实轴上的开环零极点决定 处在G s0 左边的开环零极点提供的角度均为零 相角条件由其右边的零极点决定 奇数个 无论如何加减组合 总能使 l l 1 3 成立 对于例题 在实轴上的根轨迹 一条始于开环极点 止于开环零点 另两条始于开环极点 止于无穷远处 规则四 实轴上的根轨迹 在实轴的线段上存在根轨迹的条件是 其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数 1 2 5 渐近线 根轨迹有n m条渐进线 渐近线与实轴的夹角为 渐近线与实轴的交点为 l它们是针对n m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l如果知道了渐近线 可以马上画出根轨迹的大致形状 规则五 证明 见图4 5 对于位于根轨迹上某一动点s0 从各开环零极点到这一点的向量的相角随s0轨迹的变化而变化 当s0到达无穷远处 各相角相等 令其为 可写成 进而求出渐近线夹角 由对称性知 渐近线一定交于实轴上 其交点实际上相当于零极点的质量重心 按照重心的求法 可求知交点的坐标 对例4 2 2 交点坐标为 即 1 j0 渐近线与实轴夹角为 规则六 当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点或会合点 大多发生在实轴上 仅讨论实根 性质 在此点上必出现重根 利用根轨迹的性质可知 当根轨迹出现在实轴上两相邻极点间时 必有一分离点 若当根轨迹出现在两相邻零点间 包括无穷远零点 时 必有一会合点 根轨迹的分离点与会合点 分离点与会合点是方程式的根 根轨迹在该点上对应的Kr取这段实轴区域的极值 分离点 最大值 会合点 最小值 由求极值的公式求出 它们可以利用代数重根法或极值法求出 介绍后者 在实轴根轨迹上 求使Kr达到最大 最小 值的s值 注意 求出结果 需经判断 保留合理解 如果根在实轴根轨迹上 保留 否则 舍去 求出重根角为 在例题4 2 2中 解出 对上图的观察 后两个根不在根轨迹上 因此交点坐标为 0 447 j0 处 求出重根角为 规则七 根轨迹与虚轴的交点 交点和相应的Kr值利用劳斯判据求出 根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态 此时系统出现虚根 在例4 2 2中 系统闭环特征方程式为 即 劳斯行列式 当6 2Kr 0时 特征方程出现共轭虚根 求出Kr 3 虚根可利用s2行的辅助方程求出 与虚轴的交点 与虚轴的交点为 例4 2 2的根轨迹如图 Kr 084 1 画出开环零极点 2 确定根轨迹根数 3 画出实轴上的根轨迹 4 求渐进线 n m 5 求分离点 6 求与虚轴交点 7 画出根轨迹 8 求出特殊点对应的Kr值 规则九 Kr值由根轨迹幅值条件求出 如分离点 0 447 j0 处的Kr值 规则八 根轨迹的出射角 在开环复数极点px处 根轨迹的出射角为 在开环复数零点zy处 根轨迹的入射角为 若系统存在复数开环零极点 需要知道根轨迹从此点出发 进入 的方向角度 可根据相角条件求出 证明 设一系统的开环零 极点分布如图所示 点为从出发的根轨迹上一点 该点到所有零极点的应符合相角条件 l而 p1 p2 p4 z都分别趋近于各开环零极点相对于P3点的向量的相角 此时 出射角可以计算 同理可证明入射角 例4 2 3 设系统开环零极点图如图4 7 其中 确定根轨迹离开共轭复数根的出射角 根据公式 考虑到根轨迹的对称性 出射角 p3 5 p4 5 例 根轨迹起始角 1 2 1 108 5 90 59 37 19 56 5 P2 P3 P4 P1 Z3 Z2 Z1 90 121 153 199 63 5 117 P2 P3 P4 P1 Z3 Z2 Z1 根轨迹终止角 k 1 根轨迹示例1 根轨迹示例2 j 0 n 1 d conv 120 122 rlocus n d n 12 d conv 125 1610 rlocus n d 例4 2 4 作的根轨迹 开环极点3个 分析 n 3 m 0 没有开环零点 在s平面上的极点处标以 根据规则一 二 三 根据规则四 实轴上0 为根轨迹 分别起始于3个开环极点 均终止于无穷远处 根轨迹有三个分支 图4 8 根据规则五 求渐近线 n m 3条 例4 2 4 渐近线与实轴夹角 渐近线与实轴的交点 2 767 60 没有分离点 例4 2 4 根据规则七 求出根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程 Kr 256 必对应于一对纯虚根 以的系数构成辅助方程 例4 2 4 根据规则八求出射角 对P2 根轨迹的出射角为 由对称性知 4 j4处的射角为45 根轨迹完成 例4 2 5 作的根轨迹 该系统n 3 m 1 根据规则一 二 三 一个零点 有三个开环极点 该根轨迹有三个分支 分别起始于p 0 两条 和p 12处 有一个分支终止于z 1 另两个分支趋于无穷远 根据规则四 实轴上存在根轨迹是从 12到 1之间 例4 2 5 根据规则五 渐近线有2条 n m 2 5 5 渐近线夹角 渐近线与实轴的交点 例4 2 5 根据规则七 求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程是 Kr 0时 第一列元素都为正值 根轨迹与虚轴交点于Kr 0处 例4 2 5 根据规则六 求分离点和会合点 则 s1 5 18 s2 2 31 s3 0 可知一部分根轨迹为圆 据此 可画出根轨迹 均在根轨迹上 大Kr 分离点 小Kr 会合点 求出重根角为 例4 2 5 利用幅值条件 可求出分离点和会合点处的Kr值 s1是分离点 s2是会合点 完整的绘出根轨迹如图4 9所示 图4 9 作业 4 1 4 2 4 3看书p151 表4 1常规根轨迹 s1 5 18 s2 2 31 s3 0 例4 2 6 根据规则一 二 三 有四个极点 p1 0 p2 2 p3 4 1 j2 分析 n 4 m 0 该根轨迹共有四个分支 2 P1 P2 P3 P4 根据规则四 实轴上存在根轨迹是从 2到0之间 终止于无穷远 分别起始于p1 p2 p3 4 例4 2 6 根据规则五 n m 4条渐近线 与实轴交点 渐近线相角分别为 p1 0 p2 2 p3 4 1 j2 1 根据规则八 计算出射角和入射角 例4 2 6 复数极点p3 1 j2的出射角 复