上海高中数学之直线与圆(打印版).doc

直线与圆【直线的倾斜角与斜率】直线的倾斜角与斜率的概念；直线的倾斜角与斜率的关系.注意数形结合思想方法的运用！1已知点A(2,-3)，B(-3,-7)，直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是_变式1：两直线与相交于第一象限的点，则a的范围是_（，）变式2：如果那么直线不经过第 象限【直线的方程】直线方程的点斜式、两点式、点向式、法向式、斜截式、截距式；直线方程的一般式.求直线方程的方法：直接法；待定系数法5已知直线l：，则过点P（1,2）且与直线l所夹锐角为的直线方程为_（直接法）或变式：已知直线l：，则过点P（1,2）且倾斜角是直线l倾斜角两倍的直线方程为_呢？ 呢？6求过点P(3,2)且在两坐标轴上截距之和为0的直线方程.法一：设截距式方程法二：设点斜式方程或变式1：过点P(3,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_或变式2：过点P(3,2)且到原点的距离为3的直线方程为_设点斜式方程或变式3：过点P(3,2)并使A(2,-3)、B(6,1)到它的距离相等的直线方程为_或法一：从几何特征分类讨论求解法二：设点斜式方程变式4：过点P(3,2)且与圆相切的直线方程为_或设点斜式方程变式5：求过点P(3,2)且与x轴、y轴正半轴围成三角形面积最小时的直线方程.法一：设点斜式方程法二： 设截距式方程法三：设角变式6：设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标为（2，-1），则直线AB的方程为_设点法变式7：过点P(3,0)作直线l，使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被P点平分，求直线l的方程.设点法变式8：ABC中，BC边上的高所在直线方程为x-2y+1=0，A的平分线所在直线方程为y=0，若B(1,2)，求点A和点C的坐标.（，），（，）【直线的定点问题】7直线，当k变化时，直线恒过定点_（，）变式1：直线一定经过第_象限.三变式2：判断直线与圆的位置关系.相交【解析几何中的对称问题及其应用】点关于点的对称：理论基础：点关于的对称点为，即是的中点，特别是中点的应用比较广泛，中点也就是对称的另一种说法而已.例 1 已知平行四边形的四个顶点坐标分别为 ，求的值.方法一：利用斜率相等方法二：利用对角线互相平分，方法三：利用向量相等答案：变式 已知矩形的两个顶点,且它的对角线的交点在轴上，求的坐标.方法一：设对角线中点，利用邻边垂直；方法二：设对角线中点，利用对角线相等且互相平分；答案：直线关于点的对称：理论基础：就本质而言，直线关于点的对称即点关于点的对称，结合几何特性，直线关于点的对称直线与已知直线平行（对称点不在直线上），应用几何特性就可以降低解题运算量，提高解题效率.例 2 求直线关于点对称的直线的方程.方法一：取两点，求对称点，求方程。方法二：因为所求直线与已知直线平行，可设平行直线，然后取一点对称后代入。方法三：根据平行设方程，再利用距离相等求参数。方法四：应用轨迹思想答案：结论：直线关于点的对称直线为圆关于点的对称：首先圆是关于自己圆心自对称的图形其次圆关于点的对称图形仍然为圆，且半径不变，所以圆关于点的对称即为点关于点的对称点关于直线的对称：理论基础：点关于直线的对称点为，则A，的中点在直线上，且与垂直，根据两个关系，建立方程组进行求解例 3 求点关于直线的对称点答案： 结论：特殊的对称轴求对称点的方法：对于对称轴为轴、轴、的对称问题，我们可以利用更简单的方法直接写出对称点，不必再利用方程组的思想去求解变式1 求直线关于直线对称的直线方程直线关于直线的对称：理论基础：直线关于直线对称，即点关于直线对称，解决方法一：取两点，分别求对称，得到方程；方法二：求交点（交点存在）再求一个点的对称点即可答案：变式2 直线关于直线的对称直线方程为_答案：结论：同样的对于对称轴为特殊直线的问题可以直接给出：关于直线的对称直线为：变式3已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为_圆关于直线的对称：如果圆本身关于直线对称，说明直线经过圆的圆心；若求圆关于直线的对称圆，即转化为圆心关于直线的对称点问题，半径不变和直线相同，对于特殊对称轴问题可以应用同样的结论答案：例 4 已知、，点在直线上，若使取最小值，则点的坐标为_答案：变式1 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则入射光线所在直线的方程是_答案：反射光线：，入射光线：变式2 自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则光线l所在直线的方程为_答案：或变式3 在轴上有一点，直线上有一点，定点，若的周长最小，求两点的坐标答案例如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：yx反射反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PBPQ的最小值及此时点P的坐标xyOABl2l1lxyOABl2l1lD解：（1）直线l1：y2, 设l1交l于点D，则D（，2） l的倾斜角为30,l2的倾斜角为60 反射光线l2所在直线的方程为 即 已知圆C与l1切于点A，设 C(a , b ) 圆心C在过点D且与l垂直的直线上， 又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上， 由得 圆C的半径r3 故所求圆C的方程为 （2）设点B(0, 4）关于l的对称点B(x0 ,y0) 则 且 得B(, 2) , 固定点Q可发现，当B，P，Q共线时，PBPQ最小，故PBPQ最小值为BC3 解得 PBPQ最小值为BC3【轨迹法的简单应用】例6 若方程 （1）当且仅当在什么范围内，该方程表示一个圆；（2）当在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程解析：（1）由， ， 当且仅当时， 即时，给定的方程表示一个圆。 （2）设圆心坐标为，则（为参数）。消去参数，为所求圆心轨迹方程。点评：圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。例7 已知圆A过点()，且与圆B：关于直线对称(1)求圆A和圆B方程； (2)求两圆的公共弦长；(3)过平面上一点向圆A和圆B各引一条切线,切点分别为C、D，设，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值解：（1）设圆A的圆心A（a，b），由题意得： 解得 设圆A的方程为，将点P()代入得r2 圆A：，圆B： （2）由题意得两圆的公共弦所在直线方程为l：xy20，设(0, 0)到l的距离为d, 则d, 公共弦长m2 （3）证明：由题设得：, 化简得：, 配方得： 存在定点M()使得Q到M的距离为定值，且该定值为.例8已知：以点C (t, )(tR , t 0)为圆心的圆与x轴交于点O、A, 与y轴交于点O、B, 其中O为坐标原点.（1）求证：OAB的面积为定值；（2）设直线y2x4与圆C交于点M、N，若OMON，求圆