刚体平面运动瞬心法、加速度

刚体复合运动 基点法的回顾 刚体的平面运动 合成 基点 w e与基点无关 平移的速度和加速度与基点有关 3 Generalplanemotion刚体的平面运动 以A为基点 随基点A平移到A B 后 绕基点转角到A B 以B为基点 随基点B平移到A B 后 绕基点转角到A B 图中看出 AB A B A B 于是有 再例如 平面图形S在 t时间内从位置I运动到位置II 3 Generalplanemotion刚体的平面运动 P Methodofrelativevelocity Page24 确定速度方向 结论 平面图形内任一点的速度等于基点的速度和该点随图形绕基点转动速度的矢量和 Instantcenterforvelocities速度瞬心法 概念 即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零 该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心 简称速度瞬心instantcenter 该点可位于刚体内或者刚体外bodyextended 用瞬心法可以更方便的求解速度问题 但是不使用于加速度的计算 b Instantcenterforvelocities瞬心法 P26 b Instantcenterforvelocities瞬心法 Theinstantcenterforvelocitiesofabodyundergoingplanemotionisdefinedtobethepointthathaszerovelocityattheinstantunderconsideration Thispointmaybeeitherinabodyoroutsidethebody inthe bodyextended Itisoftenconvenienttousetheinstantcenterofthebodyincomputingthevelocitiesofpointsinthebody 2 速度瞬心的推导过程平面图形S 某瞬时其上一点A速度 图形角速度 沿方向取半直线AL 然后顺 的转向转90o至AL 的位置 在AL 上取长度则 因此 可以证明只要角速度 不等于零 在垂线AL 总会有一点P 这点的瞬时速度等于零 为了找到瞬心 我们做一条直线垂直于速度VA 另一条直线垂直于速度VB 在图中可看出 两条直线交汇于一点O O点便是瞬心 如果O点不位于刚体的形状当中 我们假设刚体足够大可以包容下改点 这种情况就叫做Bodyextended thoughBthatisperpendiculartovB ThesetwolineswillintersectatapointlabeledOinthefigure IfpointOdoesnotlieinthebody wesimplyimaginethatthebodyisenlargedtoincludeit theexpandedbodybeingcalledthebodyextended Inordertofindtheinstantcenterforvelocities weconstructalinethroughAthatisperpendiculartovA andaline 图中可以看出O点为瞬心 且该点的速度为零 因为A B andO三点都位于同一个刚体上 或者刚体外orbodyextended 所以我们可以得到以下公式 2 6a 2 6b 这里rA OandrB O是A点和B点相对于O点的相对位置向量Fig b WenowshowthatpointOistheinstantcenter thatis thatthevelocityofOiszero BecauseA B andOarepointsinthesamerigidbody orbodyextended wecanwritethefollowingequations 2 6a 2 6b whererA OandrB OaretherelativepositionvectorsshowninFig b 选瞬心C为基点时有 图形上各点速度分布如同图形绕C作定轴转动一样 平面图形的瞬时运动为绕瞬心的瞬时转动 其连续运动为绕一系列瞬心的转动 刚体平面运动中各点的速度分析 确定速度瞬心位置的方法有下列几种 1 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动 图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心 如车轮在地面上作无滑动的滚动时 2 已知图形内任意两点A和B的速度的方向 速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上 3 已知图形上两点A和B的速度相互平行 并且速度的方向垂直于两点的连线AB 则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的交点C上 4 某瞬时 图形上A B两点的速度相等 如图所示 图形的速度瞬心在无限远处 瞬时平动 此时物体上各点速度相同 但加速度不一定相等 另外注意 瞬心的位置是随时间在不断改变的 它只是在某瞬时的速度为零 加速度并不为零 1 已知一点的速度及刚体的角速度 2 已知两点的速度方向 且互不平行 4 瞬时平动 3 两点速度方向平行且垂直于这两点的连线 归纳总结 瞬时速度中心的几种求法 瞬时速度中心的几种求法P28 书本上的总结 注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的 而是随时间不断变化的 在任一瞬时是唯一存在的 速度瞬心的速度为零 其加速度一定不为零 不同于定轴转动 刚体作瞬时平移时 虽然各点的速度相同 但各点的加速度是一定不相同的 不同于刚体作平移 已知曲柄滑块机构的R 求图示瞬时 位置 的 Sampleproblem4曲柄滑块机构 C为AB杆的速度瞬心 瞬心法 Solution 已知 半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动 轮心速度为vO 求 轮缘上B C D三点的速度 Sampleproblem5 圆轮与地面接触点A为速度瞬心 如轮子沿曲线轨道纯滚动 是否成立 Solution瞬心法 同理 曲柄肘杆压床机构 A O B D C 30 30 w P1 P2 特别提示每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度 并且瞬心在刚体或其扩展部分上 不能认为瞬心在其他刚体上 例如 AB杆的瞬心在P1点 BC杆的瞬心在P2点 而且P1也不是DB杆上的点 已知 求 1 B和D点的速度 2 AB杆的角速度 Sampleproblem6三连杆机构 图中的几何关系 Solution瞬心法 已知 行星轮系固定轮半径R 行星轮半径r 只滚不滑 曲柄角速度w 求 行星轮上M点速度 Sampleproblem8 Solution瞬心法 速度投影定理 同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等 这就是速度投影定理 速度投影定理 由于vBA垂直于AB 因此 vBA AB 0 于是 将等式两边同时向AB方向投影 A B 已知曲柄滑块机构的R 求图示瞬时 位置 的 Sampleproblem9 能否由速度投影定理求得刚体的角速度 Solution速度投影定理 基点法有 根据速度投影定理 对VA和VB分别做在AB方向上的投影 于是有 Solution直接求导法 例1椭圆规机构如图 已知连杆AB的长度l 20cm 滑块A的速度vA 10cm s 求连杆与水平方向夹角为30 时 滑块B和连杆中点M的速度 解 AB作平面运动 以A为基点 分析B点的速度 由图中几何关系得 方向如图所示 A vA B wAB 30 M 30 求速度的几种方法的回顾 一 基点法求解 以A为基点 则M点的速度为 将各矢量投影到坐标轴上得 解之得 A vA B wAB 30 M x y 一 基点法求解 二 用速度瞬心法 解 AB作平面运动 A vA B 30 C M 瞬心在C点 三 速度投影定理 解 由速度投影定理得 A vA B 30 1 M 2 Methodofrelativeacceleration基点法求平面图形内各点的加速度 取A为基点 将平移坐标系固结于A点取B动点 则B点的运动分解为随基点的平移和绕基点的转动 相对运动轨迹为圆周和牵连运动轨迹为直线 已知 图形S内一点A的加速度和图形的 某一瞬时 求 该瞬时图形上任一点B的加速度 如图所示 由速度合成定理 有 而 其中 故 B A 分别求导可得 即 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 这就是平面运动的加速度合成法 称为基点法 B A aA aB aA aBA w a P29 2 8 Methodofrelativeacceleration 加速度表示法1 Methodofrelativeacceleration 加速度表示法2 P29 2 9 基点法 共有5个可能的未知数 aP aO 只有2个标量方程 必须已知5个中的3个量才能求解 P c Methodofrelativeacceleration Sampleproblem 已知 R const 求图示位置时滑块的加速度 选A为基点 等式两边向BA方向投影 向与AB垂直的方向投影 SolutionMethodofrelativeacceleration 基点法求速度中得出 已知 半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动 轮心速度为vO 加速度为aO 求 轮缘上A B二点的加速度 Sampleproblem11 取O点为基点 分析A点的加速度 SolutionMethodofrelativeacceleration 取O点为基点 分析B点的加速度 SolutionMethodofrelativeacceleration 加速度瞬心法图形或其延拓部分上加速度为零的点称为该瞬时的瞬时加速度中心 图形上各点加速度的分布如同图形绕C作定轴转动一样 刚体平面运动中各点的加速度分析 已知梯子AB长l 一端靠在墙上 如图所示 梯子下端A以等速u向右水平地拖动 求夹角 为30o时B点的加速度和杆的角加速度 Sampleproblem12