函数的单调性与导数-题型分类讲解_第1页
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3 3 1函数的单调性与导数 1 用导数判断函数单调性的法则设函数y f x 在区间 a b 内可导 1 如果在 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是增函数 2 如果在 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是减函数 即函数f x 在区间 a b 内 2 上述结论可用图来直观理解 2 求函数的单调区间的方法求函数的单调区间 就是解不等式f x 0或f x 0 这些不等式的解就是所求的单调区间 求函数单调区间的步骤如下 1 求f x 的定义域 2 求出f x 3 解不等式f x 0 或f x 0 可得函数的增区间 或减区间 3 判断函数的单调性的方法判断函数f x 在 a b 内的单调性的方法 1 求f x 的定义域 2 求出f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 特别提醒 若无穷多个点使f x 0 那么这些点必须是离散的 不能构成区间 求下列函数的单调区间 1 f x x x3 2 f x sinx cosx x 1 x 0 2 策略点睛 题后感悟 1 如何利用导数判断或证明函数的单调性 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性 实质上就是判断或证明不等式f x 0 f x 0 在给定区间上恒成立 一般步骤为 求导数f x 判断f x 的符号 给出单调性结论 2 注意事项 如果出现个别点使f x 0 不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性 已知a 0 且a 1 证明函数f x ax xlna在 0 内是减函数 证明 f x axlna lna lna ax 1 x1时 lna 0 ax1 f x 0 即f x 在 0 内是减函数 综上 函数f x 在 0 内是减函数 若函数f x ax3 x2 x 5在R上单调递增 求实数a的取值范围 练习 1 若函数f x kx3 3 k 1 x2 k2 1 k 0 的单调递减区间为 0 4 求k的值 2 若函数f x x3 ax2 1在R上单调递增 求a的取值范围 思考 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 请说明理由 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 题型四 导数和函数的图像 函数f x 的
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