第一章 集合与常用逻辑用语第1节

第一章 集合与常用逻辑用语第一节集_合1集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或N2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素xAxBAB或BA真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AAB，且x0B，x0AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同AB，BAAB空集不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集x，x，A，B(B)3集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA4集合的运算性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)补集的性质：A(UA)；A(UA)；U(UA)；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若x2,10,1，则x0,1.()(2)x|x1t|t1()(3)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(4)任何一个集合都至少有两个子集()(5)若AB，则AB且AB.()(6)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立()(7)若ABAC，则BC.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2(2017全国卷)设集合A1,2,3，B2,3,4，则AB()A1,2,3,4B1,2,3C2,3,4 D1,3,4解析：选A由题意得AB1,2,3,43(2017北京高考)若集合Ax|2x1，Bx|x3，则AB()Ax|2x1 Bx|2x3Cx|1x1 Dx|1x3解析：选A由集合交集的定义可得ABx|2x14(2017北京高考)已知全集UR，集合Ax|x2或x2，则UA()A(2,2) B(，2)(2，)C2,2 D(，22，)解析：选C由已知可得，集合A的补集UA2,25已知集合A0,1，x25x，若4A，则实数x的值为_解析：4A，x25x4，x1或x4.答案：1或46已知集合P2,3,4,5,6，Q3,4,5,7，若MPQ，则M的子集个数为_解析：由题意可知，M3,4,5，故M的子集个数为238.答案：8考什么怎么考集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及元素与集合之间的关系及根据集合中元素的特性(特别是集合中元素的互异性)，来确定集合元素的个数或求参数值，属于基础题.1(2017全国卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中元素的个数为()A3B2C1 D0解析：选B因为A表示圆x2y21上的点的集合，B表示直线yx上的点的集合，直线yx与圆x2y21有两个交点，所以AB中元素的个数为2.2(2018南昌模拟)已知集合M1,2，N3,4,5，Px|xab，aM，bN，则集合P的元素个数为()A3 B4C5 D6解析：选B因为aM，bN，所以a1或2，b3或4或5.当a1时，若b3，则x4；若b4，则x5；若b5，则x6.同理，当a2时，若b3，则x5；若b4，则x6；若b5，则x7，由集合中元素的特性知P4,5,6,7，则P中的元素共有4个3若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a等于()A. B.C0 D0或解析：选D若集合A中只有一个元素，则方程ax23x20只有一个实根或有两个相等实根当a0时，x，符合题意当a0时，由(3)28a0，得a，所以a的值为0或.4设a，bR，集合1，ab，a，则ba()A1 B1C2 D2解析：选C因为1，ab，a，所以a0，ab0，则1，所以a1，b1.所以ba2.5已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_解析：由题意得m23或2m2m3，则m1或m，当m1时，m23且2m2m3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m时，m2，而2m2m3，故m.答案：怎样快解准解1与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集(2)看这些元素满足什么限制条件(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性2常见易错探因第2题，第5题易忽视集合中元素的互异性而导致错误；第3题集合A中只有一个元素，要分a0与a0两种情况进行讨论，此题易忽视a0的情形集合间的关系有相等、子集(包含真子集)等，其中子集是高考考查重点，要能准确判定一个具体集合是否是另一个具体集合的子集多以选择题形式出现，属于基础题(一)直接考两集合间基本关系的判断1已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则()ABABABCAB DBA解析：选C由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4，比较A，B中的元素可知AB，故选C.2(2018烟台调研)已知集合M，集合N，则()AMN BMNCNM DMNM解析：选B由题意可知，M，N，所以MN，故选B.3(2018云南第一次检测)设集合Ax|x2x20，则集合A与B的关系是()ABA BBACBA DAB解析：选A因为Ax|x2x21或x0.在数轴上标出集合A与集合B，如图所示，可知，BA.题型技法判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系(如第1题)结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断(如第2题)数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系(如第3题)(二)迁移考利用集合间关系求参数4(2018云南师大附中模拟)集合Ax|x2a0，Bx|x2，若AB，则实数a的取值范围是()A(，4 B(，4)C0,4 D(0,4)解析：选B集合A就是不等式x2a0，即x2a的解集当a0时，不等式无解，故A.此时显然满足AB.当a0时，不等式为x20，解得x0，所以A0显然0x|x0时，解不等式x2a，得x.所以A， 由AB可得，2，解得0a4.综上，实数a的取值范围为(，0)0(0,4)(，4)故选B.5已知aR，bR，若a，ln(b1)，1a2，ab,0，则a2 018b2 018_.解析：由已知得a0，ln(b1)0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故a2 018b2 0181.答案：16已知集合Ax|1x5，Bx|axa3，若B(AB)，则a的取值范围为_解析：因为B(AB)，所以BA.当B时，满足BA，此时aa3，即a；当B时，要使BA，则解得a1.由可知，a的取值范围为(，1答案：(，1题型技法利用集合间关系求解参数问题的策略化简要分类若参数在元素的性质特征之中，多以一次不等式或二次不等式的形式出现，此时要对其进行合理分类，分类的主要依据就是参数对该不等式的对应方程的解的影响分类的主要层次为：最高次幂系数是否为0；方程是否有解；解之间的大小关系(如第4题)关系要分类已知两个集合之间的关系求参数的取值，要注意对集合是否为空集进行分类讨论，因为是任意一个集合的子集(如第6题)“端点”要取舍利用集合之间的子集关系确定参数所满足的条件，实际上就是比较两个区间端点值的大小关系，所以集合对应区间的端点的取舍对两个集合之间的关系有制约作用，这也是区分子集与真子集的关键如已知A(1,3，Ba，b(a0，解得x2，故B(2，)把两个集合A，B在数轴上表示出来，如图，可知AB(2,52(2018湖南湘潭模拟)已知全集UR，集合Mx|x|1，Ny|y2x，xR，则集合U(MN)()A(，1 B(1,2)C(，12，) D2，)解析：选A解|x|1，得1x0，Bx|2x2，则如图所示阴影部分所表示的集合为()Ax|2x4Bx|x2或x4Cx|2x1 Dx|1x2解析：选D依题意得Ax|x4，因此RAx|1x4，题中的阴影部分所表示的集合为(RA)Bx|1x2，选D.解题师说1掌握“4种技巧”(1)先“简”后“算”：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等如求集合P的补集，要先进行化简，若直接否定集合P中元素的性质特征，就会误以为RP，导致漏解(2)遵“规”守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无”的元素(3)活“性”减“量”：灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即U(MN)(UM)(UN)，U(MN)(UM)(UN)等简化运算，减少运算量(4)借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍(如典题领悟第1题)2谨防“2种失误”(1)进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要注意端点值的取舍(如典题领悟第2题)(2)求集合的补集时，既要注意全集是什么，又要注意求补集的步骤，一般先求出原来的集合，然后求其补集，否则容易漏解(如典题领悟第3题、冲关演练第3题)冲关演练1(2017天津高考)设集合A1,2,6，B2,4，CxR|1x5，则(AB)C()A2 B1,2,4C1,2,4,6 DxR|1x5解析：选BAB1,2,4,6，又CxR|1x5，则(AB)C1,2,42(2018合肥质量检测)已知集合A1，)，B，若AB，则实数a的取值范围是()A1，) B.C. D(1，)解析：选A因为AB，所以解得a1.3(2018皖北协作区联考)已知集合Ay|y，Bx|ylg(x2x2)，则R(AB)()A. B(，0)C. D(，0解析：选D因为Ay|y0，)，Bx|ylg(x2x2)，所以AB，所以R(AB)(，0.以集合为载体的新定义问题，是高考命制创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新性质、新法则等，一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或偏上.典题领悟1设集合A1,0,1，集合B1,1,2,3，定义A#B，则A#B中元素的个数是()A5B7C10 D15解析：选B因为xA，所以x可取1,0,1；因为yB，所以y可取1,1,2,3.则z的结果如下表所示：y x112311100000111故A#B中元素有1，0，1，共7个，故选B.2已知集合M(x，y)|yf(x)，若对于任意实数对(x1，y1)M，都存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，则称集合M是“垂直对点集”给出下列四个集合：M；M(x，y)|ylog2x；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ysin x1其中是“垂直对点集”的序号是()A BC D解析：选C记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2y1y20得OAOB.对于，对任意AM，不存在BM，使得OAOB.对于，当A为点(1,0)时，不存在BM满足题意对于，对任意AM，过原点O可作直线OBOA，它们都与函数yex2及ysin x1的图象相交，即满足题意，故选C.3设集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数是()A7 B10C25 D52解析：选B因为A1,0,1，B0,1,2,3，所以AB0,1，AB1,0,1,2,3由xAB，可知x可取0,1；由yAB，可知y可取1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：yx101230(0，1)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)1(1，1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)所以A*B中的元素共有10个解题师说与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可冲关演练1定义集合的商集运算为，已知集合A2,4,6，B，则集合B中的元素个数为()A6 B7C8 D9解析：选B由题意知，B0,1,2，0，1，则B，共有7个元素，故选B.2(2018武昌调研)设A，B是两个非空集合，定义集合ABx|xA，且xB，若AxN|0x5，Bx|x27x100，则AB()A0,1 B1,2C0,1,2 D0,1,2,5解析：选D因为AxN|0x5，所以A0,1,2,3,4,5解不等式x27x100，即(x2)(x5)0，得2x5.所以B(2,5)因为ABx|xA，且xB，而3,4B,0,1,2,5B，所以AB0,1,2,5，故选D.3若xA，则A，就称A是伙伴关系集合，集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为()A15 B16C28 D25解析：选A本题关键看清1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由1,1,3和，2和这“四大”元素所能组成的集合所以满足条件的集合的个数为24115.(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1(2017山东高考)设函数y的定义域为A，函数yln(1x)的定义域为B，则AB()A(1,2)B(1,2C(2,1) D2,1)解析：选D由题意可知Ax|2x2，Bx|x1，故ABx|2x12(2017全国卷)已知集合A1,2,3,4，B2,4,6,8，则AB中元素的个数为()A1 B2C3 D4解析：选BA，B两集合中有两个公共元素2,4，故选B.3已知集合A，则集合A中的元素个数为()A2B3C4D5解析：选CZ，2x的取值有3，1,1,3，又xZ，x的值分别为5,3,1，1，故集合A中的元素个数为4.4已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA且yA且xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6C8 D10解析：选D由xA，yA，xyA，得xy1或xy2或xy3或xy4，所以集合B(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，所以集合B有10个元素5已知集合Ax|y，xR，Bx|xm2，mA，则()AAB BBACAB DBA解析：选B因为Ax|y，xR，所以Ax|1x1，所以Bx|xm2，mAx|0x1，所以BA，故选B.6已知集合A0,1,2m，Bx|122x4，若AB1,2m，则实数m的取值范围是()A. B.C. D(0,1)解析：选C因为Bx|122x4，所以Bx|02x2，所以Bx|0x2在数轴上画出集合B，集合AB，如图1或图2所示，从图中可知，02m1或12m2，解得0m或m1，所以实数m的取值范围是.故选C.7设集合Ax|x2x20，Bx|x1，且xZ，则AB_.解析：依题意得Ax|(x1)(x2)0x|1x2，因此ABx|1x1，xZ1,0答案：1,08设集合Ax|(xa)21，且2A,3A，则实数a的取值范围是_解析：由题意得即所以1a2.答案：(1,29设A，B为两个集合，下列四个命题：AB对任意xA，有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.其中真命题的序号是_解析：如果对任意xA，有xB，则AB，若A中至少有一个元素不在B中，即存在xA，使得xB，则A不是B的子集所以是真命题答案：10已知集合Ax|log2x2，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_解析：由log2x2，得0x4，即Ax|0x4，而Bx|xa，由于AB，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a4.答案：(4，)B级中档题目练通抓牢1(2018湘中名校高三联考)已知集合Ax|x211x120，Bx|x2(3n1)，nZ，则AB等于()A2 B2,8C4,10 D2,8,10解析：选B因为集合Ax|x211x120x|1x12，集合B为被6整除余数为2的数又集合A中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以AB2,8，故选B.2(2018河北衡水中学月考)设A，B是两个非空集合，定义运算ABx|x(AB)且x(AB)，已知Ax|y，By|y2x，x0，则AB()A0,1(2，) B0,1)2，)C0,1 D0,2解析：选A由题意得Ax|2xx20x|0x2，By|y1，所以AB0，)，AB(1,2，所以AB0,1(2，)3已知全集UAB中有m个元素，中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为()Amn BmnCnm Dmn解析：选D因为中有n个元素，如图中阴影部分所示，又UAB中有m个元素，故AB中有mn个元素4(2018贵阳监测)已知全集Ua1，a2，a3，a4，集合A是全集U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：若a1A，则a2A；若a3A，则a2A；若a3A，则a4A.则集合A_.(用列举法表示)解析：假设a1A，则a2A，由若a3A，则a2A可知，a3A，故假设不成立；假设a4A，则a3A，a2A，a1A，故假设不成立故集合Aa2，a3答案：a2，a35已知集合Ax|1x3，Bx|mx0时，Ax|1x3当BA时，在数轴上标出两集合，如图，0m1.综上所述，m的取值范围为(，1答案：(，16设全集UR，Ax|1x3，Bx|2x4，Cx|axa1(1)分别求AB，A(UB)；(2)若BCB，求实数a的取值范围解：(1)由题意知，ABx|1x3x|2x4x|2x3易知UBx|x2或x4，所以A(UB)x|1x3x|x2或x4x|x3或x4(2)由BCB，可知CB，画出数轴(图略)，易知2aa14，解得2a0，Qx|x2axb0若PQR，且PQ(2,3，则ab()A5 B5C1 D1解析：选APy|y2y20y|y2或y1由PQR及PQ(2,3，得Q1,3，所以a13，b13，即a2，b3，ab5，故选A.6设集合Ax|(xa)21，且2A,3A，则实数a的取值范围是_解析：由题意得即所以1a2.答案：(1,27设集合Ax|x2x20，Bx|x1，且xZ，则AB_.解析：依题意得Ax|(x1)(x2)0x|1x2，因此ABx|1x1(1)分别求AB，(RB)A；(2)已知集合Cx|1x1，即log2xlog22，x2，Bx|x2ABx|2x3RBx|x2，(RB)Ax|x3(2)由(1)知Ax|1x3，CA.当C为空集时，满足CA，a1；当C为非空集合时，可得1a3.综上所述，a3.实数a的取值范围是(，310已知集合AxR|x2axb0，BxR|x2cx150，AB3，AB3,5(1)求实数a，b，c的值(2)设集合PxR|ax2bxc7，求集合PZ.解：(1)因为AB3，所以3B，所以32c3150，解得c8，所以BxR|x28x1503,5又因为AB3，AB3,5，所以A3，所以方程x2axb0有两个相等的实数根都是3，所以a6，b9.(2)不等式ax2bxc7，即为6x29x87，所以2x23x50