正弦定理第一课时-教学案例(通山一中-徐子龙）.doc

高中数学教学案例正弦定理 （第一课时）咸宁市通山一中 徐子龙一、创设情境: 图1ABC问题1、如图1所示，为了测河两岸B、C处的距离，可在一岸边选定A点，望对岸标记物C，测得,，你能测算出B、C的距离吗？这是一个什么数学问题?引出：解三角形已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。设计意图：从实际问题出发，虽然此题简单，但是意义重大，属于“不过河求两岸距离问题”，引入数学课题.师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，同学们对三角形中的边角知识知多少？生：“两边之和大于第三边”，“内角和等于”，“大角对大边，大边对大角”, 师：设定在中，角A,B,C的对边分别为，即“”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度来研究三角形中的边角关系呢？引出课题：“正弦定理”设计意图：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构.二、猜想、实验：1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？ 学情预设：此处，学生根据已有知识“”,可能出现以下答案情形。如:,等等.设计意图：培养学生的发散思维，猜想也是一种数学能力.2、研究特例，提炼猜想：考察等边三角形，特殊直角三角形（和等腰直角）的边角关系，提炼出。3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有。设计意图：体现数学从特殊到一般研究方法，培养学生对问题的探究意识和动手实践能力.三、证明探究：对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？1、 特殊入手，探究证明 ： 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在中，设，根据锐角的正弦函数的定义，有，又, ACBabc则，从而在中，。2、推广拓展，探究证明 ： 问题2：在锐角中，如何构造、表示“与、与”的关系呢？ 探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？ 学情预设：学生可能通过以下三种方法构造直角三角形。方法1：过 C作BC边上的垂线CD，交BA的延长线于D，得到。方法2：过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。方法3：分别过B、C作AB、AC边上的垂线，交于D，连接AD，也得到两个直角三角形经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“与、与”的关系式。知识链接：化归是解决数学问题的重要思想方法，把锐角三角形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是一次很好的演练。而方法3可将问题延伸到四点共圆，根据同弧所对圆周角相等，易得，此问题点到为止，让学生下去研究.探究2：能否引入向量，归结为向量运算？ （1）在中蕴涵哪些向量关系式？学生探究，师生、生生之间交流讨论，得（这三个式子本质上是相同的）。（2）在方法2中有，,如何转化为向量的运算？ 生：由，可得 设计意图：利用向量的数量积是把向量抽象关系变为明确数量关系的唯一算法，垂直问题若利用向量数量积得到的数量关系就更加简洁,虽然数量积运算产生余弦，但垂直可实现余弦与正弦的转换。这既体现了三角与向量的联系，又复习了向量的基本计算和技巧.知识链接：教学参考书中，证明方法所引用的单位向量就是与向量 共线的单位向量。过去，学生常对此感到费解，经如此铺垫方显自然.问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）四、理解定理、基本应用：1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即问题4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？ （1）从结构看,各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美;是一个三式连等的式子，由得到,蕴含着解决这类问题的一种方法，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值。（2）从方程的观点看,可以构成三个方程:，,每个方程含有四个量，知三求一。 从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。 2、例题分析例1在中，已知解三角形。评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在中，已知，解三角形（角度精确到，边长精确到）。评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课后思考：已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？为什么？3、课堂练习：（1）引题（问题1）（2）在中，是的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件设计意图：设计二个课堂练习，练习（1）目的是首尾呼应、学以致用；练习（2）因为，若，则，由大边对大角知，将正弦定理、简易逻辑与平面几何知识整合，及时巩固定理，运用定理.五、课堂小结：问题5：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了师：通过本课学习，你发现自己更强大了。生2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们学到了课本以外的方法。师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数与平面向量，正弦定理的证明充分展示了它们的妙用。在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律,据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值。3、利用正弦定理解决两类三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 设计意图：通过师生互动，学生可以及时回顾本节课的教学内容，培养学生的归纳、表达等能力，也充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔.六、作业布置：1、书面作业：P10习题1.1 1、22、研究类作业：1）在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。2）已知三角形的两边与其中一角，这个三角形能唯一确定吗？设计意图：对问题2），根据分散难点，循序渐进的原则，在例2中初步涉及，在课后让学生先行思考，在“正、余弦定理”第三课时中予以剖析阐述.教学反思：1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在定理的形成与证明的探究上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值，培养学生的思辨能力。改变了定理教学中简单直接呈现、照本宣科证明的处理方式。2、“用教材教，而不是教教材”，尽管教材中对本课知识方法的要求并不高，只介绍了通过作高将一般三角形变换为直角三角形，再将三角比变换得到等式的化归方法，但教学不仅是忠实执行课程标准，而且是师生共同开发课程，将教材有机裁剪，并融入个性见解的过程。如在正弦定理的证明探究中，学生完全可能围绕“如何构造直角三角形？”，多方联系，广泛联想，分别应用平面几何四点共圆、向量的数量积运算等知识方法。本课设计充分预设各种课堂生成，尽量满足不同思维层次学生的需求。3、突出数学的本质。正弦定理的本质是“定量