高考数学总复习 第八章 第七节空间角与距离的概念及其求法课件 文.ppt

第七节空间角与距离的概念及其求法 第八章立体几何初步 考纲要求 会求异面直线所成的角 直线与平面所成的角的大小或它们的一种三角函数值 课前自修 知识梳理 一 异面直线a b所成角的定义经过空间任一点o 作直线a a b b 把a 与b 所成的锐角 直角 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 二 射影自一点p向平面 引垂线 垂足p 叫做点p在平面 内的正射影 简称射影 pp 的长度称点p到平面 的距离 图形f上的所有点在平面 上的射影构成的图形f 叫做图形f在平面 上的射影 三 平面的斜线如果直线m与平面 相交又不垂直 则直线m叫做平面 的斜线 交点称为斜足 四 斜线与平面所成的角平面 的一条斜线pa和它在平面 上的射影oa所成的锐角 pao 叫做斜线与平面所成的角 平面的垂线与平面所成的角为90 而直线在平面内或直线与平面平行 此直线与平面所成的角为0 任意直线与一个平面所成的角的取值范围为 0 90 如图1 五 二面角从一条直线ab出发的两个半平面 和 所组成的图形叫做二面角 记作二面角 ab ab叫做二面角的棱 两个半平面 和 叫做二面角的面 二面角的平面角 在二面角的棱ab上任取一点o 过o分别在二面角的两个面 内作与棱垂直的射线om on 我们把 mon叫做二面角 ab 的平面角 用它来度量二面角的大小 如图2 二面角的平面角的三要素 顶点在棱上 角的两边分别在两个半平面内 角的两边与棱都垂直 二面角 的取值范围 0 平面角是直角的二面角叫做直二面角 六 点到平面的距离及其求法1 点到平面的距离 点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离 2 点到平面的距离的求法 垂面法 借助于面面垂直的性质来作垂线 其中过已知点确定已知面的垂面是关键 等体积法 转化为求三棱锥的高 等价转移法 基础自测 1 已知二面角 l 的大小为60 m n为异面直线 且m n 则m n所成的角为 a 30 b 60 c 90 d 120 解析 二面角 l 的大小为60 m n为异面直线 且m n 则m n所成的角为两条直线所成的角 所以 60 故选b 答案 b 3 2011 上海市奉贤区调研 在正方体abcd a1b1c1d1中 异面直线db与b1c所成角的大小为 4 2012 泸州市一模 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab bc ca a aa a 则ab 与侧面ac 所成角的大小为 考点探究 考点一 求直线与平面所成角的大小 例1 2012 资阳市模拟 abc和 dbc所在的平面互相垂直 且ab bc bd abc dbc 120 则直线ad与平面bcd所成的角等于 a 60 b 45 c 30 d 15 解析 作am垂直于cb的延长线于点m 因为平面abc 平面dbc 所以am 平面dbc 连接dm 则 adm为所求角 且bc dm 因为 abc dbc 120 所以 abm dbm 60 又ab bd 所以 abm dbm 所以am dm 在rt amd中 adm 45 答案 b 点评 求空间角的常用的步骤是 一作 找 二证 三计算 作 找 出所求角是计算的基础 求斜线与平面所成的角关键在于作 找 出斜线在该平面内的射影 变式探究 1 如图 四棱锥p abcd的底面是正方形 pd 底面abcd 点e在棱pb上 1 求证 平面aec 平面pdb 2 当pd ab且e为pb的中点时 求ae与平面pdb所成的角的大小 1 证明 四边形abcd是正方形 ac bd pd 底面abcd pd ac ac 平面pdb ac 平面aec 平面aec 平面pdb 考点二 求异面直线所成的角的大小 例2 2012 四川卷 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是棱cd cc1的中点 则异面直线a1m与dn所成的角的大小是 法二 因为abcd a1b1c1d1为正方体 故a1在平面cdd1c1上的射影为d1 即a1m在平面cdd1c1上的射影为d1m 而在正方形cdd1c1中 由tan dd1m tan cdn 可知d1m dn 又a1d1 平面cdd1c1 dn cdd1c1 所以a1d1 dn 由 可得dn 平面a1d1m 所以a1m dn 即异面直线a1m与dn所成的角为90 答案 90 点评 求异面直线的夹角 常用的方法是通过平移将异面直线的夹角转化为平面内的两条相交直线的夹角 变式探究 2 2011 佛山市南海一中检测 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱aa1 底面abc ac 6 bc 8 ab 10 aa1 8 1 求证 ac bc1 2 求异面直线ac1与b1c所成角的余弦值 1 证明 ac2 bc2 ab2 ac bc 又 c1c aa1 aa1 面abc c1c 面abc ac c1c ac 面bcc1b1 bc1 平面bcc1b1 ac bc1 考点三 折叠问题与求空间角问题的综合 例3 2012 柳州市调研 如下图 在矩形abcd中 ab 2 ad 1 e为cd的中点 将 ade沿ae折起 使平面ade 平面abce 得到几何体d abce 1 求证 be 平面ade 2 求bd和平面cde所成的角的正弦值 解析 1 证明 过d作dh ae于h 由平面ade 平面abce得 dh 平面abce 所以dh be 由题意可得ae be 又dh ae h 因此be 平面ade 2 在平面cde内 过c作ce的垂线 与过d作ce的平行线交于f 再过b作bg cf于g 连接dg ch bh可得bg 平面cde bdg为bd和平面cde所成的角 点评 求空间角的常用的步骤是 一作 找 二证 三计算 作 找 出所求角是计算的基础 异面直线所成的角一般通过作平行线来作出 而直线与平面所成的角最关键的是找一条与平面垂直的垂线 变式探究 3 把正方形abcd沿对角线bd折成直二面角 对于下列结论 ac bd adc是正三角形 ab与cd成60 角 ab与平面bcd成60 角 则其中正确结论的个数是 a 1b 2c 3d 4 考点四 求点到平面的距离 例4 2012 东北四校模拟 已知斜三棱柱abc a1b1c1的底面是正三角形 侧面abb1a1是边长为2的菱形 且 a1ab 60 m是ab的中点 ma1 ac 1 求证 ma1 平面abc 2 求点m到平面aa1c1c的距离 1 证明 因为侧面abb1a1是菱形 且 a1ab 60 所以 a1ab为正三角形 又因为点m为ab的中点 所以a1m ab 由已知a1m ac 所以a1m 平面abc 2 解析 作me ac于e 连接a1e 作mo a1e于o 由已知a1m ac 又因为me ac 所以ac 平面a1me 变式探究 4 2011 新课标全国卷 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd为平行四边形 dab 60 ab 2ad pd 底面abcd 1 求证 pa bd 2 设pd ad 1 求三棱锥d pbc的高 1 证明 dab 60 ab 2ad 由余弦定理得bd ad 从而bd2 ad2 ab2 故bd ad 又pd 底面abcd 可得bd pd bd 平面pad 故pa bd 2 解析 如图 作de pb 垂足为e 已知pd 底面abcd 则pd bc 课时升华 3 求点到平面的距离最常用的方法是 垂面法 即借助于面面垂直的性质来作垂线 其中过已知点确定已知面的垂面是关键 等体积法 即转化为求三棱锥的高 感悟高考 品味高考 1 2012 大纲全国卷 已知正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为bb1 cc1的中点 那么异面直线ae与d1f所成角的余弦值为 2 2012 天津卷 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 ad pd bc 1 pc 2 pd cd 2 1 求异面直线pa与bc所成角的正切值 2 证明 平面pdc 平面abcd 3 求直线pb与平面abcd所成角的正弦值 1 解析 如图所示 在四棱锥p abcd中 因为底面abcd是矩形 所以ad bc且ad bc 又因为ad pd 故 pad为异面直线pa与bc所成的角 在rt pda中 tan pad 2 所以异面直线pa与bc所成角的正切值为2 2 证明 由于底面abcd是矩形 故ad cd 又由于ad pd cd pd d 因此ad 平面pdc 而ad 平面abcd 所以平面pdc 平面abcd 高考预测 2012 惠州市模拟 如图