2.万有引力定律

3.2 万有引力定律一、太阳与行星间的引力1、引入：开普勒第一、第二定律的提出是在1609年；第三定律又用了十年的时间才发现的，提出是在1619年。上学期学过牛顿三定律，是牛顿在1687年发表在自然哲学的数学原理一书中。牛顿说：惯性系中，物体不受力或者受到的合力为0，物体将保持静止或者匀速直线运动。地球围绕太阳做圆周运动，根据上章的知识，我们可以想到：太阳与地球之间一定有什么力，提供了地球围绕太阳做圆周运动的向心力。那么，这种力的形式是什么呢？就是我们今天研究的问题。2、太阳对地球的引力：太阳对地球的引力用字母表示，它提供了地球做圆周运动的向心力，所以。这里出现了周期的平方。利用开普勒第三定律将周期代入，可得，其中k是一个与地球无关，只与太阳有关的常数。因此，可知太阳对地球的引力。3、地球对太阳的引力：在太阳与地球之间的引力问题上，太阳与地球的地位完全对等，比如站在太阳上看，地球围绕太阳转动；站在地球上看，太阳围绕地球转动。因此，在它们之间的作用力表达形式上，各自质量的地位也应对等。根据前面的推导，有，依据对称性，可以得到：。4、太阳与地球之间的引力：依据牛顿第三定律，。那么应该正比于什么呢？可以猜到。这里有个难点，为什么不是正比于，而是正比于呢？比如有一个函数记为。从某一个方面，发现，括号中是与x、y无关的其它变量。从另一个方面，发现，括号中是与x、z无关的其它变量。那么还是呢？可以这样看，式子的括号中一定包含一个z，但是不包含x了；式子的括号中一定包含一个y，但是不包含x；将两个式子乘起来，得到，其中括号内是与x、y、z都无关的变量。这时就能发现，而不是。将前面的看成x，看成y，看成z，就可以得到，而不是。还可以这样类比，长方体的体积V正比于长*宽；V也正比于长*高。而我们知道体积V等于长*宽*高，而不是等于长2*宽*高。将太阳与地球的引力写成等式形式，即。其中G是一个与地球和太阳无关的一个比例常数。【讨论】：太阳与地球间的引力公式，这个形式可以不假思索的推广到任意的两个物体间吗？即对任意两个物体A、B，有没有呢？具体点，（1）下标A、B可以是太阳、火星吗？（2）下标A、B可以是地球、月亮吗？（3）下标A、B可以是地球和地面上的人或者苹果吗？【回答】：（1）可以。（2）不可以。因为刚才的推导中，使用了开普勒第三定律，是开普勒从行星的观测数据中发现的，至少在当时的开普勒心中，这个规律只是适用于行星与太阳之间。因此，地球和月亮之间，不能不假思索的认为也有这个关系。（3）不可以。因为刚才的推导中，利用了圆周运动的向心力的表达式。地球和之上的人或者苹果，没有发生圆周运动，因此也不能直接的不假思索的认为对地面和之上的人也是适合的。牛顿大胆的猜想，行星与太阳之间的这种引力是一切物体间都具有的。这种力的表达形式可以推广到一切物体间。这个猜测很大胆，但是有一件事情让牛顿对自己的这种猜测有了信心。二、月地检验月亮围绕地球做圆周运动，周期T=27.3天，月地间距等于米，也就是等于60倍的地球半径。由这些观察数据可以得到月亮绕地球做圆周运动的向心加速度：。牛顿猜想1：如果提供向心力的这个月地间的引力是的形式，那么。牛顿猜想2：地面上物体受到的重力实际就是地球与这个物体间的万有引力，因此有：，可得：。代入上式可得： 使用这样的猜想，计算出的结果与观测值相等，因此让牛顿相信这个猜想是正确的。三、万有引力定律1、万有引力定律的内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引，引力的大小跟这两个物体的质量m1和m2的乘积成正比，跟它们的距离r的二次方成反比。2、计算公式：其中G称为万有引力常数，为，是自然界中几个最重要的常量之一。它的数值具体是多少，决定了我们这个宇宙是什么样子的。它表示两个质量为1kg的物体相距1m时，之间的万有引力为。3、意义：万有引力让我们知道，天上的力与地上的力是相同的，支配自然、宇宙的法则是简单的，是可以被人类所认识的。4、适用条件：（1）两个质点间的相互作用。比如，求地球和太阳间的万有引力大小，可以把它们当成质点看待。（2）两个质量分布均匀的球体，r为两个球心间的距离比如，地面上的物体受到地球的万有引力，这个物体相比地球可以看成质点，但是地球不能看作质点，不过地球可以看作是质量均匀的球体，因此，r是此物体与地心间的距离。（3）当研究物体不能看作质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出每个质点受到的引力，然后求合力。这种思想是牛顿发明的微积分的基本思想。他也正是使用这个思想，证明了两个质量分布均匀的球体，r应该取作两个球心间的距离。四、万有引力常数的测量1798年，英国物理学家卡文迪许第一次在实验室里利用扭秤装置，比较准确地测出了引力常量。下图为实验装置图。实验原理扭秤装置把微小力转变成力矩来反映（一次放大），扭转角度通过光标的移动来反映（二次放大），从而确定物体间的万有引力。T形架在两端质量为m的两个小球受到质量为m的两大球的引力作用下发生扭转，引力的力矩为FL。同时，金属丝发生扭转而产生一个相反的力矩，当这两个力的力矩相等时，T形架处于