度高中数学 2.3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算同步辅导与检测课件 新人教A版必修4.ppt

2 3平面向量的基本定理及坐标表示2 3 2平面向量的正交分解 坐标表示及坐标运算 平面向量 1 理解向量的坐标表示 2 掌握向量的有关坐标运算 两坐标的和 两坐标的差 数乘向量坐标和向量的坐标运算 基础梳理 一 平面向量的坐标表示1 平面向量的正交分解 把一个向量分解为 叫做把向量正交分解 2 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 由平面向量的基本定理可知 有且只有一对实数x y使得 这样平面内的任一向量a都可由x y唯一确定 我们把有序数对 x y 叫做向量a的坐标 记作 其中x叫做a在x轴上的坐标 y叫做a在y轴上的坐标 a x y 叫做向量的坐标表示 1 两个互相垂直的向量2 a xi yja x y 3 几个特殊向量的坐标表示i j 0 4 以原点o为起点作向量 设 xi yj 则向量的坐标 x y 就是 反过来 终点a的坐标 x y 也就是 3 1 0 0 1 0 0 4 终点a的坐标向量的坐标 思考应用 1 点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系 解析 1 点的坐标是反映点的位置 它由点的位置决定 向量的坐标反映的是向量的大小和方向 其仅仅由大小和方向决定 与位置无关 2 向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标 当向量起点在原点时 向量的终点坐标就等于向量的坐标 二 向量的坐标运算1 两个向量和差的坐标运算若a x1 y1 b x2 y2 则a b a b 2 数乘向量和坐标运算若a x y 则 a 3 向量的坐标表示若已知a x1 y1 b x2 y2 则 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 1 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 2 x y 3 x2 x1 y2 y1 终点的坐标减去始点的坐标 思考应用 2 向量平移前后始点 终点的坐标发生了变化 而向量本身的坐标却不变 这怎么解释呢 解析 解决这个问题的关键是探讨始点 终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化 向量经过平移以后得到向量 这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标 尽管对应的始点 终点坐标不同 但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知 其差值是不变的 所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点 终点的相对位置有关 而与具体位置无关 自测自评 1 若向量 x y 0 则必有 a x 0或y 0b x 0且y 0c xy 0d x y 0 b d 3 已知a 3 1 b 1 2 c 2a b则c a 6 2 b 5 0 c 5 0 d 0 5 4 若点a 2 1 b 1 3 则 b 3 2 平面向量的坐标运算 已知a 2 1 b 3 4 求a b a b 3a 4b 点评 1 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标 2 两个向量的和 差 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 差 跟踪训练 用方程思想求向量坐标 已知a b 2 8 a b 8 16 求a和b 分析 设a m n b p q 则问题就可转化为方程思想解决 点评 上面两种方法都是通过解方程组得到解决 解法一侧重以坐标为主体的方程 解法二是整体思想 解向量方程 跟踪训练 2 已知a 2 1 b 3 4 c 6 19 用a b 表示c 平面向量的坐标表示 分析 本题主要是考查向量的坐标表示 向量的坐标运算 平面向量基本定理以及待定系数法等知识 求解时首先由点a b c d的坐标求得向量等的坐标 然后根据平面向量基本定理得到等式再列出关于m n的方程组 进而解方程求出所表示的系数 点评 坐标运算要熟记公式 始点和终点的前后顺序不可颠倒 否则会出现错误 跟踪训练 分析 本题主要是考查向量的坐标表示 向量的坐标运算 问题已给出a b c三点的坐标 因此可写出向量的坐标 进而利用向量的数乘 加 减的坐标运算 问题就可得解 平面向量坐标在几何中的应用 已知平面上三点的坐标分别为a 2 1 b 1 3 c 3 4 求点d的坐标使这四点构成平行四边形abcd的四个顶点 点评 设出所求点的坐标 利用向量相等或向量共线列方程组求解 利用方程的思想求解向量中未知的点的坐标 是一种最基本的方法 跟踪训练 4 已知平面上三点的坐标分别为a 1 2 b 3 1 c 5 6 求点d的坐标使这四点构成平行四边形abcd的四个顶点 c c 1 要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对位置有关 2 向量的加法 减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算 使得向量运算完全代数