7-7 常系数齐次线性微分方程.doc

第7节 常系数齐次线性微分方程教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法教学难点：二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法教学方法：讲授为主，互动为辅教学课时：2教学内容：二阶常系数线性微分方程的一般形式为这里、是常数，是的已知函数当恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程1二阶常系数齐次线性微分方程定理1 设与为二阶常系数齐次线性微分方程 (1) 的相互独立的两个特解(即不恒等于常数)，则为方程(1)的通解，这里与为任意常数证 按假设与为方程(1)的解，所以有下式成立，又 ， ， 代入(1)式左端，得 即为方程(1)的解在不恒等于常数的条件下，中含有两个相互独立的任意常数和，所以是方程(1)的通解由此定理可知，求方程(1)的通解问题，归结为求(1)的两个相互独立的特解为了寻找这两个特解，注意到当为常数时，指数函数和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此不妨用来尝试 设为方程(1)的解，则，代入方程(1)得 由于，所以有 (2)只要满足(2)式，函数就是微分方程(1)的解我们把代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程，特征方程的根称为特征根由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解() 当时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根和，此时可得方程(1)的两个特解：，且常数，故是方程(1)的通解() 当时，特征方程(8-23)有两个相等的实根，此时得微分方程(1)的一个特解为求(1)的通解，还需求出与相互独立的另一解不妨设，则， ， 将及代入方程(1)，得将上式约去并合并同类项，得由于是特征方程(2)的二重根，因此，且，于是得不妨取，由此得到微分方程(1)的另一个特解，且常数，从而得到微分方程(1)的通解为，即() 当时，特征方程(2)有一对共轭复根，于是得到微分方程(1)的两个特解，但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式将和改写成，于是得到两个新的实函数，可以验证它们仍是(1)的解，且常数，故微分方程(1)的通解为综上所述，求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下：第一步 写出微分方程(1)的特征方程，求出特征根；第二步 根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(1)的通解： 表1特征方程的根 微分方程的通解 两个不等实根 两个相等实根 一对共轭复根 例 1 求微分方程的通解解 所给微分方程的特征方程为特征根为 于是，所求微分方程的通解为例 2 求微分方程的满足初始条件的特解解 所给微分方程的特征方程为特征根故所求微分方程的通解为求导得将初始条件及代入以上两式求得 故所求特解为例 3 设函数可导，且满足试求函数.解 由上述方程知方程两边对求导得由此可得上式两边再对求导得这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为特征根 于是，所求微分方程的通解为由此得由，得 所以本节介绍的求二阶常系数齐次线性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高阶的常系数齐次线性方程例 4 求四阶微分方程的通解解 所给微分方程的特征方程为，即其特征根为 于是得方程的通解小