§3 一些方程的解法.doc

3一些方程的解法解方程包括数字方程的文字系数方程，一般情况下都是先求出用来表示未知数的式子，然后代入数值计算。这样一方面可以减少繁杂的运算程序，另一面也可避免中间运算所可能发生的错误。但是对于某些数值简单的便于计算的问题，为了简化变换过程，有时也可以将已知值先代入原方程，然后利用方程的性质求解。鉴于中学物理中的具体应用情况，这里我们只讨论代数方程和三角方程的某些解法。1、代数方程各种代数方程的基本解法，限于篇幅，不在此赘述。但有些方程，利用方程的基本性质或公式，是不易直接求出其解的，采用其他方法。现就中学物理中所采用到的几种方法举例如下：m1m2F图318（1）应用换元法，化难为易例318两块质量为m1和m2的板用弹簧连在一起（图318），必须用多大的力压在上面那块板上，才可以使在力撤消后，上板跳起来，而恰使下板稍被提起？（弹簧的质量不计）m1m2Fm1m2L1L2L=0EP=0图319解：要使外力撤消后，上板跳起来，而恰把下板稍稍提起，弹簧必须发生伸长形变，且伸长量。把m1、m2和弹簧组成一个系统，并设弹簧的的弹性形变为零时，系统的重力势能和弹性势能均为零。如图319所示，依机械能守恒定律，有：令：得：提取公因式，得即解得：因为只求力的大小，取正根，得说明：本例所解的方程属于形如的方程，可令y=f(x)，将原方程化为求解。例319某人在山上以20m/s的速度斜抛一个物体，使物体落于山下之A点，A点与人的水平距离为100m，山高为150m 。求：物体着地的时间。（g=10m/s2)解：设抛射角为，着地时间为t，坐标选择如图320所示。依抛射物体的规律，有：由可得yxv0A图320（负值表示斜下抛）两边平方，得令经，得解得即取正根：说明：本例中（3）是一个准二次方程，即形如的方程，此类方程的基本解法是：令，将原方程化为一元二次方程求解。解答中为什么时间t的取值有两个，请读者自行分析。例320当一个电炉加上某线路的断路电压时，正好达到电炉的额定功率400W，当它接入该电路时，实际上只有324W的功率。问把这两个规格相同的电炉并入此电路，二个电炉共获得多大的功率？解：线路的断路电压即为该电路的电源电动势。当电炉接入电路时，外电路接通，由于存在线路电阻和电源内阻，因此也就不能获得额定电压，因而也就不能获得额定功率。设两电炉并联时，消耗的总功率为P，每个电炉的电阻为R，电源的电动势为，内电阻为r，线路的电阻为R1。依题目的表述和电功率的计算式，有：上面三个方程中，共有五个末知量，在一般情况下是不能求解的。但本题依据题意只需求出功率P，而其他末知量不必一一求出，因此可根据方程的特点，将某些末知量合并，以减少末知量的个数。因、两方程均包含R1r，而却不包含这两个末知量。令，则原方程为：（1、/) （2/) （3/)由（1/)可得：因两方程均包含，则有：（4/）(5/)令y=1+x，由（4/）得：代入（5/），得：说明：本例属于末知数个数多于方程个数的问题，解此类题目，可针对方程特点和题目要求，引入辅助末知量，并将原末知量合并，然后求解。例321甲、乙两人，由A、B两地相向而行，甲由A地出发的时间比乙由B地出发的时间迟6分钟，两人相遇时，乙比甲多走了120米，相遇后两人各用原来的速度前进，甲再经过8分钟到达B地，乙再经过9分钟到达A地。求：AB的距离与两人的速度。解：假设两人相遇地点距A为x米，则距B为（x+120)米，甲的速度为，乙的速度为。依据题目的表述，有：令原方程为解得：即（不合题意舍去）AB的距离为：S2x+120=720+120=840m甲的速度为：乙的速度为：说明：本例所解的方程属于形如的方程。可令，将原方程化为即的方程求解。（2）应用比例法，化繁为简所谓比例法，就是利用比例的概念及其性质求解有关方程。例322有两条导线，第一条的电阻R12.0欧，第二条的电阻R26.0欧，先把这两条导线串联接入电路，然后再改并联。求在这两种情况下当第一条导线放Q11.5千卡的热量时，第二条导线放出的热量是多少？解：本题由于电压末知，因而不能直接应用焦耳楞次定律计算，可依据串联、并联电路的特点，结合焦耳楞次定律，确定等量关系。串联时，通过两条导线的电流强度相等，通电时间也相等，根据可得：并联时两条导线两端的电压相等，通电时间也相等，根据得：例323三个电容器C120F，C230F，C310F，串联后接110V电压。求每个电容器上的电压。解：根据串联电容器组合中，每个电容器极板上所带的电量相等、各电容器上的电压之和等于总电压的特点为，有：将已知数据代入，得：即：说明：本题解答中应用了下例比例性质：如果：则：在形如：的方程组时，应用上述性质，较为方便。例324三个电阻并联，已知，求通过三支路的电流强度之比。解：根据并联电路的特点，有：由题给条件：代入式得：说明：本例求解的问题，实际上是一个连比问题，在一般情况下，若已知：（1）（2）可将（2）化为：（3）由（1）、（3）两式，得：（3）应用韦达定理，求对称解。一个二元方程组：如果，我们称为关于x,y的对称方程组。显然，如果x=a，y=b也是它的一组解。即对称方程组的解必然是对称的。形如：的方程组就是简单的二元对称方程组，根据韦达定理，x和y必然是方程：的二个根。（这里z表示x或y）为此，只要求出z1、z2,便可得出x,y的两组解。例325一烛熖放在距屏前80cm处，在两者之间插入一焦距为15cm的凸透镜，移动透镜可在屏上最显出两个不同的象来。求：两次透镜的位置。解：由透镜成像公式，有：即：u、v是方程：的两个根将值代入上述方程，得：解得：所以：例326有两个电阻，并联时总电阻是2.4欧，串联时的总电阻是10.0欧。问：这两个电阻的阻值是多少？解：根据串、并联电路电阻的计算公式，有：即：R1、R2为方程：的二个根解得：例327质量相同的两个弹性小球，在光滑的水平面上各以速度V1和V2沿同一方向运动。求它们作对心碰撞后的速度。解：因两球作对心弹性碰撞，碰撞前后系统的总动量和总动能是一个不变量。据此，有：即：（P77）因为：所以式化为式和式两方程是一个最简的对称方程组，、应是方程：的两个根。显然：表示碰撞后两者交换速度不合题意上面所列举的方程组，都是可以通过一些简单的运算而化简对称方程组的，对于它比较复杂的二元对称方程组可采用引入辅助末知数的方法，设x+y=u，xy=v，把所给方程化为最简单的对称方程组求解。（4）针对方程组的特点，因题制宜。对于同样一个方程（或方程组），往往可以采用不同的数学方法求出解答，但繁、简不一。为寻求捷径，节省时间，就必须认真分析方程的特点，因题制宜。例328一辆汽车由静止开始作匀加速直线运动，向距离1710m的悬崖驶进，当它开始运动时，鸣喇叭一声，如果车的加速度为0.40m/s2。问经多少时间驾驶员才能听到回声？（声音在空气中的传播速度为v=340m/s）解：驾驶员听到回声的条件是：即将值代入，得：把一次项340t分裂成两项：342t+(-2t)。原方程变为：提取公因式：所以：说明：求解一元二次方程的方法，通常有公式法、配方法、观察法、因式分解法。本题所列的方程数值较大，若代入求根公式或进行配方，则计算繁复，故用因式分解法求解。但此法具有很大的技巧性，关键是把一次项bx分裂成二项mx和nx，并使（a、c分别为二次项系数和常数项），其根为：证明如下：设原方程为将bx 分裂成两项：原方程化为：提取公因式：本题中，因为，而342（2）340。因此我们将一次项340t分裂成两项：342t和(2)如果方程中的系数有的关系时，则其根必为（请读者自行推证）。例329靶般上置有沙袋，总质量为M，船原来静止于水面上，今飞来一质量为m的炮弹，水平射入沙袋内，深入S距离而末爆炸，并留于其中，若炮弹在沙袋中所受的阻力f可按恒定值处理，且般与水的阻力忽略不计。求：炮弹进入沙袋的过程中，靶船移动的距离S/。解：设炮弹原来的速度为V，打入沙袋后，炮弹与靶船的共同速度为V1。因船与水的阻力不计，炮弹和般组成的系统遵守动量守恒定律。（1）依动能定理，有：（2）依运动学公式，有：（3）上述是一个三元二次联立方程组，各方程所包含的末知量，具有如下特点：第一方程包含：V和V1第二方程包含：V和V1第三方程包含：V1和S/显然从（1）、（2）两方程中消去V，得到V1的表达式，然后代入（3）求解。由（1）得：代入（2）中，得：代入（3）得：BA图321例330图321中A、B两个容器，中间用绝缘材料做成的细管相连。已知A的容积为VA，B的容积为VB，细管的容积可忽略不计。在室温T0下，容器B内气体的压强为P0，将A浸入热水中，达到平衡后，容器B内气体的压强为P。求：热水的温度T。解：由于细管用绝材料做成，所以A中气体的温度为T时，B中气体的温度仍为T0，设容器A浸入热水之前，A、B两容器内气体的质量分别为M和m，依克拉珀龙方程式有：浸入热水前：容器A：（1）容器B：（2）浸入热水后：容器A：（3）容器B：（4）上术四个方程中涉及的物理很多，但仔细观察各个方程不难发现，它们右边的形式基本相同，特别是（1）、（2）两方程右边之和相等与（3）、（4）两方程右边之和相等。这样采用比较法就可将方程右边所有的末知量消去，从而救量热水温度T的表达式。（1）（2）得：（5）（3）（4）得：（6）比较（5）、（6）两式，得：解得：例331一电路如图222所示。已知，电源内阻忽略不计。求：通过各电阻的电流的a、b两点的电势差Uab。R1R2R3I2I3I1231ab图322解：设电路中的电流方向如图322所示。由电路中各点电势的计算机规则，有：于是，有方程又由稳恒电流的条件，有：将上述方程整理，得：（1）（2）（3）这是一个三元一次联立方程组，因各系数之间的关系比较复杂，若用加减法或代入法进行消元，需要一定的技巧，否则步骤繁琐，用一容易产生差错；若采用行列式法，虽计算比较麻烦，但方向明确，只要耐心计算，不难得出正确的结论。下面我们用行列式法解本题。解得：I2中的负号表示实际电流方向与假定的电流方向相反。2、三角方程在中学物理中，凡求角度（或矢量的方向）的问题，都涉及到解三角方程。由于理论上和、差、倍、分等角的三角函数总可以化为单角的三角函数，而一个角的任意函数又都可表示成该角的其他所有函数。因此三角方程的基本解法是：将原方程中所有的三角函数通过三角变换，用同一角度的同一函数表示，进而把三角方程中末知的三角函数，看成一个代数方程中的末知量，转化为代数方程求解。显然，代数方程的各种解法，都适用于三角方程。但由于三角方程本身的特点，在解三角方程时，又必须注意：（1）三角函数是一个周期函数，对应于同函数值的角度是无穷多的，因而它的解也是无穷多的。在物理学中，除非特别指明，一般情况下都只需求出切合题意的某一敬意内的特解。（2）在解三角方程时，由于采取的解法不同，有时会出现不同形式的答案，但它们所指的角度实际上是一样的。（3）关于增根和遗根问题，三角方程比代数方程复杂，除了考虑把三角函数当作代数方程中的末知量，用解代数方程的方法过程中或能产生增根和遗根外，还要考虑由于三角函数的定义域不同，在进行三角变换时也可能产生增根或遗根。下面就解决中学物理问题时常遇到的几种类型的三角方程，分别说明它们的解法。形如的方程，称为最简三角方程。求解这类方程，就是已知三角函数值求角度的问题，可根据三角函数的对应值写出它的解。关于一般的三角方程，通常有下列几种类型：yx0N1G1aN2N2/CABG2 图323A、含有同一末知角的同三角函数的三角方程：这类方程只要用代数方法求得这个三角函数的值以后，就可用最简单的三角方程的解法求解。例：332图323所示的离心调速器以角速度绕竖直轴转动。已知重求A、B的质量均为m1，套筒C的质量为m2各连杆OA、OB、AC和BC的长度均为。其质量可略去不计。试求OA杆与竖直轴所成的角度。解：当调整器以角速度旋转时，角度保持不变，因而套筒C的加速度等于零，仅重球A、B具有向心加速度。又由于机构对称，故受力情况对称。分别选取重A和套筒C为研究对象，并建立如图323所示的坐标系。对于重球A，有：由因 所以：（1）由因为，所以：（2）对于套筒C，有：由（3）因为：由（1）、（2）、（3）得：（4）（4）是一个含同一末知角的同一三角函数（余纺弦函数）的三角方程，把cos看作代数方程中的一个末知量，用代数方法求得：B可以化成只含有一个末知角的同一三角函数的三角方程：这类方程一般应用同角三角函数关系，诱导公式及和差角、倍角、半角公式、和差化积、积化和差等公式把它化成含有同一个末知角的同一三角函数的三角方程，然后用前面所说的方法求解。GG2G2GGG图324图325例333在一光滑的斜面上，有一个重量为2G的物体，以沿水平方向与沿斜面方向，而大小都是G的二个力作用这物体上（图324），物体在斜面上保持平衡。求：斜面的倾角。解：把物体的重力和沿水平方向作用于物体上的外力按平行四边形法则进行分解，如图325所示。根据物体的平衡条件，有：由题意：原方程化为：所以：说明：在进行三角变换时应尽量避免变形为某三角函数的无理方程。如本例中不应把cos变形为。n2n1ii/n0=1图326例334光学纤维的结构是这样的：在高折射率(n1)的玻璃或塑料做成的芯线上，包上一层由低折射率（n2)的玻璃或塑料做成的包皮，当光线射入光学纤维端面时的入射角小于i时，光才有可能通过直的光学纤维从一端射出。求证：证明：设入射角为i的光线经端面折射后，射入n1、n2的界面上，（图326所示，当i/等于临界角时发生全反射，这样光线便能通过直的光学纤维人人另一端射出。由折射定律，有：（1）（2）由（2）得：代入（1）得：说明：（1）两个角的和或差为的整数倍时，可用诱导公式把其中一个三角函数化成另一个的三角函数，从而成为只含同角的同函数的三角方程。如本例中我们利用了的关系。（2）本例中由于光线可由空间的各个方向射到光纤的端面，因此满足入射角条件的是一个半角小于i的空间锥体。例327图327所示，一战士在山坡上向一个与他相距水平距离S40米处的目标投掷手榴弹，若手榴弹抛出时的速度为V020m/s，投掷点高出目标的高度h=6米。问：以怎样的角度投掷出去才能击中目标？（空气阻力不计）yx0hs图327解：以投掷点为坐标原点，水平方向为x 轴，竖直方向上为y轴（如图327所示）设投射角为，手榴弹的运动方程为：从运动方程中消去时间t，得弹道方程：将已知数值代入，简化得：上式是一个关于tan的一元二次方程，解得：说明：在进行三角变换时，有时无原则反用公式，遇到“1”可用下列公式代换：。本例即利用这个关系，将原方程化为同角的同名三角方程。从而转化为代数方程求解。C、可以化为一边为零而另一边是若干个因式的积的三角方程：这类方程只要先化一边为零，而另一边是若干个因式的积的形式，然后令每一个因式等于零，转化为几个最简单的方程来解。例336图328所示，重量为G的风筝AB用绳子固定于定点C，风的压力垂直于AB平面，并支持着风筝使它平衡。求风筝与水平方向所成的角度及风对风筝的压力。设绳与水平方向所成的角度为及绳子的张力T均为已知。解：如图328所示，风筝受重力G，绳子的张力T和风的压力N的作用，此三GABNCT图328力平衡，根据拉賔定理有：（1）（2）（3） （4）（因为T是不等于零的已知值，当0时，因子变为无穷大，故0是增根，应舍去）风的压力：说明：从方程（1）到（2）中，由于方程两边同乘以，有增根据的可能（本例中增加了sin=0，=0的根），而从方程（3）到方程（4）中，由于末知数允许范围的变化，又有失根的可能（本例中失去了0的根，若在（3）的两边同除以sin，情况也相同），因而在最后的解答中并不出现增根。这种情况在解三角方程中是常遇到的。例337平面上三个共点力F1、F2、FeBr3作用于物体上，物体处于平衡状态。已知F1F2F3，它们与水平方向的夹角分别为、2、3。求的大小。解：因为物体处于平衡状态，依共点力的平衡条件，有：竖直方向上：水平方向上：F1F2FeBr3（1）（2）由（1）得：解得：由（2）得：所以：解得：同时满足方程（1）和（2）的解是：说明：（1）本例利用和差化积和提取公因式的方法，将原方程化成两个简单的三角方程，然后求解。（2）此例解得，它表示F1、F2、FeBr3与水平方向的夹角分别为、，（如图329所示），即三力互成1200。事实上，凡是同一平面内三个大小相等的共点力互相平衡，此三力之间的夹角必为1200。证明是不难的，请读者利用力三角形和正弦定理自行推证。D、sinx和cosx的齐次方程：这类方程的基本解法是化为tanx的方程来解。例338两个弹簧分别推着小球作简谐振动，它的振动方程分别为：。求：在什么时刻它们的位移相等？解：若则：的解不是此方程的解，方程两边同除以，得：（秒）（k为正整数）xyHH/2V0图330例339物体以投射角抛出，已知物体到达在高度时的速率是物体到达在高度一半时速率的，求投射角？解：选取如图330所示的坐标系，设物体的较好速度为V0，画出运动轨迹的示意图。物体运动到最大高度的一半H/2时,竖直方向上的速度Vy满足下列关系：物体此时的速度V是水平速度与竖直速度的合速度，大小为：依是题意得：这是的二次齐次方程，把方程两边同除以，得：解得：说明：本例亦可将原方程进行因式分解或化为只包含正弦（或余弦）函数的方程解之。E、形如的三角方程：这类方程可以用插入辅助角的方法，把原方程化为和或差的正弦和余弦函数的方程来解。例340沿斜面向上的外力F使重量为G的物体沿着斜面匀速向