专题-圆锥曲线的离心率(学生版).doc

高 2019 届文科辅优讲义 解析几何 1 5 专题五专题五 第二讲第二讲 离心率专题离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点 对于求圆锥曲线离心率的问题 通常圆锥曲线离心率的问题 通常 有两类 一是求椭圆和双曲线的离心率 二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围 有两类 一是求椭圆和双曲线的离心率 二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围 属于 中低档次的题型 对大多数学生来说是没什么难度的 一般来说 求椭圆 或双曲线 一般来说 求椭圆 或双曲线 的离心率 只需要由条件得到一个关于基本量的离心率 只需要由条件得到一个关于基本量a a与与b b 或或 a a 与与 c c 的其次式的其次式 从而根据 从而根据 这是椭圆 这是双曲线 就可以从中求出离心就可以从中求出离心 2 2 1 cb e aa 2 2 1 cb e aa 率 率 但如果选择方法不恰当 则极可能 小题 大作 误入歧途 许多学生认为用一些 所谓的 高级 结论可以使结果马上水落石出 一针见血 其实不然 对于这类题 用 最淳朴的定义来解题是最好的 此时无招胜有招 一 求椭圆与双曲线离心率的值 一 用定义求离心率问题 122 12 1 05 22 1 A B C 22 D 2 1 22 FFFP FPF 例 全国 设椭圆的两个焦点分别为 过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 若为等腰直角三角形 则椭圆的离心率是 强化训练强化训练 1 在中 若以为焦点的椭圆经ABC ABBC 7 cos 18 B AB 过点 则该椭圆的离心率 Ce 2 已知正方形 ABCD 则以 A B 为焦点 且过 C D 两点的椭圆的离心率为 3 已知长方形 ABCD AB 4 BC 3 则以 A B 为焦点 且过 C D 两点的椭圆的离 心率为 高 2019 届文科辅优讲义 解析几何 2 5 4 已知 F1 F2是双曲线的两焦点 以线段 F1F2为边作正三角形 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x MF1F2 若边 MF1的中点在双曲线上 则双曲线的离心率是 A B C D 324 13 2 13 13 5 如图 和分别是双曲线的两个焦点 1 F 2 F 22 22 1 0 0 xy ab ab 和是以为圆心 以为半径的圆与该双曲线左支的两个交ABO 1 FO 点 且 是等边三角形 则双曲线的离心率为 ABF2 A B C D 35 2 5 31 二二 列方程求离心率问题 列方程求离心率问题 构造构造 的齐次式 解出的齐次式 解出 ace 根据题设条件 借助 之间的关系 构造 的关系 特别是齐二次式 进 abcac 而得到关于的一元方程 从而解得离心率 ee 例 2 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 A A B B为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四 个顶点 F为其右焦点 直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T 线段OT与椭圆的交点 M恰为线段OT的中点 则该椭圆的离心率为 变式 变式 设双曲线 a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率等于 A B 2 C D 356 点评 本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 以及直线与抛物线的位置关 高 2019 届文科辅优讲义 解析几何 3 5 系 只有一个公共点 则解方程组有唯一解 本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能 强化训练强化训练 1 设双曲线的一个焦点为 虚轴的一个端点为 如果直线与该双FBFB 曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 23 31 2 51 2 2 在平面直角坐标系中 椭圆在平面直角坐标系中 椭圆 1 a b 0 的焦距为的焦距为 2c 以 以 O 为圆心 为圆心 a 为半为半 x2 a2 y2 b2 径的圆 过点径的圆 过点 0 作圆的两切线互相垂直 则离心率作圆的两切线互相垂直 则离心率 e a2 c 3 已知椭圆 C a b 0 的离心率为 过右焦点 F 且斜率为 k k 0 22 22 1 xy ab 3 2 的直线于 C 相交于 A B 两点 若 则 k 3AFFB A 1 B C D 223 4 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段的延长线交于点 FCBBFCD 且 则的离心率为 BF2FD uu ruur C 5 已知双曲线 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过F且斜率为3的直线交 C于AB 两点 若4AFFB 则C的离心率为 m A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 二 求椭圆或双曲线的离心率范围问题 求椭圆或双曲线的离心率范围问题 一般来说 求椭圆 或双曲线 的离心率的取 值范围 通常可以从两个方面来研究 一是考虑几何的大小 例如线段的长度 角的大 小等 二是通过设椭圆 或双曲线 点的坐标 利用椭圆 或双曲线 本身的范围 列 出不等式 模型三 几何性质求离心率 模型三 几何性质求离心率 例例 3 已知椭圆已知椭圆 1 a b 0 的焦点分别为的焦点分别为 F1 F2 x2 a2 y2 b2 若该椭圆上存在一点若该椭圆上存在一点 P 使得 使得 F1PF2 60 0 则椭圆 则椭圆 离心率的取值范围是离心率的取值范围是 B2 B 11 F 1 y x O F2 P 高 2019 届文科辅优讲义 解析几何 4 5 强化训练强化训练 1 已知椭圆 1 a b 0 的焦点分别为 F1 F2 若该椭圆上存在一点 x2 a2 y2 b2 P 使得 F1PF2 60 则椭圆离心率的取值范围是 2 已知双曲线的左 右焦点分别为 若双曲 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 0 0 FcF c 线上存在一点使 则该双曲线的离心率的取值范围是 P 12 21 sin sin PFFa PF Fc 例 4 已知 是椭圆的两个焦点 满足的点总在椭圆内部 则椭 1 F 2 F 12 0MF MF M 圆离心率的取值范围是 A B C D 0 1 1 0 2 2 0 2 2 1 2 强化训练 1 椭圆的焦点为 两条准线与轴的交点 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 Fx 分别为 若 则该椭圆离心率的取值范围是 MN 12 MNFF 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 2 已知双曲线的左 右焦点分别为 点 P 在双曲线的右 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 F F 支上 且 则此双曲线的离心率 e 的最大值为 12 4 PFPF